Mandelbrot : comment les fractales ont révélé la nature

Intervenant 10:00

Imaginons un instant observer très attentivement un nuage qui flotte dans le ciel. On regarde ses contours, sa forme un peu cotonneuse et là bam ! On réalise soudainement qu'il obéit exactement à la même structure, enfin à la même formule mathématique hyper complexe que les pics totalement chaotiques d'un graphique de la bourse.

Intervenant 20:20

Ouais, c'est une image assez vertigineuse quand on y pense.

Intervenant 10:24

Complètement. Alors, bienvenue dans cette nouvelle exploration géométrique, le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on va complètement délaisser la géométrie classique. Tu sais, celle qu'on nous a enseignée à l'école, avec ses figures super lisses et parfaites.

Intervenant 20:39

Ah bah oui, on a tous en tête ses lignes droites infinies, ses cercles d'une rondeur absolue ou ses carrés avec des angles impeccables quoi.

Intervenant 10:47

C'est ça, c'est rassurant, c'est très net, c'est ordonné. Mais aujourd'hui, on va plonger au cœur d'une véritable rupture scientifique. On va s'intéresser à ce que l'histoire des mathématiques appelle des monstres.

Intervenant 20:59

Des monstres mathématiques,

Intervenant 11:01

ouais. Des formes géométriques qui ont été totalement libérées au XXe siècle et qui sont venues pulvériser cette perfection bien sage pour révéler la véritable forme de notre monde. Une forme qui est infiniment fracturée.

Intervenant 21:14

C'est tout à fait le cœur de notre sujet en fait. L'objectif de notre analyse d'aujourd'hui, c'est vraiment de comprendre la mécanique de cette révolution. Comment une obsession millénaire, celle de vouloir dompter l'infini, a fini par littéralement briser la ligne droite. Et c'est

Intervenant 11:29

ça qui est dingue.

Intervenant 21:30

Ouais. Et le point crucial, c'est que cette brisure n'a pas du tout détruit les mathématiques. Au contraire, elle a offert une nouvelle lunette en fait pour regarder la nature.

Intervenant 11:41

Donc de la rugosité d'une montagne jusqu'à l'irrégularité des tremblements de terre, tout s'éclaire grâce à ce changement de paradigme.

Intervenant 21:48

Exactement. Et tout ça, c'est porté par un mathématicien visionnaire, Benoît Mandelbrot.

Intervenant 11:54

Bon alors pour comprendre l'impact de ces fameux monstres mathématiques, je pense qu'il faut d'abord bien saisir l'ordre établi qu'ils ont bouleversé, non ? Parce que, avant de briser la ligne droite, il a fallu des siècles pour la définir et s'y accrocher.

Intervenant 22:07

Ah ça c'est clair. On doit vraiment remonter à l'antiquité, au moment où la géométrie livre un peu sa première grande bataille. L'affrontement entre le droit et le courbe.

Intervenant 12:17

Le droit contre le courbe, un vrai match de catch géométrique.

Intervenant 22:21

C'est un peu ça. Pendant très longtemps, le droit et le courbe, ils étaient perçus comme deux royaumes totalement incompatibles.

Intervenant 12:28

Ouais.

Intervenant 22:28

Le monde du droit, avec ses lignes, ses triangles, ses polygones, c'est le monde des certitudes. Les architectes et les mathématiciens grecs, ils savaient parfaitement calculer l'air d'un champ rectangulaire.

Intervenant 12:39

Ou la diagonale d'un carré, tout ça c'était bien maîtrisé quoi.

Intervenant 22:42

Voilà. Mais dès qu'une ligne se mettait à courber, alors là tout basculait.

Intervenant 12:46

En fait, la courbure, c'était le chaos de l'époque.

Intervenant 22:48

C'est exactement ça. Le courbe opposait une résistance féroce à la mesure. Comment tu veux mesurer précisément la longueur d'un trait qui change constamment de direction, qui fuit la ligne droite à chaque millimètre ?

Intervenant 12:59

C'est vrai que ça remet en cause la notion même de distance. On fait comment, du coup ?

Intervenant 23:03

Eh bien, face à cet impasse, Archimède, donc dans la Grèce antique, propose une solution brillante. Il instaure une sorte de pacte.

Intervenant 13:10

Un compromis historique.

Intervenant 23:12

Ouais, un gentleman's agreement entre le droit et le courbe, notamment pour tenter de calculer le périmètre d'un cercle et donc par extension d'approcher le fameux nombre Pi.

Intervenant 13:21

La méthode d'Archimède, je la trouve vraiment fascinante de pragmatisme en fait. Puisqu'il ne peut pas mesurer la courbe du cercle avec une règle droite, il l'encercle. Il trace un polygone à l'intérieur du cercle et un autre à l'extérieur.

Intervenant 23:34

Tout à fait. C'est ce qu'on appelle le principe de la méthode d'exhaustion. Archimède, il utilise des figures géométriques dont il maîtrise parfaitement les règles.

Intervenant 13:42

Des hexagones, par exemple.

Intervenant 23:43

Voilà, des hexagones. Du coup, l'air du cercle se trouve obligatoirement coincé entre l'air du polygone intérieur et celle du polygone extérieur.

Intervenant 13:51

Tu sais, en préparant cette émission, cette méthode, ça m'a immédiatement fait penser au fonctionnement d'un vieil écran d'ordinateur ou d'un jeu vidéo rétro en 8 bits.

Intervenant 24:01

Ah oui, très bonne image.

Intervenant 14:03

Bah oui, parce que si on veut dessiner un cercle à l'écran, la machine est obligée d'utiliser des pixels, qui sont des petits carrés. Au début, avec peu de pixels, le cercle ressemble à un escalier. C'est très anguleux, très droit.

Intervenant 24:15

C'est tout pixelisé

Intervenant 14:16

quoi. C'est ça. Mais si on multiplie les pixels, si on augmente la résolution de l'écran avec des millions de petits carrés, l'escalier devient invisible. L'œil humain finit par percevoir un cercle parfait. Archimède faisait exactement ça. Il multipliait les côtés de ses polygones pour imiter la courbure.

Intervenant 24:34

L'analogie de l'écran est super juste en fait, parce qu'elle met le doigt sur le mécanisme central de cette méthode, et aussi sur son immense danger, l'infini. L'infini, le mot qui fait peur. Bah ouais, pour que le polygone épouse parfaitement le cercle, pour que, comme tu dis,

Intervenant 14:43

l'escalier disparaisse, il faut augmenter le nombre de côtés sans jamais s'arrêter, il faut tendre vers l'infini. Et pour les penseurs de l'antiquité, j'imagine que l'infini, ce n'était pas juste un outil mathématique. C'était un concept profondément angoissant. Ça signifiait l'absence de limite, le vertige de ce qui ne s'achève jamais.

Intervenant 25:07

Exactement.

Intervenant 15:08

Du coup, introduire l'infini dans un calcul géométrique, c'était ouvrir la boîte de Pandore, non ?

Intervenant 25:12

Totalement. C'était un véritable tabou, à la fois philosophique et mathématique. Et ce tabou, il a provoqué des ondes de choc pendant des siècles. Manipuler l'infini, ça conduisait à des paradoxes qu'on jugeait insolubles.

Intervenant 15:23

Comment une somme infinie de petites choses pouvait donner un résultat fini.

Intervenant 25:27

Voilà. Le compromis d'Archimède fonctionnait en pratique, mais d'un point de vue purement théorique, l'infini restait une bête sauvage qu'on n'osait pas regarder en face.

Intervenant 15:36

Et il a fallu attendre un bon bout de temps.

Intervenant 25:38

Oh oui, près de deux millénaires. C'est seulement au XIXe siècle que les mathématiciens parviennent enfin à trouver une véritable paix géométrique.

Intervenant 15:46

C'est un saut dans le temps vertigineux. Donc le problème qui a été posé dans l'Antiquité, il reste comme une plaie ouverte jusqu'aux travaux de mathématiciens comme Cauchy, Bolzano, Dedekind et surtout Georges Cantor au XIXe siècle ?

Intervenant 25:58

Exactement.

Intervenant 15:59

Mais comment ils ont fait pour accomplir ce que les Grecs redoutaient tant ? Enfin, comment on dompte l'infini ?

Intervenant 26:04

En fait, ils ont tout simplement arrêté de le fuir. Ils ont décidé de le regarder avec une rigueur absolue. Cantor, par exemple, il a complètement repensé la théorie des ensembles.

Intervenant 16:14

C'est-à-dire ?

Intervenant 26:14

Au lieu de voir l'infini comme un simple processus qui s'arrête jamais, tu vois, un truc en mouvement, il l'a conceptualisé comme un objet mathématique à part entière. Un objet qu'on peut classer et même mesurer. C'est brillant. Ouais.