Comment une partition devient-elle une forme géométrique ?

Intervenant 10:00

Bienvenue à toutes les personnes qui nous écoutent dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on plonge dans une exploration vraiment fascinante, ahurissante même. On a souvent cette idée en tête que la musique, c'est une affaire de ressenti pur, des ondes acoustiques invisibles qui s'évaporent dans l'air, quelque chose de très fluide et d'éphémère en fait.

Intervenant 20:20

C'est l'expérience intuitive qu'on en a au quotidien, c'est clair.

Intervenant 10:23

Sauf que là, la mission de notre plongée au cœur de l'article intitulé « Ma thèse dans Tangente », c'est de voir ce qui se passe si on fige tout ça. Si on prend une sonate hyper classique ou un solo de guitare saturée et qu'on les fige sur le papier. Pas pour les jouer, mais pour les affronter dans une véritable arène de géométrie pure.

Intervenant 20:43

C'est vraiment un changement de paradigme complet ce truc. On transforme un art temporel en un objet purement spatial. C'est

Intervenant 10:50

ça. On va découvrir comment traduire la musique en forme géométrique complexe pour en percer la structure secrète. Et surtout, l'énorme rebondissement qu'on tisse dès maintenant, c'est qu'on va voir comment les mathématiques pures permettent de comparer visuellement Jean-Sébastien Bach à des groupes de heavy metal.

Intervenant 21:06

Et tout ça sans jamais écouter la moindre note de musique. C'est ça qui est fort.

Intervenant 11:10

Exactement. Bon, décortiquons un peu tout ça. Si on veut transformer une partition en géométrie, il faut bien partir de l'unité de base. La musique repose fondamentalement sur la périodicité, non ? Des rythmes, des octaves qui tournent en boucle.

Intervenant 21:24

Oui, c'est le cœur du sujet. Pour modéliser cette périodicité de façon rigoureuse, on utilise les congruences. C'est ce qui permet de transformer le temps et la hauteur d'une note en coordonnées exactes.

Intervenant 11:35

D'accord, donc prenons l'axe horizontal, le temps. On ne compte pas les secondes de façon infinie, j'imagine.

Intervenant 21:42

Voilà, non, pas du tout. On s'intéresse à la position de la note à l'intérieur de sa propre mesure. C'est la structure P pour position. Par exemple, si l'unité est la croche et qu'on a 8 croches par mesure, on fait un calcul en modulo 8.

Intervenant 11:57

Ah, donc c'est exactement comme une horloge. Une horloge qui ne tournerait que sur 8 chiffres, en fait.

Intervenant 22:02

C'est la meilleure analogie. Le compteur fait 0, 1, 2 jusqu'à 7 et au moment de passer à la mesure suivante, bim, on repart à 0.

Intervenant 12:10

Super clair. Et pour l'axe vertical alors, la hauteur de la note ? Parce que la fréquence acoustique réelle monte indéfiniment vers les aigus. Donc pour garder cette logique d'horloge cyclique, on utilise le concept d'octave, c'est ça ?

Intervenant 22:23

Exactement. Un do reste un do, qu'il soit grave ou très aigu. Sur un clavier de piano classique, une octave c'est 12 demi-tons, donc on va travailler avec un module 12.

Intervenant 12:34

Ok, donc le do c'est 0, le do dièse c'est 1 et on tourne jusqu'à retomber sur 0 à l'octave du dessus.

Intervenant 22:41

C'est tout à fait ça. On appelle ça la structure H pour hauteur et il y a une règle cruciale ici, l'enharmonie. En mathématiques, un do dièse et un ré bémol, c'est strictement la même coordonnée. Ils partagent la même valeur numérique.

Intervenant 12:56

D'accord. Donc on se retrouve avec un système de coordonnées à deux dimensions. Chaque note jouée a sa position P et sa hauteur H. Et en combinant les deux, j'ai vu passer le terme, accrochez-vous, l'espace Z sur NZ. C'est ça ?

Intervenant 23:10

Z sur NZ, ouais. Ça a l'air intimidant dit comme ça, mais ça décrit juste ce monde cyclique dont on vient de parler. Un monde où toutes les valeurs numériques finissent par tourner en boucle fermée.

Intervenant 13:20

Un grand cadran infini.

Intervenant 23:22

Voilà, ce double système génère une description périodique absolue. La mesure n'est plus une simple intention artistique, elle devient un sous-ensemble rigoureux de coordonnées discrètes.

Intervenant 13:33

Mais là, il y a une contradiction majeure qui me saute aux yeux. On a découpé la partition en paquets de données, mesure par mesure, avec nos coordonnées. Mais si l'objectif, c'est de comparer ces mesures entre elles pour voir l'évolution du morceau, il faut bien calculer une espèce de distance mathématique.

Intervenant 23:50

C'est indispensable,

Intervenant 13:51

oui. Sauf que l'article mentionne l'utilisation de la transformée de Fourier discrète pour faire ça. Et là, je t'arrête une seconde. La transformée de Fourier, d'habitude, ce n'est pas le truc qu'on utilise pour analyser les ondes sonores et faire du traitement du signal brut. Pourquoi est-ce qu'on appliquerait un outil audio sur des coordonnées symboliques qui ne font aucun son ?

Intervenant 24:09

C'est vrai que ça paraît complètement contre-intuitif. Il y a de quoi être surpris. Il faut vraiment rendre crédit aux théoriciens de la musique David Lewin qui a eu cette fulgurance. Ce qui est fascinant ici, c'est que Fourier, dans son essence, ça ne se limite pas aux ondes de pression dans l'air.

Intervenant 14:24

Ah bon ?

Intervenant 24:24

Non, ça sert à détecter des périodicités cachées dans n'importe quel ensemble de données. On utilise une formule impliquant des exponentiels complexes, des équations qui reviennent à enrouler nos données autour de cercles de différentes fréquences.

Intervenant 14:37

Enrouler les données ?

Intervenant 24:39

Oui, pour observer à quel moment les informations s'alignent et créer un pic de résonance mathématique. Ça nous donne un coefficient de Fourier pour chaque note de la mesure.

Intervenant 14:47

Ah, je crois que je saisis. Donc, si une mesure contient une note jouée tous les trois temps de manière très insistante, Fourier va capter ce rythme de 3 et produire un pic abstrait sans se soucier du son de l'instrument.

Intervenant 25:00

Exactement. L'outil scanne la périodicité intrinsèque de la structure. Au final, en agrégeant tout ça, on obtient une matrice globale pour la mesure entière, une véritable carte génétique de la mesure.

Intervenant 15:13

Oh wow ! Et donc c'est la distance entre ces matrices de Fourier qui permet de comparer nos mesures. Ça transforme toute la partition en un immense nuage de points.

Intervenant 25:22

C'est ça ! Les mesures qui se ressemblent structurellement seront très proches les unes des autres dans cet espace multidimensionnel, et les mesures différentes seront très éloignées.

Intervenant 15:31

C'est là que ça devient vraiment, mais alors vraiment intéressant. Parce qu'un nuage de points, bon, ça reste de la poussière en suspension. Il faut relier ces points pour construire de véritables géométries.

Intervenant 25:43

Oui, on appelle ce passage la filtration de graphes. C'est ce qui nous mène au complexe simplicio.

Intervenant 15:49

Des mots de vocabulaire qui font peur. Mais comment ça marche concrètement la filtration ?

Intervenant 25:54

En fait, c'est un processus hyper dynamique. On prend chaque sommet de notre graphe, donc chaque mesure, et on classe les distances de Fourier qu'on vient de calculer de la plus petite à la plus grande.

Intervenant 16:05

Ok, on fait un tri croissant ?

Intervenant 26:07

Et on commence à relier les points les plus proches par une arête. Puis on augmente progressivement ce seuil de tolérance, cette fameuse distance, et on ajoute de nouvelles arêtes pour relier des points de plus en plus éloignés.

Intervenant 16:18

Donc c'est littéralement comme si on construisait une énorme toile d'araignée en 3D.

Intervenant 26:23

Ou un échafaudage géant qui grandit étape par étape selon la proximité musicale des mesures.

Intervenant 16:28

C'est exactement cette image. Mais des fils connectés, ça ne suffit pas. Pour densifier la structure, la règle des complexes simpliciaux impose un jeu de remplissage.

Intervenant 26:38

C'est-à-dire ?

Intervenant 16:39

Dès que trois points finissent par être connectés entre eux, ils dessinent un triangle vide, n'est-ce

Intervenant 26:44

pas ?

Intervenant 16:45

La règle impose de colorier l'intérieur de ce triangle pour en faire une surface pleine, un simplex de dimension

Intervenant 26:51

2. J'imagine que si la filtration continue et connecte quatre points ensemble...

Intervenant 16:55

Bim ! Ça forme une pyramide, un tétraèdre, et on doit remplir ce volume pour en faire un simplex de dimension 3. L'échafaudage se remplit de chair mathématique à mesure que le seuil de distance augmente. C'est fou, on a généré une sculpture monumentale à partir d'une simple chanson. Mais une fois qu'on a cette immense masse de triangles et de tétraèdres, comment les mathématiciens font-ils pour y lire quelque chose d'utile ?

Intervenant 27:21

C'est là que la topologie algébrique entre en scène. Ils vont y chercher très spécifiquement des trous.

Intervenant 17:27

Des trous ? On connaît tous le vieux cliché du topologue qui ne fait pas la différence entre son donut et sa tasse à café, vu qu'il peut déformer la pâte de la tasse pour faire un anneau. Mais chercher des espaces vides dans notre toile d'araignée musicale, ça paraît contre-intuitif. Pourquoi chercher ce qui n'est pas là ?

Intervenant 27:44

Parce que dans cette architecture spécifique, le vide, c'est l'information la plus précieuse. Si plusieurs mesures forment un cycle harmonique, comme une grande progression d'accords, elles vont se relier entre elles et former une grande boucle fermée, laissant un énorme espace vide au

Intervenant 17:58

milieu.

Intervenant 28:00

Et ce vide va exister jusqu'à ce que le seuil de distance de notre filtration soit suffisamment élevé pour que de nouvelles arêtes viennent traverser ce cercle et le transformer en triangle plein, ce qui va tuer le trou.

Intervenant 18:12

Donc plus un trou met du temps à se remplir et à disparaître pendant la croissance de la structure, plus le cycle musical qu'il représente est fondamental et résistant.

Intervenant 28:21

C'est la définition même de l'homologie persistante. On étudie ce qui persiste. La durée de vie de chaque trou, de sa naissance dans la filtration jusqu'à sa mort lorsqu'il est comblé, c'est ça la signature topologique unique du morceau.

Intervenant 18:33

Mais pour lire cette signature sans se perdre dans des dimensions impossibles à imaginer, il y a une méthode visuelle redoutable qui a été trouvée, c'est ça, les codes-barres.

Intervenant 28:42

Oui, la traduction est d'une limpidité géniale. Si une boucle, disons un triangle vide, apparaît à un instant t, et qu'elle se comble à un instant t plus n, on trace juste une barre horizontale noire de longueur n.

Intervenant 18:55

Donc l'axe horizontal représente le temps d'apparition et de disparition dans la filtration.

Intervenant 29:00

Exactement. Et la collection complète de ces barres crée un visuel identique à un code barre.

Intervenant 19:04

Je trouve cette image absolument géniale. Faut s'imaginer passer une partition de Beethoven ou un titre de Nirvana à la caisse d'un supermarché mathématique. Le scanner ne lit pas le pli, il lit l'ADN structurel pur de la musique.

Intervenant 29:17

C'est une super métaphore.

Intervenant 19:19

Et on voit une série de lignes noires, certaines super longues pour les grands motifs, d'autres toutes courtes pour les fioritures locales. Tout ce cheminement complexe s'incarne là-dedans. Ce qui nous amène à l'application concrète la plus dingue de ces travaux.

Intervenant 29:32

La fameuse rencontre entre Bach et le heavy metal.

Intervenant 19:36

Voilà, on a trié des fichiers MIDI par genre, juste grâce à ces codes-barres topologiques. C'est bien ça, hein ?

Intervenant 29:42

Absolument. L'étude a mis en place une véritable arène algorithmique, avec un jus de données hyper contrasté. 45 œuvres majeures de Jean-Sébastien Bach, des préludes, des fugues, des chorales. Et en face, une discographie complète de heavy metal, de hard rock, de pop.

Intervenant 19:59

Et l'ordinateur n'a eu accès à aucun fichier audio, aucun tempo, aucun son d'instrument. Il n'a lu que les statistiques tirées de nos fameux codes-barres.

Intervenant 210:07

Que des statistiques pures, oui. Les algorithmes ont calculé la longueur moyenne des barres, l'écart-type entre les très courtes et les très longues, et surtout, l'entropie du code-barre.

Intervenant 110:16

L'entropie, c'est-à-dire le niveau de désordre ou d'imprévisibilité de la structure, c'est ça ? Qu'est-ce que ça révèle entre une fugue du XVIIIe siècle et du métal ?

Intervenant 210:26

Une fugue de bâche repose sur un contrepoint extrêmement rigoureux, des motifs qui s'imitent de façon très stricte. Ça génère une entropie spécifique, révélant une architecture superordonnée. A l'inverse, le heavy metal s'est structuré autour de riffs répétitifs en bloc, des power chords bien massifs.

Intervenant 110:45

Ouais, c'est plus direct.

Intervenant 210:46

Exactement. Leurs trous topologiques naissent et meurent d'une manière complètement différente, ce qui génère des niveaux d'entropie qui reflètent cette dynamique pulsative.

Intervenant 110:55

Et le résultat de l'ordinateur est sans appel. Sur le nuage de points final, la musique de Bach s'est regroupée dans une région isolée. Et au sein même de ce groupe, l'algo a séparé les fugues des corails. Juste parce que leur topologie interne diffère.

Intervenant 211:09

C'est bluffant ! Et le métal a formé ses propres constellations de l'autre côté. Si l'on relie cela au contexte global, l'analyse topologique de données n'a pas été conçue pour l'art à la vase. On l'utilise en astronomie pour classifier les galaxies, ou en neurosciences pour les réseaux de neurones.

Intervenant 111:25

C'est vertigineux. Séparer l'énergie saturée d'une guitare de la rigueur d'un clavecent en mesurant l'écart-type d'un trou géométrique en dimension supérieure. C'est une avancée majeure. Mais bon, bien que prometteuse, cette méthode, c'est que la pointe de l'iceberg. Que manque-t-il pour aller plus loin aujourd'hui ?

Intervenant 211:44

Ce qui manque, c'est de la donnée à grande échelle. Pour distinguer des nuances complexes de jazz ou de musique traditionnelle non occidentale, il faut des corpus immenses. C'est pourquoi une base de données collaborative, massive, réunissant des milliers de fichiers MIDI, a été lancée et hébergée par l'Université de Strasbourg.

Intervenant 112:00

C'est fondamental de partager ces ressources.

Intervenant 212:03

Oui, d'ailleurs, la thèse aborde d'autres terrains, comme l'utilisation du tonnets de l'heure pour modéliser le réseau des relations harmoniques, ou encore des applications pour l'harmonisation automatique de chansons pop.

Intervenant 112:16

La partition n'est donc vraiment plus une simple instruction de jeu. C'est une matière première géométrique. Alors, qu'est-ce que tout cela signifie pour notre perception de la musique ? On invite vraiment toutes les personnes qui nous écoutent à tenter une petite expérience. La prochaine fois qu'une mélodie résonnera dans la pièce, que ce soit un vieux jazz ou le dernier tube radio, fermez les yeux un instant. Et on peut essayer d'imaginer ces nuages de points invisibles en pleine expansion, ces triangles qui se colorent dans le vide et ces immenses codes-barres qui dansent pour tisser la charpente de l'émotion ressentie. L'architecture mathématique de la musique est bien réelle et elle est monumentale. C'est

Intervenant 212:57

clair que ça change l'écoute.

Intervenant 112:58

Pour clore cette plongée, on aimerait laisser infuser une dernière réflexion, presque de la science-fiction. Si la recherche a prouvé que chaque style musical connu génère son propre code-barre topologique, avec une entropie spécifique, que se passerait-il si l'on inversait le processus ?

Intervenant 213:15

Inverser la machine.

Intervenant 113:16

Oui ! Si des mathématiciens dessinaient de toutes pièces un code-barres purement abstrait, ne correspondant à rien d'existant, et qu'on forçait un algorithme à le traduire en partition, pourrait-on générer mécaniquement un tout nouveau genre musical que l'oreille humaine n'a encore jamais conçu ?

Intervenant 213:34

Créer de l'art inédit à partir de géométrie pure, c'est fascinant.

Intervenant 113:38

C'est sur cette perspective d'une musique née d'une abstraction géométrique inédite que se termine cette exploration. Merci à tout le monde d'avoir suivi cette expédition vertigineuse au carrefour des arts et des sciences. Gardez toujours l'esprit grand ouvert aux structures cachées du monde et à très vite.