Carrés magiques : mêmes sommes, règles inattendues

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Pour commencer, on souhaite vraiment la bienvenue à tous ceux qui nous écoutent pour une exploration qui va franchement secouer quelques neurones.

Intervenant 20:11

Ah bah ça c'est garanti. Bonjour tout le monde, je suis vraiment ravie d'être là pour décortiquer tout ça.

Intervenant 10:16

Et pour poser le décor, imaginons une seconde une maison à l'architecture absolument parfaite. Genre chaque brique s'emboîte au millimètre près, la symétrie est à couper le souffle, l'édifice défie toutes les lois de la physique.

Intervenant 20:30

Ouais, une maison qui tient debout dans un équilibre majestueux. Mais le petit détail, c'est que les plans de construction n'ont jamais existé.

Intervenant 10:37

C'est ça. Ou du moins, personne n'a jamais réussi à mettre la main dessus. La maison est là, sous nos yeux. Elle est palpable, mais elle refuse catégoriquement de nous livrer son code source.

Intervenant 20:48

Ce qui rendrait fou absolument n'importe quel bâtisseur. Se retrouver face à un objet fini, qui marche, sans avoir la moindre idée des règles qui l'ont fait naître. C'est

Intervenant 10:58

vertigineux. Totalement vertigineux. Eh bien, c'est exactement le but de notre plongée au cœur des archives d'aujourd'hui. On ne va pas parler d'illusionnisme, de lapin sortant d'un chapeau. On s'attaque à une vraie source d'émerveillement qui fascine depuis l'Antiquité.

Intervenant 21:15

La magie des nombres et plus précisément des grilles arithmétiques.

Intervenant 11:18

Les fameux carrés magiques. Et la mission de notre exploration d'aujourd'hui, c'est de montrer à notre audience que, loin de la banale grille de sudoku qu'on remplit, tu sais, machinalement dans le train, le carré magique, c'est un territoire d'expérimentation extrême.

Intervenant 21:33

Oh oui, c'est carrément un espace de liberté absolue. Les mathématiciens ont tordu les règles, ils les ont étirées, ils ont fait exploser la géométrie et la logique jusqu'à l'absurde.

Intervenant 11:42

C'est de l'art brut en fait. Bon, décortiquons tout ça. Pour comprendre comment on passe d'une petite grille inoffensive à un truc complètement délirant, il faut d'abord poser les bases, non ?

Intervenant 21:52

Exactement. Le principe de base, il est pourtant très sage à l'origine. On prend une grille carrée avec des lignes et des colonnes et on y place des nombres, en général une suite d'entiers qui ne se répètent jamais.

Intervenant 12:05

Jusque-là, tout va bien.

Intervenant 22:06

Voilà. Sauf que la règle absolue, c'est que la somme des nombres sur chaque ligne horizontale, sur chaque colonne verticale et sur les deux diagonales principales, elle doit être strictement identique. C'est ce qu'on appelle la constante magique.

Intervenant 12:20

D'accord. C'est rigide, mais ça rassure, ça donne un sentiment d'ordre.

Intervenant 22:24

C'est vrai, ça rassure. Mais ce qui bouscule vraiment l'esprit, c'est de voir comment, au fil du temps, certains savants ont pris cette camisole de force arithmétique pour en faire un laboratoire complètement fou.

Intervenant 12:37

Et justement, le XVIIe siècle, c'est vraiment le point de bascule, le moment où on passe du petit jeu de salon à la haute voltige. Donc, commençons par ouvrir une archive de cette époque. Une lettre de mars 1640.

Intervenant 22:51

Ah, la fameuse correspondance ! Un échange entre Bernard Frénichle de Bessy, qui est un mathématicien français brillant, et le père Marin Mersenne.

Intervenant 12:59

Mersenne, c'était un peu le serveur central de l'Europe savante à l'époque, c'est ça ?

Intervenant 23:03

Exactement. Les lettres qu'il recevait, qu'il copiait et redistribuait, ça fonctionnait vraiment comme un gigantesque forum internet avant l'heure. Et dans l'une de ces lettres, Frénichle lance une idée qui semble presque hérétique pour les puristes.

Intervenant 13:17

Vas-y, je sens que ça va être tordu.

Intervenant 23:19

Il propose de créer des carrés magiques, pleins de trous.

Intervenant 13:23

Attends. Pleins de trous ?

Intervenant 23:25

Oui, des trous. Des grilles qui gardent toutes leurs propriétés d'équilibre magique, avec des sommes parfaitement constantes, mais dont une immense partie des cellules reste désespérément vide.

Intervenant 13:36

Mais c'est totalement contre-intuitif. Surtout quand on a l'habitude des grilles denses, où chaque casse-compte. D'ailleurs, on a un exemple précis de sa proposition dans la lettre.

Intervenant 23:47

Oui, Frénik l'imagine une très grande grille de 12 cases sur 12, ce qui nous donne 144 cellules au total. 144, ok. Mais au lieu de la remplir avec 144 nombres, il décide d'en placer seulement 60. 60 nombres consécutifs, juste dispersés dans cet espace.

Intervenant 14:06

Et les autres cases, on les laisse en plan.

Intervenant 24:07

C'est ça. Et la contrainte qu'il se fixe, c'est d'avoir très exactement 5 nombres par ligne, 5 par colonne et 5 sur chaque diagonale. Et malgré tout ce vide autour, la somme de ces 5 nombres doit rester invariable partout.

Intervenant 14:22

Waouh ! Ça me fait immédiatement penser à une partie de Jenga, tu sais, mais poussée à l'extrême. Genre on a cette belle tour mathématique et on retire frénétiquement des pièces en s'attendant à ce que tout s'effondre dans la seconde.

Intervenant 24:34

Alors, je vais devoir te contredire sur cette image parce que la réalité mathématique est encore plus fascinante. C'est en fait l'exact opposé du Jenga.

Intervenant 14:43

L'exact opposé ? Ah non, comment ça ? Dans les deux cas, on se retrouve avec une structure pleine de vide, non ?

Intervenant 24:50

Visuellement, oui. Mais l'intention est fondamentalement différente. Dans un Jenga, ta structure initiale, elle est pleine. Quand tu retires une pièce, tu affaiblis vos défis au hasard. Le vide est un risque, c'est une instabilité. D'accord, je

Intervenant 15:04

vois. L'effondrement est inévitable à la fin.

Intervenant 25:08

Exactement. Alors que dans les carrés lacunaires de Freynilk, le vide est calculé dès la toute première seconde, from the scratch. L'espace vide est structurel.

Intervenant 15:18

Ah d'accord. Donc la grille ne risque pas de s'effondrer parce qu'elle n'a jamais au grand jamais été conçue pour être pleine ?

Intervenant 25:25

C'est ça. Elle repose sur une ossature algébrique implacable qui englobe totalement l'existence de ses trous. Et pour comprendre comment ça tient debout, il faut regarder la formule universelle de cet espace vide.

Intervenant 15:37

D'accord, plongeons dans la mécanique. Comment est-ce qu'on calcule l'équilibre d'un truc où plus de la moitié des cases n'existent même pas ?

Intervenant 25:44

L'algèbre est super élégante pour ça. Prenons notre grille carrée. Son ordre, c'est sa taille, qu'on va appeler N. Une grille de 3 par 3, c'est d'ordre 3. Celle de Frénicle, en 12 par 12, c'est d'ordre 12.

Intervenant 15:56

Ok, donc N égale 12.

Intervenant 25:59

Ensuite, on choisit la quantité de cases qu'on souhaite réellement remplir par ligne ou colonne. Ce nombre, on va l'appeler k.

Intervenant 16:05

Donc on a n lignes et sur chacune, on pose k nombres.

Intervenant 26:09

Tout à fait. La grille entière contiendra donc K multiplié par N, nombre total.

Intervenant 16:15

Ok, faisons l'exercice avec la grille folle de 1640. N vaut 12, parce que c'est du 12 par 12, et K vaut 5 puisqu'on veut 5 nombres par ligne.

Intervenant 26:24

C'est ça.

Intervenant 16:24

Et 5 fois 12, ça fait bien 60. 60 nombres posés sur la grille. Je te suis parfaitement.

Intervenant 26:30

Super !