Pascal et la récurrence : quel pas laisse-t-il implicite ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Je suis vraiment ravie de vous retrouver aujourd'hui parce qu'on s'attaque à un défi, un défi absolument vertigineux.

Intervenant 20:10

Ah ça, le mot est faible !

Intervenant 10:12

Ouais, vraiment. Imaginons un instant une épreuve mathématique qui semble repousser les limites mêmes de notre raison. C'est-à-dire comment prouver de manière irréfutable qu'une règle s'applique à une infinité de nombres. Mais sans avoir à passer l'éternité entière à les vérifier un par un.

Intervenant 20:30

C'est un sacré programme !

Intervenant 10:32

Bah oui, face à l'idée d'infini, notre cerveau est habitué au fini, au tangible quoi. Du coup, on est naturellement démuni, en ne tout simplement pas compter jusqu'au bout.

Intervenant 20:42

C'est exactement le cœur du problème. L'infini, c'est pas juste un très grand nombre, c'est vraiment un concept qui échappe à notre expérience physique.

Intervenant 10:50

C'est clair.

Intervenant 20:50

Et pourtant, la force des mathématiques réside précisément dans cette capacité à dompter ce qui nous dépasse.

Intervenant 10:57

Et c'est d'ailleurs notre mission pour cette exploration d'aujourd'hui. On va s'appuyer sur des sources historiques vraiment fascinantes pour retracer la genèse d'un outil conceptuel redoutable. Un outil d'une élégance absolue.

Intervenant 21:09

Le fameux raisonnement par récurrence ?

Intervenant 11:11

Exactement. Qu'on appelle parfois poétiquement la montée à l'infini. Et ce qui rend cette histoire si captivante pour notre audience, c'est qu'elle est pavée de rebondissements. On va croiser des génies légendaires qui ont carrément trébuché sur leurs propres certitudes.

Intervenant 21:24

Oui, des très grands noms en plus.

Intervenant 11:26

On va découvrir des précurseurs oubliés et surtout comprendre que cette méthode, elle a mis des siècles à s'affiner.

Intervenant 21:32

Alors pour bien saisir l'ampleur de cette révolution intellectuelle, il faut d'abord poser le cadre de la pensée scientifique classique et surtout comprendre une distinction fondamentale. Je vous écoute. D'un côté, on a l'induction scientifique qui est très familière dans les sciences de la nature. On observe un phénomène une fois, deux fois, cent fois par exemple. On voit que le soleil se lève chaque matin et on en tire une loi générale.

Intervenant 11:58

Ouais, on part d'observations particulières pour formuler une règle universelle quoi.

Intervenant 22:02

Voilà. De l'autre côté, la déduction mathématique pure fonctionne exactement à l'inverse. On part de principes généraux indémontrables, les axiomes, et par la seule force de la logique formelle, on en tire des conséquences pour des cas particuliers.

Intervenant 12:16

Donc la logique voudrait qu'en mathématiques, qui est quand même la discipline reine de la rigueur, l'induction scientifique, enfin le fait de généraliser à partir de quelques observations, n'ait absolument pas droit de citer.

Intervenant 22:28

En principe, non. L'observation ne fait pas figure de preuve en maths. Mais ce qui est fascinant ici, c'est que si on regarde les pratiques des mathématiciens du XVIIe siècle, on s'aperçoit qu'ils utilisaient amondamment l'induction.

Intervenant 12:42

Ah bon ?

Intervenant 22:43

Ouais. Ils pratiquaient ce qu'on pourrait appeler la preuve par l'exemple.

Intervenant 12:47

C'est assez troublant ça. Comment des esprits aussi brillants que ceux de l'époque classique pouvaient se contenter de ce qui ressemble de loin à un dangereux à peu près ?

Intervenant 22:56

Il faut se replacer dans l'esprit du temps en fait. Au XVIIe et XVIIIe siècle, la pratique mathématique n'était pas encore encadrée par la rigueur froide et axiomatique qu'on connaît aujourd'hui.

Intervenant 13:06

D'accord.

Intervenant 23:07

Les savants étaient profondément influencés par la philosophie de leur époque. Descartes, par exemple, valorisait énormément ce qu'il nommait les idées claires et distinctes. Donc il faisait confiance à leur

Intervenant 13:16

instinct en gros.

Intervenant 23:18

C'est ça, l'idée sous-jacente, c'était que si une proposition mathématique s'imposait à l'intuition, avec une force d'évidence absolue, après avoir été testée sur quelques exemples bien choisis, il devenait superflu d'en rédiger une preuve mécanique et exhaustive.

Intervenant 13:34

Ah ouais, carrément superflu.

Intervenant 23:35

L'intuition était perçue, enfin, non pas comme une faiblesse, mais comme une boussole intellectuelle extrêmement puissante.

Intervenant 13:42

Le problème, et c'est vraiment un des rebondissements majeurs de nos sources aujourd'hui, c'est que cette boussole, elle était capable de complètement dérailler.

Intervenant 23:48

Oh que oui !

Intervenant 13:49

Et pas seulement pour des amateurs. Descartes lui-même s'est fourvoyé. Et il y a un exemple historique magistral qui illustre ce danger, c'est celui de Pierre de Fermat et de ses fameux nombres premiers. C'est quand même bien plus parlant que de dire simplement « ah bah ils se sont trompés ».

Intervenant 24:04

Absolument. L'exemple des nombres de Fermat, c'est vraiment un cas d'école. Fermat cherchait une formule mathématique qui générait uniquement des nombres premiers.

Intervenant 14:12

Exactement. Et du coup, il a proposé la formule suivante. 2 elevé à la puissance 2 à la puissance n, le tout plus 1. Il teste. Pour n égal 0, il trouve 3 qui est premier.

Intervenant 24:24

Jusque-là, tout va bien.

Intervenant 14:25

Ouais. Il teste pour n égal 1, il trouve 5, premier. Pour n égal 2, il trouve 17, premier. Pour n égal 3, 257, premier. Et pour n égal 4, 65 537, encore un nombre premier.

Intervenant 24:38

Et là, son intuition prend le relais.

Intervenant 14:40

C'est ça, cinq succès d'affilée sur des nombres qui grandissent à une vitale vertigineuse. Fort de cette idée claire et distincte, ferma conjecture que la formule donnera toujours un nombre premier pour n'importe quel entier n.

Intervenant 24:52

Et c'est là que le coup près de l'infini tombe. Presque un siècle plus tard, Léonard Euler, un autre géant des mathématiques, décide de tester l'étape suivante pour n égal 5.

Intervenant 15:04

Et ça donne quoi ?

Intervenant 25:05

Le nombre généré est gigantesque. 4 294 967 297. Ah oui,

Intervenant 15:12

la vache !

Intervenant 25:13

Et Euler démontre de manière implacable que ce nombre colossal est divisible par 641. La conjecture de Fermat s'effondre totalement.

Intervenant 15:21

C'est fascinant de voir comment l'esprit humain, même le plus génial, peut tisser des motifs là où il n'y en a pas, juste parce qu'il a observé une régularité sur les premiers termes d'une suite.

Intervenant 25:30

L'infini se comporte très souvent de manière contre-intuitive.

Intervenant 15:33

Ouais, c'est un peu comme si on goûte les trois premières frites d'un cornet. On les trouve salées et on déclare fièrement que toutes les frites du monde le sont. C'est absurde.

Intervenant 25:43

C'est une super analogie. Et on pourrait accumuler un million de vérifications concluantes, ça garantirait en rien que la million et unième viendra pas tout détruire.

Intervenant 15:52

D'ailleurs, Fermat est pas le seul. Georges Cantor ou Léonard Euler eux-mêmes ont parfois été trompés par des généralisations hâtives.

Intervenant 25:58

Et c'est ce qui rend la démarche d'un homme comme Blaise Pascal si singulière à cette époque.

Intervenant 16:02

C'est l'exception qui confirme la règle.

Intervenant 26:04

Exactement. Nos documents montrent que Pascal fait figure de grande exception. S'il lui arrivait d'utiliser des exemples pour avancer, il manifestait une prudence extrême, enfin presque pathologique quoi.

Intervenant 16:15

Il se méfiait de l'intuition.

Intervenant 26:17

Oui, il refusait de s'aventurer sur les terrains glissants de la théorie des nombres où Fermat, lui, excellait et s'égarait parfois.