Nombres de Carmichael : les composés qui trompent Fermat

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Je suis ravie d'ouvrir cet épisode aujourd'hui.

Intervenant 20:06

Oui, un très beau programme qui nous

Intervenant 10:07

attend. Absolument. Imaginons un instant avoir conçu le système de sécurité le plus inviolable au monde. Un détecteur infaillible validé par les plus grands génies qui repère instantanément qui a le droit d'entrer et qui doit rester dehors.

Intervenant 20:26

La promesse parfaite en fait.

Intervenant 10:27

C'est ça. Sauf qu'un jour, un individu s'avance. Il ne remplit absolument aucune des conditions requises. Mais, et c'est là que c'est fou, il passe les portiques avec le sourire, sans déclencher la moindre alarme.

Intervenant 20:42

Ah ouais, le bug dans la matrice.

Intervenant 10:44

Totalement. Et c'est exactement ce qu'on va faire aujourd'hui. C'est notre mission. On part pour une grande exploration au cœur de nos sources, pour décortiquer un article de nos archives qui ressemble, mais vraiment à s'y méprendre, à un véritable thriller. Voilà, un polar où les règles absolues de la théorie des nombres se heurtent à des faussaires de génie. Des imposteurs qui se déguisent pour tromper l'élite.

Intervenant 21:11

Le terme de thriller n'est vraiment pas galvaudé. C'est en fait l'essence même de l'histoire des sciences. Cette tension permanente entre la loi et l'anomalie. Mais bon, pour saisir toute la beauté de ces imposteurs, de ces troubles faits, il faut d'abord regarder la porte blindée qu'ils ont réussi à franchir.

Intervenant 11:29

La fameuse porte.

Intervenant 21:30

Voilà. Parce que notre histoire ne débute pas par une faille. Au contraire, elle commence par la construction d'une règle d'une solidité franchement vertigineuse, bâtie au XVIIe siècle.

Intervenant 11:39

Alors, on rembobine tout de suite jusqu'à cette date fondatrice. On est le 18 octobre 1640. Pierre de Fermat, le très célèbre juriste et mathématicien toulousain, prend la plume. Il écrit à son ami Bernard de Frénique le II Bessie.

Intervenant 21:54

C'est ça, une simple lettre.

Intervenant 11:55

Ouais, au détour d'une conversation, le gars énonce une loi qui ressemble à un tour de magie arithmatique. Ce qu'on appelle aujourd'hui le petit théorème de Fermat. C'est ce fameux détecteur infaillible dont je parlais.

Intervenant 22:05

Exactement. Et son rôle à ce détecteur, c'est d'identifier un comportement spécifique aux nombres premiers.

Intervenant 12:11

D'accord.

Intervenant 22:11

Alors, il faut se représenter un peu la puissance du truc. Les nombres premiers, donc ces entiers qui ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes, genre 2, 3, 5, 7 ou 13, ce sont les atomes des mathématiques.

Intervenant 12:22

Les briques de base, quoi.

Intervenant 22:24

Absolument. Et Fermat a découvert une propriété qui l'aurait vraiment intime. Son théorème affirme en gros que si on prend un nombre premier, disons P, et un autre entier quelconque, disons

Intervenant 12:36

A,

Intervenant 22:37

et que ces deux-là n'ont aucun lien de parenté, aucun diviseur commun, bah là, une mécanique implacable se met en place.

Intervenant 12:44

Ouais, pour imager la chose, pour ceux qui nous écoutent, l'article parle de nombres premiers entre eux. En fait, c'est comme deux personnes qui ne parlent aucune langue en commun, à part la langue universelle du 1.

Intervenant 22:56

Très bonne analogie.

Intervenant 12:57

Et la règle de Fermat dit ça. Si ces deux nombres n'ont rien en commun, alors notre nombre premier p divisera toujours, de façon parfaite et sans aucun reste, le résultat de a elevé à la puissance p moins 1, auquel on retire ensuite 1.

Intervenant 23:13

Ça a l'air compliqué dit comme ça.

Intervenant 13:14

Bah oui, formuler ainsi ça sonne hyper abstrait, mais la source illustre cette mécanique avec un exemple qui donne carrément le tournis.

Intervenant 23:21

Ah oui, l'exemple avec 6 et 13.

Intervenant 13:23

C'est ça. On prend 6 et le nombre premier 13. Ils n'ont aucun diviseur en commun.

Intervenant 23:29

Donc la serrure de Fermat est prête à s'enclencher.

Intervenant 13:31

Exactement. Et le théorème nous garantit que, sans avoir à poser la moindre division sur une fouaille de papier, on sait d'avance que 13 divise 6 à la puissance 12 moins 1.

Intervenant 23:43

Et quand on calcule ce monstre ?

Intervenant 13:45

Ah ouais, 6 puissance 12 moins 1, ça donne 2 176 782 335 milliards. Et en effet, c'est un truc de fou, ce résultat gargantuesque équivaut, au millimètre près, à 13 multiplié par 167 444 795. C'est

Intervenant 24:03

chirurgical.

Intervenant 14:05

C'est d'une précision folle. Un vrai miracle arithmétique.

Intervenant 24:08

Un miracle qui repose en fait sur l'arithmétique modulaire. Et ça, bien avant que le terme soit inventé. L'élégance de cette règle, c'est qu'elle contourne la force

Intervenant 14:17

brute. Ouais, pas besoin de transpirer sur des calculs

Intervenant 24:20

infimis. Voilà, c'est un raccourci conceptuel. Pas besoin de calculer des milliards pour savoir qu'une division tombera juste. Mais, et c'est le seul problème, et c'est ce qui rend l'histoire hyper savoureuse, c'est l'attitude de Fermat lui-même.

Intervenant 14:34

Ah ! Son attitude, c'est tellement ça ! L'article souligne un trait de caractère ahurisson, moi ça m'a fait rire. Fermat, c'est vraiment cet ami insupportable en soirée.

Intervenant 24:43

Le fameux ami.

Intervenant 14:44

Ouais. Le mec prend un jeu de cartes, il te sort une illusion à couper le souffle devant tout le monde, et là il lâche le micro et il quitte la pièce en refusant d'expliquer son truc.

Intervenant 24:53

C'est exactement ça.

Intervenant 14:54

Aucune démonstration. Du coup, comment la communauté de l'époque a réagi ? On l'a juste cru sur parole ?

Intervenant 25:00

Alors, il y a eu une frustration immense, c'est clair. Mais il faut se remettre dans le contexte de l'époque. Au XVIIe siècle, la culture de la publication rigoureuse, les comités de lecture, ça n'existe pas du tout.

Intervenant 15:11

C'était un peu le Far West mathématique ?

Intervenant 25:13

Un peu, oui. Les maths, c'est souvent un défi entre gentilgeômes, tu vois, des lettres privées où on se lance des petites énigmes. Ce silence de Fermat, qu'il faut à volontaire ou juste par flemme de rédiger, ça agit comme une provocation énorme.

Intervenant 15:25

Le gant a été jeté, quoi.

Intervenant 25:26

Absolument. Il s'agissait plus de le croire sur parole, il fallait vraiment déconstruire son intuition pour en faire une certitude mathématique.

Intervenant 15:32

Et cette certitude, elle va mettre près d'un siècle à voir le jour.

Intervenant 25:36

Ouais, presque un siècle.

Intervenant 15:38

Avec l'arrivée d'un titan en 1736, Léonard Euler.

Intervenant 25:43

Le grand Euler.

Intervenant 15:45

Euler, lui, il va pas seulement confirmer que le truc de Fermat fonctionne. En fait, si Fermat c'était le magicien, Euler c'est le maître horloger. C'est une belle image.