Plusieurs fractions, un nombre : le voyage des rationnels

Intervenant 10:00

Bonjour à toutes et à tous et bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Je suis vraiment, mais alors vraiment, ravie de vous retrouver pour cette nouvelle plongée en profondeur. Et aujourd'hui, l'objectif, ce n'est pas du tout de réviser ces tables de multiplication de primaire.

Intervenant 20:15

Non, clairement pas. Salut Hélène. Aujourd'hui, on part plutôt sur une véritable épopée historique et géopolitique, mais au pays des nombres en fait.

Intervenant 10:23

Ouais, c'est tout à fait ça. On va tenter de répondre à une question qui a l'air genre totalement enfantine en apparence. Les fractions sont-elles des nombres ?

Intervenant 20:32

Exactement. Et pour répondre à ça, il va falloir observer à la loupe comment les nombres qu'on utilise tous les jours, ils ont dû repousser leurs frontières, surmonter des crises d'identité et même affronter des rébellions internes. L'histoire des mathématiques, c'est l'histoire d'un système qui s'effondre pour survivre.

Intervenant 10:48

C'est fou quand on y pense. Bon, décortiquons tout ça. Commençons par le commencement. Avant la tempête, il y avait un monde parfait, très simple, très calme. Le royaume originel des entiers naturels, tu sais, ce fameux ensemble qu'on note avec un grand N majuscule là.

Intervenant 21:05

Ouais,

Intervenant 11:06

N. Le monde du 0, du 1, du 2, du 3 et ainsi de suite. Le truc basique pour compter des cailloux quoi.

Intervenant 21:13

C'est vraiment la brique élémentaire de la pensée humaine. Ce monde de N, il a une propriété fondamentale que les mathématiciens appellent la stabilité ou la fermeture.

Intervenant 11:23

D'accord, la stabilité, ça veut dire quoi concrètement ?

Intervenant 21:26

Ça veut dire que si on prend deux habitants de cet ensemble et qu'on les combine, genre avec une addition ou une multiplication, le résultat, il appartiendra toujours à ce même ensemble.

Intervenant 11:36

Ah, je vois. Genre si on ajoute 5 et 7, on obtient 12.

Intervenant 21:40

C'est ça.

Intervenant 11:41

Et 12, c'est un autre entier naturel. Pareil, si on multiplie 4 par 3, ça fait 12. Toujours dans le club.

Intervenant 21:48

Voilà, le système est clos, c'est hyper rassurant, il n'y a aucune fuite possible en dehors des frontières du pays. Un modèle de stabilité totale.

Intervenant 11:58

Un club hyper select. Tant qu'on avance, en fait, tout va super bien. Mais c'est justement là que les ennuis commencent, non ? Parce qu'on a tous, naturellement, envie d'avoir une marche arrière.

Intervenant 22:08

Ouais, inévitablement. Et le premier gros conflit frontalier, il éclate le jour où quelqu'un essaye d'appliquer l'opération inverse de l'addition.

Intervenant 12:17

La soustraction.

Intervenant 22:17

Exactement. Tant qu'on calcule 9 moins 4, tout va bien, le résultat c'est 5, on reste dans le club.

Intervenant 12:23

Mais que se passe-t-il si on veut calculer, je sais pas, 4 moins 9 ? C'est le chaos.

Intervenant 22:28

Ah bah c'est l'effondrement total de l'édifice, originel. Soustraire 9 à 4, ça revient à exiger l'existence d'une quantité qui représente un manque en fait.

Intervenant 12:38

Ouais, comment tu enlèves 9 pommes quand t'en as que 4 ?

Intervenant 22:42

C'est physiquement impossible. Pendant des siècles, ça a posé un problème philosophique majeur. Le résultat n'existe tout simplement pas dans le royaume de N. Ce calcul, 4 moins 9, il crée un vide absolu.

Intervenant 12:54

Donc le système est cassé.

Intervenant 22:56

Complètement. Pour sauver la soustraction pour qu'elle devienne universelle, il a fallu prendre une décision radicale. Il a fallu annexer de nouveaux territoires conceptuels.

Intervenant 13:04

Et c'est exactement pour ça qu'on a dû inventer les entiers relatifs, le fameux ensemble Z.

Intervenant 23:09

Les nombres négatifs. On a inventé le concept de dette, en fait.

Intervenant 13:13

C'est tout à fait ça, la dette mathématique. C'est hyper concret, finalement. Parce que bon, un solde négatif sur un compte bancaire, c'est vrai que c'est angoissant, ou une météo à moins 15 degrés, c'est glacial.

Intervenant 23:24

Ouais, clair.

Intervenant 13:25

Mais ces nombres, ils sont ultra pratiques pour des trucs du quotidien, genre descendre dans les sous-sols d'un parking. Le niveau moins 2, quoi.

Intervenant 23:33

Exactement. Mais ce qui est fascinant ici, c'est que cette intégration des nombres négatifs, elle ne s'est pas faite sans friction.

Intervenant 13:38

Ah bon ?

Intervenant 23:39

Ce n'était pas juste hop, on rajoute des nombres avec un petit tiret devant ?

Intervenant 13:42

Non, c'était une vraie révolution politique. Les lois fondamentales ont dû changer, notamment à cause de la fameuse règle des signes.

Intervenant 23:50

Ah oui, le fameux « moins par moins fait plus ».

Intervenant 13:53

Voilà. Et surtout, le régime entier de notre univers mathématique a muté. Dans l'ancien monde, dans N, l'ensemble, c'était ce qu'on appelle un simple monoïde additif et demi-groupe multiplicatif.