Cauchy : les substitutions qui annoncent les groupes

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente, un accueil super chaleureux à toutes celles et ceux qui nous écoutent pour cette nouvelle exploration. Aujourd'hui, on a un programme franchement hallucinant.

Intervenant 20:12

Oh oui, je confirme. Bonjour à tous, on va plonger dans une histoire vraiment fascinante.

Intervenant 10:17

En fait, c'est simple. Chaque fois qu'un ordinateur crypte des données bancaires sensibles ou qu'une équipe de physique quantique calcule l'état d'une particule, on utilise un outil conceptuel très précis. Un outil qui a été inventé en 1815 par un tout jeune homme de 25 ans.

Intervenant 20:32

Augustin-Louis Cachi, pour ne pas le nommer.

Intervenant 10:34

Exactement. Et le détail le plus fou dans cette histoire, le vrai rebondissement, c'est que ce jeune chercheur ne s'intéressait ni à la cryptographie, qui de toute façon n'existait pas vraiment sous cette forme à l'époque, ni à l'algébre abstraite.

Intervenant 20:46

Pas du

Intervenant 10:46

tout, non. Non, lui, il essayait simplement de résoudre un vieux casse-tête arithmétique. Un truc impliquant des figures géométriques et des petits caillots. C'est un bonheur absolu d'explorer ça aujourd'hui, parce qu'on va vraiment plonger au cœur même de la sérendipité scientifique.

Intervenant 21:01

C'est tout à fait ça. C'est ce grand écart conceptuel qui rend l'histoire des mathématiques aussi belle en fait.

Intervenant 11:07

L'objectif de notre épisode, de notre mission d'aujourd'hui, c'est de comprendre comment une tentative pour, et je cite, « substituer pour compter », a carrément posé les fondations massives de la théorie des groupes et de l'algèbre linéaire moderne.

Intervenant 21:20

Ce qu'on va décortiquer ensemble, pas à pas, c'est l'invention de ce qu'on appelle le calcul des substitutions. Et l'idée de départ, elle semble d'une banalité affligeante.

Intervenant 11:29

Genre vraiment basique.

Intervenant 21:31

Vraiment. On prend une liste d'objets et on change leur ordre. C'est tout. Sauf qu'en décidant de regarder cette action très triviale avec une loupe d'une précision inédite, Cauchy a bâti une véritable machinerie.

Intervenant 11:47

Une machinerie qui ravit aujourd'hui autant les néophytes curieux de logique pure que les gros passionnés de théorèmes complexes. Mais parce qu'il y a un mais, il va falloir qu'on décortique tout ça tranquillement. Parce que passer du changement d'ordre d'une liste de nombres à la physique quantique, le saut est gigantesque.

Intervenant 22:04

C'est clair, on ne fait pas ça en un claquement de doigts.

Intervenant 12:06

Du coup, avant de plonger dans les outils vertigineux forgés par Cauchy, il est indispensable de poser le décor. Que se passait-il concrètement dans le paysage mathématique à la toute fin du XVIIIe siècle, juste avant que ce jeune prodige débarque ?

Intervenant 22:18

Alors si on remonte aux années 1770, une grande partie de la communauté mathématique en Europe est complètement obnubilée par une quête unique. Ils veulent trouver des formules générales pour calculer les racines des équations algébriques complexes.

Intervenant 12:34

Donc on parle de gros algèbre, la résolution d'équations polynomials corsées.

Intervenant 22:39

Voilà. Et des esprits brillants comme Edward Waring ou Alexandre Théophile Vandermonde commencent tout juste à manipuler ce qu'on appelle des permutations.

Intervenant 12:49

D'accord. Et c'est quoi l'intuition de base à ce moment-là ?

Intervenant 22:52

L'intuition, elle est plutôt maligne. Ils se disent, bon, si une équation possède plusieurs solutions complexes, que se passe-t-il si on prend ces solutions et qu'on les mélange ? Si on échange leurs positions directement dans les formules ?

Intervenant 13:04

Ah ouais, c'est une approche super intéressante. Au lieu de s'acharner à chercher la solution de front, on étudie le comportement des solutions potentielles entre elles.

Intervenant 23:13

Exactement. Et c'est Joseph-Louis Lagrange qui va le premier véritablement théoriser cette approche. Il va étudier comment les expressions mathématiques réagissent quand on permute les variables à l'intérieur.

Intervenant 13:24

Et ça, ça va poser les bases de la théorie de Galois plus tard, c'est ça ? Oui, tout à fait. Ces travaux serviront de rampe de lancement à la célèbre théorie de Galois. Et au début du XIXe siècle, cette théorie continue son bonhomme de chemin, notamment avec l'italien Paolo Ruffini.

Intervenant 23:39

Ruffini qui s'en sert pour prouver qu'on ne peut pas résoudre certaines équations de degré 5 avec des formules simples.

Intervenant 13:45

C'est ça, le contexte est donc hyper ciblé sur la résolution d'équations algébriques. Et c'est là que la situation devient délicieusement ironique. Parce que quand Cauchy entre en scène vers 1812-1815, il ne s'intéresse absolument pas à la résolution de ces équations. Pas une seule seconde.

Intervenant 24:01

Ah ben non, ça lui passe complètement au-dessus de la tête à ce moment-là.

Intervenant 14:04

Ce qui l'obsède, lui, c'est un problème issu d'un domaine totalement différent. C'est de la théorie pure des nombres. Et plus spécifiquement, le théorème de Fermat sur les nombres polygonaux.

Intervenant 24:15

C'est une bifurcation historique majeure. Et pour bien visualiser le truc, il faut se représenter ce que sont ces fameux nombres polygonaux.

Intervenant 14:23

Je crois qu'on a besoin d'une image mentale.

Intervenant 24:25

Oui. Imaginez des nombres que l'on peut illustrer physiquement en posant des points ou des petits cailloux pour former des polygones réguliers. Par exemple, avec 3 cailloux, on peut former un triangle sur le sol. Donc 3 est un nombre triangulaire.

Intervenant 14:39

Ok, je vous explique. Et avec 6 cailloux, on fait un triangle un peu plus grand.

Intervenant 24:43

C'est ça. Donc 6 est aussi un nombre triangulaire. Et on peut faire la même chose avec des carrés. 4 cailloux font un petit carré de 2 sur 2. 9 cailloux font un carré de 3 sur 3.

Intervenant 14:53

Et donc qu'est-ce qu'il avait dit de si spécial là-dessus, Fermat ?

Intervenant 24:56

Fermat avait affirmé, sur un bout de papier, sans en laisser la preuve complète, que n'importe quel nombre entier positif pouvait s'écrire comme la somme de trois nombres triangulaires, ou de quatre nombres carrés, ou de cinq nombres pentagonaux, et ainsi de suite.

Intervenant 15:11

Ah oui, c'est typique de Fermat ça. C'est un de ces théorèmes dont l'énoncé est merveilleusement simple à visualiser, mais qui donne des sueurs froides à des générations entières de mathématiciens qui veulent le prouver.

Intervenant 25:21

Totalement. Et Cauchy, lui, il se met en tête de démontrer cette affirmation de manière générale et incontestable. Il s'appuie d'ailleurs sur une lecture faite sur ce sujet à l'Académie des sciences en 1812.

Intervenant 15:32

D'accord. Mais du coup, quel est le rapport entre ces cailloux et les permutations ?

Intervenant 25:37

Eh bien, pour venir à bout de ce casse-tête arithmétique, il doit manipuler des systèmes immenses de variables. Et pour ne pas se perdre dans ces calculs vraiment kilométriques, il est obligé de réorganiser systématiquement les indices de ces variables.

Intervenant 15:51

Il doit étudier toutes les combinaisons possibles en fait.

Intervenant 25:54

C'est ça. Et c'est dans ce cadre extrêmement contraint qu'il commence à jouer sérieusement avec les permutations. Ce qui va aboutir, en 1815, à la publication de deux mémoires fondamentaux dans le journal de l'école Polytechnique. Deux mémoires qui vont tout changer.

Intervenant 16:07

Je trouve cette ironie de l'histoire des sciences tellement croustillante. J'ai une métaphore qui me vient en tête, c'est un peu comme si quelqu'un essayait de réparer le thermostat d'un vieux grille-pain. Pour avoir la tartine parfaite, il bidouille les fils, les résistances, et paf au passage, Pour résoudre son problème d'électricité, il invente le réacteur nucléaire par accident.

Intervenant 26:25

C'est une excellente analogie, c'est exactement ça.

Intervenant 16:28

La résolution d'un problème hyper spécifique l'a forcé à inventer des outils si puissants qu'ils ont ouvert une porte dérobée vers un continent mathématique inconnu.

Intervenant 26:36

Et ce qui frappe vraiment quand on lit les mémoires de Cauchy, c'est qu'il se rend compte très vite que pour avancer, le vocabulaire de ses prédécesseurs n'est pas suffisant. Les termes étaient utilisés de façon un peu floue.

Intervenant 16:47

Les gens mélangeaient tout à l'époque.

Intervenant 26:49

Un peu, oui. Donc, l'étape fondatrice de son premier mémoire, ça a été d'imposer une distinction vraiment chirurgicale entre deux termes que tout le monde confondait allègrement. La permutation et la substitution.

Intervenant 17:03

Attendez, arrêtons-nous là-dessus. Parce que, honnêtement, dans le langage courant, permuter ou substituer des éléments, c'est exactement la même chose. C'est bonnet blanc et blanc bonnet.

Intervenant 27:14

Dans le langage courant, oui.

Intervenant 17:15

Alors, quelle est cette différence fondamentale qui a tout changé pour lui ?

Intervenant 27:19

La différence, elle réside entre l'état et l'action. C'est crucial. Chez Cauchy, une permutation, c'est purement statique. C'est un arrangement donné, une disposition précise d'objets à un instant

Intervenant 17:31

T. Une disposition genre une liste ?

Intervenant 27:34

Voilà. Prenons l'ensemble des entiers de 1 à 4. Si on les dispose dans l'ordre 1, 2, 4, 3, bah cet arrangement précis, cette liste figée, c'est une permutation. Si on les met autrement, disons 2, 4, 3, 1, c'en est une autre. Elle ne bouge pas.

Intervenant 17:50

Ok, je vois. Et la substitution alors ?

Intervenant 27:53

La substitution, c'est l'action dynamique, c'est le mouvement mathématique, l'opération active qui va détruire l'arrangement initial pour construire le nouvel arrangement.

Intervenant 18:02

Ah, la nuance est brillante.