Dénombrer : quand compter ne suffit plus

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. On est super contents de démarrer cette nouvelle exploration mathématique aujourd'hui.

Intervenant 20:08

Salut Sam. Oui, une exploration qui s'annonce plutôt vertigineuse.

Intervenant 10:13

Vertigineuse, c'est le mot. Et pour commencer, je vais juste poser une question, une question super basique. Combien ? Combien de quoi ? Juste combien ? C'est vraiment la question de base. Si on demande à n'importe qui de compter les bonbons qu'il a dans la main, la réponse est instantanée, c'est un réflexe. On n'y pense même

Intervenant 20:31

pas. C'est très intuitif sur des petites quantités.

Intervenant 10:34

Mais si d'un coup, on demande de compter le nombre exact d'écureuils dans une immense forêt sauvage, ou alors le nombre de galaxies dans l'univers observable, là c'est la panique.

Intervenant 20:43

Ah bah oui, là les mathématiques semblent carrément s'effondrer.

Intervenant 10:46

Exactement. Et c'est pour ça qu'aujourd'hui, on s'attaque à cette question en apparence hyper simple, mais qui cache en fait un des plus grands défis scientifiques. Dénombrer.

Intervenant 20:55

Et d'ailleurs, pour bien comprendre l'ampleur de ce défi, il faut juste regarder d'où vient le mot en fait. La racine latine du verbe « dénombrer », c'est « numerus ». «

Intervenant 11:04

Numerus », donc ce qui donne la numération, énumérer, tout ça ?

Intervenant 21:08

C'est ça. « Numerus », c'est le nombre, la quantité pure quoi. Mais l'action humaine qui consiste à aller chercher cette quantité, à vraiment répondre à ce fameux « combien », c'est une aventure intellectuelle incroyable.

Intervenant 11:20

Et c'est toute la mission de notre plongée d'aujourd'hui. Parce qu'on a l'impression que compter sur ses doigts, c'est un truc d'enfant. Mais en fait, cette action fondamentale, elle relie notre réalité la plus concrète, genre la politique, la société, notre langage, aux modèles mathématiques les plus abstraits.

Intervenant 21:35

Complètement. Mais avant même de sortir les calculatrices ou de faire des grandes théories, il y a un piège.

Intervenant 11:41

Un piège.

Intervenant 21:42

Un énorme piège conceptuel dans lequel tout le monde tombe si on ne fait pas gaffe. Avant de demander combien, il faut déjà savoir de quoi on parle. On ne peut pas dénombrer le flou.

Intervenant 11:52

Ah oui, il faut définir les choses avant de les compter.

Intervenant 21:55

C'est la toute première règle, l'étape fondatrice. En mathématiques, c'est ce qu'on appelle définir un ensemble.

Intervenant 12:01

D'accord.

Intervenant 22:02

Si le périmètre de ce qu'on veut compter n'est pas explicité d'entrée de jeu, mais genre de manière chirurgicale, le dénombrement n'a strictement aucune valeur.

Intervenant 12:10

Genre, faut décider sans aucune ambiguïté ce qui appartient à l'ensemble et ce qui n'y appartient pas.

Intervenant 22:15

Exactement.

Intervenant 12:16

Et c'est marrant parce que ça, ça n'a rien d'une préoccupation de prof de maths enfermé dans son bureau. Enfin, c'est hyper concret. Prenons le recensement de la population par exemple.

Intervenant 22:25

Très bon exemple.

Intervenant 12:26

Quand un pays décide de compter ses habitants, ce n'est pas juste pour faire une jolie infographie à la fin de l'année. Les enjeux sont colossaux.

Intervenant 22:31

C'est des enjeux financiers, politiques, oui.

Intervenant 12:34

Voilà. La définition de cet ensemble, ça détermine la répartition des budgets nationaux, la construction des hôpitaux, le nombre de sièges à l'Assemblée nationale pour une région donnée.

Intervenant 22:43

C'est clair. Et l'avreux difficulté là-dedans, c'est la définition même des éléments. Qu'est-ce qu'on appelle un résident au final ?

Intervenant 12:49

Oui, c'est vrai ça.

Intervenant 22:50

Est-ce qu'on compte l'étudiant qui est parti faire un semestre à l'étranger ? Est-ce qu'on inclut le travailleur frontalier, le diplomate ou la personne sans domicile fixe ?

Intervenant 12:58

Donc si on n'a pas défini la frontière exacte de l'ensemble qu'on pourrait appeler « population résidente à l'instant

Intervenant 23:05

T » ? Le chiffre final est faux avant même d'avoir commencé à compter. La rigueur de la définition, ça passe avant le calcul.

Intervenant 13:12

C'est fascinant. Mais bon, supposons que notre ensemble soit parfaitement défini, on sait ce qu'on compte.

Intervenant 23:19

D'accord, on a notre périmètre.

Intervenant 13:21

Le travail de dénombrement peut commencer, et là c'est la méthode qui va devoir s'adapter à la réalité. Par exemple, si on m'offre une boîte de chocolat, la méthode elle est triviale.

Intervenant 23:30

Vous pointez du doigt 1, 2, 3, 4 et voilà.

Intervenant 13:33

C'est ça, de l'énumération directe, un par un. Mais si on me demande le nombre d'élèves dans un grand lycée de 2000 personnes, je vais pas exiger que tout le monde descende dans la cour pour les pointer du doigt un par un.

Intervenant 23:43

Ah bah non, ce serait complètement absurde.

Intervenant 13:46

Donc on fait comment ?

Intervenant 23:47

Dans le cas du lycée, on passe par une organisation préalable. On détermine l'effectif de chaque classe isolément et ensuite on additionne.

Intervenant 13:54

On structure l'ensemble en sous-groupes quoi ?

Intervenant 23:57

Voilà, c'est pour rendre le dénombrement humainement possible et limiter les erreurs de comptage.

Intervenant 14:02

L'organisation remplace le comptage brut. Mais j'aimerais qu'on vienne une seconde sur ce comptage brut justement. Le fait de pointer du doigt les chocolats 1, 2, 3, c'est tellement instinctif.

Intervenant 24:15

C'est vrai.

Intervenant 14:16

Il se passe quoi réellement dans notre cerveau à ce moment-là ?

Intervenant 24:18

C'est l'essence même de notre rapport au nombre en fait. On considère un premier objet, puis on y adjoint un nouvel objet en disant « ça fait deux », puis un autre « ça fait trois ».

Intervenant 14:27

Une simple addition répétée au fond.

Intervenant 24:29

C'est ça. Et d'un point de vue anthropologique, c'est un mécanisme extrêmement profond. Il y a une mathématicienne, Marcia Acher.

Intervenant 14:36

Ah oui, dans son livre sur les mathématiques d'ailleurs.

Intervenant 24:39

Exactement, publiée au Seuil en 98. Elle souligne super bien le fait que cette capacité d'énumération, c'est un véritable universel humain. Et surtout, c'est intimement, indissociablement lié au langage.

Intervenant 14:53

Un universel lié au langage. Mais attendez, il y a un paradoxe énorme là-dedans.

Intervenant 24:58

Ah bon ? Lequel ?

Intervenant 15:00

Les nombres par définition, c'est infini. Je peux toujours faire plus un. Mais notre vocabulaire, nos mots, c'est fini. Notre cerveau, il ne peut pas stocker une infinité de mots différents ?

Intervenant 25:11

Bien

Intervenant 15:11

vu. Alors comment on fait pour compter jusqu'à l'infini sans jamais être à court de mots ? On ne mémorise pas un dictionnaire infini de nombres ?

Intervenant 25:18

C'est là que c'est brillant.