Nombre π : 4 000 ans de mesures, de Babylone aux décimales

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. D'habitude, quand on aborde les mathématiques élémentaires, on s'attend toujours à des concepts bien finis, bien nets, presque rassurants quoi.

Intervenant 20:11

C'est vrai, on aime bien ce qui est carré.

Intervenant 10:13

Ouais, exactement. Un carré possède quatre côtés égaux, un triangle en a trois. On assemble tout ça et paf, la logique est sauve. C'est binaire, c'est super structuré, on adore ce qui rentre dans des cases bien définies.

Intervenant 20:26

Sauf que la nature, elle, n'est pas faite que de lignes droites.

Intervenant 10:29

Et c'est là tout le paradoxe. Dès qu'on essaye de mesurer la forme la plus lisse, la plus parfaite et la plus abondante de notre univers, donc le cercle, la belle machinerie géométrique s'enraye complètement.

Intervenant 20:40

Elle explose même, on pourrait dire.

Intervenant 10:42

C'est clair. On quitte la sécurité du monde fini pour basculer dans un abîme aux contours hyper flous. Et c'est précisément l'objet de notre exploration d'aujourd'hui.

Intervenant 20:50

Une exploration qui promet d'être vertigineuse.

Intervenant 10:53

Je te le garantis. On va plonger en profondeur dans un article fascinant intitulé, je cite, « C'est toute une histoire ». Le but ? Décortiquer la constante mathématique la plus célèbre, la plus omniprésente et peut-être la plus mystérieuse de toutes. Je parle bien sûr de π.

Intervenant 21:10

Le fameux nombre π.

Intervenant 11:11

Voilà. Et on va faire ça en gardant une grande rigueur mathématique, bien sûr, mais je promets à ceux qui nous écoutent que le voyage sera accessible, plein de surprises et de moments, de vraies révélations.

Intervenant 21:21

Le programme est chargé, en effet. Pour comprendre pourquoi l'humanité entière est un peu obsédée par ce nombre, on va devoir remonter très loin dans le temps. Des immenses bâtisseurs de Babylone jusqu'aux astronomes de Samarkand.

Intervenant 11:33

Un vrai voyage dans le temps.

Intervenant 21:34

C'est ça, c'est une quête millénaire pour tenter de rationaliser les rationnels. L'article le souligne d'emblée d'ailleurs, π est un nombre irrationnel. Ce qui veut dire qu'il est impossible de l'écrire sous la forme d'une fraction simple entre deux entiers. Ces décimales s'enchaînent à l'infini, sans jamais se répéter.

Intervenant 11:54

Et pour bien entamer cette histoire, je pense qu'il faut repartir des bases incontestables. La définition géométrique classique, tu sais, celle qu'on apprend tous à l'école.

Intervenant 22:02

Le fameux rapport.

Intervenant 12:03

Ouais, π, c'est le rapport entre le périmètre d'un cercle et son diamètre. En gros, tu prends une ficelle, tu fais le tour du cercle, tu mesures cette ficelle et tu divises ça par la largeur du cercle.

Intervenant 22:14

Une approche très pragmatique, très physique.

Intervenant 12:17

C'est la première définition. Mais l'article nous jette immédiatement une deuxième définition au visage. π, ce serait aussi le rapport entre la surface du disque, donc l'espace à l'intérieur, et le carré de son rayon. Ok, décortiquons tout ça, parce qu'il y a un énorme saut conceptuel ici.

Intervenant 22:33

Complètement, on passe d'une ligne à une aire.

Intervenant 12:36

Mais oui, la première formule décrit un simple périmètre, donc une seule dimension. La seconde décrit une surface qui s'étale sur deux dimensions. Comment on peut être absolument certain, intuitivement, que c'est exactement le même nombre π qui régit ces deux dimensions différentes ?

Intervenant 22:51

Ce qui est fascinant ici, c'est que cette évidence n'en est pas du tout une. C'est une excellente question. Ces définitions, elles supposent implicitement qu'on se trouve en géométrie euclidienne.

Intervenant 13:02

Donc un espace plat, classique.

Intervenant 23:04

Voilà où les distances se comportent normalement. Et pour vraiment comprendre, il faut s'appuyer sur un petit mécanisme mental très élégant. Imagine un cercle qu'on va découper en tranches, comme une pizza.

Intervenant 13:17

D'accord, j'ai ma pizza. On la coupe en, disons, huit parts triangulaires.

Intervenant 23:22

Super ! Maintenant, tu prends ces huit parts et tu les réassembles en les emboîtant. Une pointe vers le haut, une pointe vers le bas, tu vois ?

Intervenant 13:30

Ah ouais, ça va former une sorte de parallélogramme un peu bosselé sur les bords.

Intervenant 23:33

Exactement ! Et si on augmente le nombre de parts, on passe à un million ou un milliard de tranches minuscules, les bords courbes deviennent pratiquement tout droits et la forme que tu as réassemblée devient un rectangle parfait.

Intervenant 13:46

Mais c'est génial de visualiser ça comme ça ! Du coup, ce rectangle virtuel, quelles sont ses dimensions ?

Intervenant 23:51

Eh bien, la hauteur de ce rectangle, c'est la longueur de la tranche, donc le rayon du cercle.

Intervenant 13:56

Logique.

Intervenant 23:57

Et la base du rectangle, comme elle est formée par la moitié des bords extérieurs de tes tranches de pizza, ça correspond exactement à la moitié du périmètre du cercle.

Intervenant 14:06

Mais attends, le périmètre entier, c'est deux fois π fois le rayon, donc la moitié du périmètre, c'est juste π fois le

Intervenant 24:12

rayon. Tu l'as ! Pour l'aire du rectangle, tu multiplies la base par la hauteur, donc π fois le rayon, multiplié par le rayon, ce qui donne π fois le rayon en carré. C'est comme ça que les deux dimensions sont liées par le même nombre.

Intervenant 14:26

C'est brillant, vraiment brillant. Mais ce qui est fou, c'est que nos ancêtres n'ont pas commencé par couper des pizzas abstraites dans leur tête. Ce besoin de lier le périmètre et la surface, il vient de la boue, de la terre, des vrais chantiers, non ?

Intervenant 24:39

En fait, c'est précisément ce besoin pratique de construire et de mesurer qui nous propulse dans la plus haute antiquité. La théorie abstraite est venue bien plus tard.

Intervenant 14:48

Au début, c'était vraiment des problèmes d'arpentage, alors ?

Intervenant 24:51

Totalement. Comment estimer le blé dans un silo circulaire ? Ou calculer le bois nécessaire pour cercler une roue de charrette ?