Dimension fractale : comment être entre ligne et surface ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on va imaginer une forme géométrique si étrange et chaotique qu'elle possède un périmètre littéralement insigne.

Intervenant 20:11

Ouais, un périmètre infini, mais qui, au final, ne prend aucune surface. C'est complètement fou.

Intervenant 10:16

C'est ça. Une forme impossible à tracer avec un crayon, avec des pointes super acérées à chaque fraction de millimètre. Un truc qui a vraiment terrifié les plus grands cerveaux du 19e

Intervenant 20:26

siècle. C'était de vrais monstres pour eux à l'époque.

Intervenant 10:30

Et c'est exactement pour ça qu'on se lance dans cette nouvelle exploration. On va complètement bouleverser une certitude absolue en truc qu'on acquiert tous sur les bancs de l'école et qu'on remet jamais en question.

Intervenant 20:40

C'est clair. On va décortiquer un concept mathématique qui donne un peu le vertige, disons-le, la fameuse dimension fractale.

Intervenant 10:46

Alors, pour comprendre toute la puissance de ce concept, on va devoir accepter de perdre un peu l'équilibre au début.

Intervenant 20:54

Ouais, il va falloir oublier notre intuition bien ordonnée de l'espace et plonger vraiment là où la géométrie classique s'est littéralement fracturée, en fait.

Intervenant 11:04

Parce que, bon, posons les bases. Tout le monde est familier avec les dimensions classiques. C'est hyper intuitif. Là, une dimension ou la 1D, c'est la ligne droite.

Intervenant 21:14

Voilà. Et la 2D, c'est le plan. Genre une feuille de papier, l'écran d'un téléphone ou un terrain de foot.

Intervenant 11:21

Exactement. Et du coup, la 3D, c'est notre monde physique quoi, le volume, l'espace dans lequel on vit. C'est simple, c'est net, ce sont toujours des nombres entiers. 1, 2, 3.

Intervenant 21:33

C'est rassurant en fait.

Intervenant 11:34

C'est très rassurant.

Intervenant 21:35

Mais voilà la question centrale de notre plongée d'aujourd'hui. Et si un objet géométrique pouvait exister dans une dimension de, disons, 1,262 ? Ah oui, une dimension de 1,585 par exemple.

Intervenant 11:48

Mais c'est une pensée qui dérange l'esprit ça, une dimension à virgule, enfin une dimension fractionnaire. Comment c'est possible physiquement ?

Intervenant 21:57

Pour saisir l'ampleur du truc, il faut d'abord réaliser à quel point le monde mathématique d'avant était ultra rigide.

Intervenant 12:03

Pendant des siècles, c'était la vision du grec Euclide qui dominait, c'est ça ?

Intervenant 22:07

C'est ça. Dans ce monde euclidien, la dimension d'un objet correspond tout simplement au nombre de paramètres indépendants dont on a besoin pour s'y repérer.

Intervenant 12:15

Ok, on va rendre ça hyper concret avec une analogie de tous les jours. Un GPS. Si on donne rendez-vous à quelqu'un sur une autoroute parfaitement droite, un seul nombre suffit.

Intervenant 22:25

Ouais, tu dis juste rendez-vous à la borne kilométrique 42 et boum.

Intervenant 12:28

Boum, c'est ça. Un seul paramètre, donc on est en dimension 1. C'est très carré.

Intervenant 22:33

Et cette logique d'Auclide, elle a été perfectionnée par René Descartes au XVIIe siècle, avec ses fameuses coordonnées cartésiennes.

Intervenant 12:41

Ah oui, Descartes, le fameux pont entre l'algèbre, donc les calculs, et la géométrie, donc les formes.

Intervenant 22:48

Exactement. Donc, si on prend une courbe classique, disons un cercle bien lisse ou une vaguelette, de manière évidente, c'est un objet de dimension 1.

Intervenant 12:56

Attends, faisons une petite pause là. Un cercle, c'est dessiné sur une feuille de papier, non ? Et la feuille, elle est en deux dimensions, donc le cercle devrait être en 2D. Ah

Intervenant 23:05

bah ça, c'est la confusion classique. Mais il faut bien séparer l'objet de l'espace dans lequel il habite en fait.

Intervenant 13:11

D'accord.

Intervenant 23:12

Le cercle est dessiné dans un espace en deux dimensions, ça ok. Mais le cercle lui-même, la fine lignée d'encre qu'il compose, elle est deux dimensions 1.

Intervenant 13:20

Comment on le prouve ça ?

Intervenant 23:21

Si on choisit un point de départ sur ce cercle, on a besoin d'un seul et unique nombre pour repérer n'importe quel autre point sur la ligne. L'abscisse curviligne quoi.

Intervenant 13:30

Ah je vois. Si je marche le long de cette ligne courbée, avancer de 3 mètres me donne une position exacte. Le chiffre 3 suffit. Un paramètre donc. Dimension 1.

Intervenant 23:41

Exactement. C'est l'objet en lui-même qui dicte sa dimension.

Intervenant 13:45

Du coup, si on change d'échelle et qu'on passe à la surface de la Terre, là, un seul kilométrage, ça ne suffit pas pour un rendez-vous.

Intervenant 23:52

Non, là, il nous faut deux nombres, la latitude et la longitude.

Intervenant 13:56

Deux paramètres, donc la surface d'une sphère est en 2D. Et si on s'enfonce vers le centre de la Terre, dans la boule pleine, on rajoute la profondeur. Trois paramètres, dimension 3.

Intervenant 24:07

C'est tout à fait ça. Ce qu'il faut vraiment retenir de cette époque, c'est le confort psychologique de ce système. Tout repose sur des entiers naturels.

Intervenant 14:16

Les lignes sont douces, il n'y a pas de trous infinis.

Intervenant 24:20

Voilà. Ça donnait aux savants l'illusion totale de contrôler l'espace. La certitude que tout pouvait être dompté avec des règles et des compas.

Intervenant 14:27

Un monde parfait et bien sage. Sauf que ça finit par voler en éclats.

Intervenant 24:33

Ah ça, oui. Fin du 19e siècle, c'est le grand frisson mathématique.

Intervenant 14:37

C'est là que débarquent nos fameux monstres Linton. Des objets tellement bizarres qu'ils viennent briser cette harmonie millénaire.

Intervenant 24:44

C'est ce qu'on a appelé la crise de la tangente. À partir des années 1830, des mathématiciens comme Bolzano, Riemann et surtout Karl Weierstrass vont faire des découvertes très choquantes.

Intervenant 14:54

Et Weierstrass, il sort du bois avec une famille de fonctions qui défient tout bon sens géométrique.

Intervenant 25:00

Une vraie révolution, ouais.

Intervenant 15:02

Ok, il faut vraiment qu'on décortique ça. Parce que c'est là que le cerveau commence à résister. La fameuse fonction de Weierstrass.

Intervenant 25:09

On t'écoute.

Intervenant 15:11

Cette équation, elle génère une courbe qui est parfaitement continue. Et continue, ça veut dire qu'on peut théoriquement la tracer du début à la fin sans jamais lever le crayon.

Intervenant 25:19

Exactement. Il n'y a pas de trou, pas d'interruption.

Intervenant 15:22

Mais, et c'est un énorme mais, cette courbe n'accepte aucune tangente. Nulle part. Elle est dérivable en aucun point.