Puissances : sur la piste de la cinquième opération

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Je suis vraiment ravi de vous retrouver pour cette nouvelle plongée.

Intervenant 20:07

Salut tout le monde ! Très ravie d'être là aussi, surtout avec le sujet qu'on a aujourd'hui.

Intervenant 10:11

Oui, parce qu'aujourd'hui, on va parler d'un truc qui a l'air simple, mais qui rend complètement fou. Imaginez un peu, on est en l'an 1066.

Intervenant 20:19

Ah la fameuse année !

Intervenant 10:20

Exactement. Le roi d'Angleterre essaie d'aligner son armée sur un champ de bataille pour former un carré parfait. Mais d'un coup il réalise qu'il a besoin de très exactement 13 119 882 982 862 644 soldats pour le compte soit mathématiquement bon. C'est...

Intervenant 20:40

Ouais, c'est plus de 13 trillions d'hommes en armure, quoi.

Intervenant 10:43

C'est absurde. C'est un gouffre total à l'échelle humaine. Et le pire, c'est que c'est pas du tout une erreur de copie dans un vieux grimoire. En fait, c'est juste la conséquence d'un petit chiffre flottant en l'air. L'élévation à la puissance.

Intervenant 20:57

Voilà, c'est là que notre sujet révèle un peu sa vraie nature, tu vois. À l'école primaire, on apprend les quatre opérations de base. L'addition, la soustraction, la multiplication et la division.

Intervenant 11:09

Les classiques,

Intervenant 21:10

quoi. C'est ça. Mais cette cinquième opération, les fameux exposants, ce n'est pas juste un outil de calcul en plus pour faire joli. C'est vraiment une bascule conceptuelle avec une architecture d'une complexité phénoménale derrière.

Intervenant 11:23

Et c'est exactement notre mission pour cette exploration. On veut comprendre comment ce simple concept a complètement chamboué l'histoire des mathématiques et même notre vision du monde.

Intervenant 21:33

Carrément. On va décortiquer les marges d'un livre du XVIIe siècle. On va voir comment la théorie de l'information a récupéré les puissances de deux. Et on finira même par une méthode indienne millénaire qui fonctionne comme un vrai système d'engrenage.

Intervenant 11:47

Un programme chargé, donc. Mais avant d'envoyer nos 13 milliards de milliards de soldats dans la campagne anglaise, il faut qu'on s'attarde sur l'outil en lui-même.

Intervenant 21:58

Oui, parce que ça ne s'est pas fait en un jour.

Intervenant 12:00

Bah non, c'est ça. On a tendance à croire que l'idée d'écrire X puissance N s'est apparue spontanément. Genre, une évidence universelle pour tous les savants.

Intervenant 22:09

Ah bah c'est tout l'inverse. La naissance de cette notation, c'est un accouchement hyper laborieux. Ça s'étale sur des siècles en fait.

Intervenant 12:17

C'est fou de se dire

Intervenant 22:18

ça. Dès le quatorzième siècle, t'as le mathématicien Nicole Auresme qui manipule le concept avec une audace vraiment remarquable. Il va super loin, il utilise des exposants fractionnaires, il établit des règles.

Intervenant 12:29

D'accord, donc l'idée mentale est là.

Intervenant 22:31

L'idée est forte, oui. Mais le vêtement symbolique, la syntaxe visuelle sur le papier, elle n'est pas encore fixée.

Intervenant 12:39

Tu sais à quoi ça ne fut pensé ?

Intervenant 22:41

Vas-y.

Intervenant 12:41

Ça me fait irrémédiablement penser à la naissance du langage SMS ou à l'invention des émojis, tu vois. Ah oui, je vois très bien. L'intention existait, les humains voulaient exprimer la multiplication répétée d'un facteur, mais il fallait s'accorder sur le raccourci clavier idéal, pour éviter de noircir des pages entières de calcul.

Intervenant 22:59

C'est une excellente métaphore. Horace m'avait l'idée de l'émoji, mais il cherchait encore la bonne touche sur son clavier.

Intervenant 13:05

Exactement. Et du coup, qui a trouvé la bonne touche ?

Intervenant 23:08

Eh bien, le besoin de concision, c'est le moteur de l'algèbre. L'étape décisive vers notre clavier moderne, elle arrive au 15e siècle, en 1484 précisément.

Intervenant 13:17

Avec

Intervenant 23:18

qui ? Avec Nicolas Chuket, qui publie son fameux « Tripartie en la science des nombres ». C'est lui qui introduit une notation formelle, mais surtout, il repousse les frontières.

Intervenant 13:27

C'est-à-dire ?

Intervenant 23:28

Il définit les puissances d'exposants zéro et il manipule même les puissances d'exposants négatifs.

Intervenant 13:34

Ah ouais, donc il étend vraiment les règles du jeu.

Intervenant 23:36

Complètement.

Intervenant 13:36

Mais si on y réfléchit, étendre la règle aux exposants négatifs, ça ouvre la porte à des abstractions assez folles. D'ailleurs, les sources qu'on a consultées soulignent que Schucke s'arrête net devant une porte très précise.

Intervenant 23:50

Le fameux cas particulier.

Intervenant 13:52

Voilà. Il accepte le concept d'un nombre à la puissance zéro, pas de souci. Sauf dans un cas. Il refuse totalement d'évaluer zéro puissance zéro. Pourquoi faire une exception aussi chirurgicale ?

Intervenant 24:04

En fait, il fait face à un vrai mur logique. 0 à la puissance 0, c'est l'incarnation parfaite d'une forme indéterminée.

Intervenant 14:10

D'accord, un crash-système en quelque sorte.

Intervenant 24:12

C'est ça. Le problème, c'est qu'il y a deux lois fondamentales de l'arithmétique qui entrent en collision frontale à ce moment-là. D'un côté, on te dit que tout nombre élevé à la puissance 0 doit valoir

Intervenant 14:24

1. Logique.

Intervenant 24:25

Mais de l'autre, la règle veut que 0 élevé à n'importe quelle puissance strictement positive

Intervenant 14:31

donne toujours 0. Ah oui, je vois le problème. La base tire vers 0 et l'exposant tire vers 1.

Intervenant 24:37

Exactement. Donc, face à ce paradoxe, la prudence de Chuket prend le dessus. Il exclut simplement ce cas pour préserver tout le reste de son édifice mathématique.

Intervenant 14:46

C'est brillant en fait. Il sécurise la fondation en isolant l'anomalie. Mais du coup, même avec Chuket, on n'a toujours pas le nom officiel, si ?

Intervenant 24:54

Non, toujours pas. Il fallait quelqu'un pour unifier cette grammaire avec une étiquette claire. Et ça, c'est le rôle du mathématicien allemand Michael Stiefel.

Intervenant 15:03

D'accord.

Intervenant 25:03

Dans son ouvrage Arrhythmetica Integra, c'est lui qui invente officiellement le terme d'exposant.

Intervenant 15:10

Ah, enfin !

Intervenant 25:12

Ouais, il consolide la syntaxe pour inclure formellement les nombres négatifs. Donc avec OREM pour la base, SHUKE pour l'extension et STIFEL pour la rigueur.

Intervenant 15:23

L'outil est forgé et nommé.