Quand les fonctions sont devenues les points de nouveaux espaces

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on plonge dans une réflexion qui risque de modifier complètement notre perception de la réalité.

Intervenant 20:09

Ouais,

Intervenant 10:11

rien que ça. Bah oui. Imaginons un morceau de caoutchouc. On peut l'étirer dans tous les sens, le tordre, le compresser en boules. Et tant qu'on ne le déchire pas, mathématiquement parlant, il est possible de dire que sa forme fondamentale n'a pas du tout changé.

Intervenant 20:26

C'est ça, oui.

Intervenant 10:27

Genre un cercle parfait ou une flaque dessinée à la va-vite, c'est exactement la même chose. Ça semble complètement absurde, non ?

Intervenant 20:34

Très contre-intuitif en tout cas.

Intervenant 10:37

Totalement. Et pourtant, c'est en acceptant de briser ces règles intuitives de notre monde physique que les mathématiciens ont accompli une des plus grandes prouesses de l'histoire. Donc l'objectif de notre exploration du jour, basée sur des sources historiques vraiment fascinantes, c'est de comprendre cette fameuse conquête des espaces.

Intervenant 20:56

Et attention, on ne parle pas de l'espace cosmique avec les fusées et les planètes.

Intervenant 11:00

Ah non, non, pas du tout. On va voir comment, à la charnière du XXe siècle, les savants ont dû repenser la distance, les dimensions et la proximité, tout simplement pour dompter l'infini.

Intervenant 21:11

Et le point de départ de cette aventure est assez ironique en fait. Il faut vraiment se replonger dans l'état d'esprit de la communauté scientifique à la toute fin du XIXe siècle.

Intervenant 11:21

Ils étaient dans quel état d'esprit du coup ?

Intervenant 21:24

À cette époque, l'immense majorité des mathématiciens pensaient très sincèrement que l'analyse mathématique, donc l'étude des fonctions, des dérivés et tout ça, c'était un domaine terminé.

Intervenant 11:35

Attends, terminé ? Genre fini, on ferme la boutique ?

Intervenant 21:40

C'est exactement ça. L'édifice était considéré comme parfait, achevé.

Intervenant 11:45

Mais pourquoi une telle confiance ? Enfin, on a toujours l'impression qu'en science, il y a constamment de nouvelles portes à ouvrir. Pourquoi il pensait avoir fini le jeu ?

Intervenant 21:53

Parce qu'il venait de résoudre un problème qui traînait depuis l'Antiquité, en fait. Depuis les fameux paradoxes de Zénon.

Intervenant 11:59

Ah, le problème de l'infiniment petit.

Intervenant 22:01

Exactement. Des géants des mathématiques, comme le français Augustin-Louis Cauchy et l'allemand Karl Weierstein, venaient de poser les fondations d'une rigueur absolue.

Intervenant 12:11

D'accord, parce qu'avant eux, c'était un peu bancal.

Intervenant 22:14

Avant eux, la notion de limite d'une fonction, ça reposait sur une intuition géométrique un peu floue. On disait qu'une courbe se rapprochait d'un point sans jamais le toucher, mais ça manquait cruellement de solidité logique.

Intervenant 12:26

Et eux, ils ont réglé ça.

Intervenant 22:27

Oui. Cauchy et Willier-Strauss ont défini la limite avec une précision chirurgicale, sans faire appel à des dessins, uniquement avec des nombres réels parfaitement construits.

Intervenant 12:37

Ok, donc la maison est bâtie sur du béton armé, le toit fut plus, tout fonctionne. Mais alors s'ils pensaient avoir terminé ?

Intervenant 22:44

D'où vient la révolution, c'est ça ?

Intervenant 12:46

Bah oui. Pourquoi réparer une machine qui tourne à la perfection ?

Intervenant 22:49

Parce que certains esprits ont commencé à regarder au-delà des objets eux-mêmes. Ils se sont intéressés aux structures qui les gouvernent. Le véritable séisme, en fait, il vient pas de l'analyse, mais de l'algèbre absurde.

Intervenant 13:01

Bon, décortiquons tout ça. Qu'est-ce qui a allumé la mèche ?

Intervenant 23:05

Les premières graines ont été semées par un jeune homme au destin super tragique, Évaris Galois. Avant de mourir lors d'un duel en 1832, à seulement 20 ans. 20 ans, c'est dingue.

Intervenant 13:16

Ouais,

Intervenant 23:17

incroyable. Il a jeté les bases de ce qu'on appelle la théorie des groupes. Et il a été suivi par des chercheurs comme Arthur Cayley en Angleterre, Léopold Kronecker en Allemagne et Camille Jordan en France.

Intervenant 13:29

Et ils ont trouvé quoi, tous ces gens ?

Intervenant 23:31

Ils ont commencé à remarquer une chose très étrange. Des motifs, ou des règles logiques si tu préfères, se répétaient à l'identique dans des domaines mathématiques qui n'avaient strictement rien à voir les uns avec les autres.

Intervenant 13:43

C'est genre un motif qui se répète ? C'est comme jouer aux cartes toute sa vie, et soudain tu réalises que les règles de ce jeu de cartes peuvent s'appliquer à un jeu vidéo ou à la mécanique d'une voiture.

Intervenant 23:56

C'est une excellente analogie, c'est exactement ça. Prenons une règle très basique qu'on apprend tous à l'école, l'associativité. Si on a trois nombres, disons 1, 2 et 3, que l'on additionne d'abord 1 et 2 pour ensuite ajouter 3 au résultat, ou bien qu'on additionne d'abord 2 et 3 pour ensuite y ajouter le 1,

Intervenant 14:16

À la fin, on obtient toujours 6. L'ordre ne change rien.

Intervenant 24:19

Voilà. L'ordre des regroupements n'a aucune importance. Ça, c'est intuitif pour des nombres. Mais la révélation, c'est que cette même règle d'associativité, elle fonctionne pour des choses qui ne sont pas du tout des nombres.

Intervenant 14:30

Genre quoi ?

Intervenant 24:31

En elle-même, de façon totalement indépendante des objets qu'elle manipule.

Intervenant 14:35

D'accord, je vois.