Fréchet et Hausdorff : la distance au-delà des points

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on entame une exploration qui donne littéralement le vertige.

Intervenant 20:08

Oui, complètement. C'est un sujet fascinant.

Intervenant 10:11

Oui, parce que imaginons un instant qu'on cherche à mesurer la distance exacte entre, je ne sais pas, une symphonie de Mozart et une recette de

Intervenant 20:19

cuisine. Ou bien la distance entre deux trajectoires d'astéroïdes en mouvement.

Intervenant 10:24

Exactement. Ça semble complètement absurde, presque impossible à quantifier. Et pourtant, la plongée d'aujourd'hui va prouver le contraire à quiconque s'intéresse un peu aux mathématiques.

Intervenant 20:33

C'est ça. On va voir comment tout a basculé.

Intervenant 10:36

En fait, on a l'habitude de penser que certains concepts sont tellement évidents qu'ils ont toujours existé sous leur forme actuelle. Prenons un exemple tout bête, la distance. Un mètre ruban pour mesurer la longueur d'un meuble ou un GPS pour calculer le trajet entre deux villes, c'est du solide, c'est physique quoi.

Intervenant 20:54

C'est un chiffre hyper rassurant oui.

Intervenant 10:56

Voilà. Mais l'objectif de notre analyse d'aujourd'hui, c'est de comprendre comment, au tout début du XXe siècle, des esprits brillants ont ressenti le frisson absolu de découvrir un véritable nouveau monde.

Intervenant 21:08

Un nouveau monde mathématique, oui.

Intervenant 11:10

Et pour ça, ils ont dû détruire cette certitude, ils ont dû réinventer, redéfinir et tordre dans tous les sens ce concept hyper quotidien qu'est la distance. C'est fou quand on y pense.

Intervenant 21:21

C'est un bouleversement total des repères en fait. Cette exploration permet d'observer un passage vraiment spectaculaire à l'abstraction pure. La théorie des ensembles qui émerge à cette époque-là va servir de rampe de lancement inespérée, tu vois. Elle va permettre de prendre une notion très classique comme la valeur absolue qui s'appliquait sagement au nombre réel pour l'étendre à des territoires où un simple mètre ruban n'a plus aucun sens géométrique.

Intervenant 11:49

Bon, décortiquons un peu tout ça, car on ne détruit pas un outil millénaire sans raison.

Intervenant 21:53

Non, c'est sûr !

Intervenant 11:54

Pour comprendre pourquoi on a eu besoin d'inventer une nouvelle façon de mesurer, il faut d'abord pointiller du doigt les limites du système précédent.

Intervenant 22:02

Tout à fait. Il faut remonter le temps.

Intervenant 12:04

D'après nos sources, si on retourne dans les années 1860, les mathématiques fonctionnent encore dans un monde très bien ordonné.

Intervenant 22:11

Ouais, principalement sous l'impulsion de Karl Weierstrass.

Intervenant 12:14

Karl Weierstrass, voilà. Mais que se passe-t-il exactement à ce moment-là pour lui ?

Intervenant 22:20

Eh bien, Weierstrass, il est en train de nettoyer les fondations de l'analyse classique. Il formalise, de manière extrêmement rigoureuse, les notions de continuité et de limite.

Intervenant 12:31

Ah oui, les fameuses limites qu'on étudiait au lycée.

Intervenant 22:33

C'est ça. Et son outil fondamental, son étalon or à l'époque, c'est la valeur absolue.

Intervenant 12:39

D'accord. Et visuellement, ça donne quoi pour notre audience ?

Intervenant 22:41

Pour comprendre la mécanique, c'est super visuel en fait. Il prend deux nombres sur une droite, il soustrait l'un à l'autre et il prend la valeur absolue pour ignorer le signe.

Intervenant 12:51

Ok, donc si on a moins 2 ou plus 2, ça devient juste 2, c'est ça ?

Intervenant 22:55

Exactement. Cela lui donne un écart pur, une distance. Ensuite, il observe le comportement des formules mathématiques lorsque cet écart tend vers zéro.

Intervenant 13:03

Ça a l'air super efficace.

Intervenant 23:05

Ah, mais cette méthode est d'une puissance redoutable. Le problème ? Parce qu'il y a un problème.

Intervenant 13:10

Bah oui, sinon on n'en parlerait

Intervenant 23:12

pas. Le problème, c'est qu'elle est profondément, intimement liée à notre espace classique. Elle présuppose qu'on travaille avec des points bien sages, tu vois.

Intervenant 13:20

Des points alignés sur une droite ou placés dans un espace à deux ou trois dimensions.

Intervenant 23:25

C'est exactement ça.

Intervenant 13:27

En gros, c'est le confort absolu. On a un point de départ, un point d'arrivée. On tire un trait virtuel entre les deux et hop, on a notre mesure.

Intervenant 23:35

Sauf que les mathématiques ne restent jamais sages très longtemps.

Intervenant 13:38

À ça, jamais. Et c'est là que les années 1870 arrivent et viennent un peu fissurer ce bel édifice.

Intervenant 23:45

Avec fracas, même.

Intervenant 13:46

Les Allemands Georges Cantor et Richard Dedeckind développent la fameuse théorie des ensembles. Théorie qui sera formalisée ensuite par l'Italien Giuseppe Peano.

Intervenant 23:56

Absolument.

Intervenant 13:56

Et là, soudainement, on ne regarde plus des points isolés, on commence à manipuler des collections entières, des groupes infinis, des structures invisibles quoi. On change de focale.

Intervenant 24:07

Complètement. Et le langage mathématique mute avec ce changement de focale. Très vite, d'autres mathématiciens italiens s'en emparent. Je pense à Vito Volterra et Salvatore Pinscherl.

Intervenant 14:19

D'accord, donc l'étage lié est très présent à ce moment-là.

Intervenant 24:21

Oui, ils utilisent ce nouveau langage des ensembles pour regarder des espaces radicalement différents. Ce ne sont plus des espaces peuplés de points.

Intervenant 14:29

Mais peuplés de quoi, alors ?

Intervenant 24:31

Leurs éléments de base, ce sont des fonctions. Le mathématicien français Paul Lévy baptisera ça plus tard l'analyse fonctionnelle.

Intervenant 14:39

Des fonctions traitées comme de simples objets.

Intervenant 24:42

Exactement. C'est le grand saut.

Intervenant 14:44

Et c'est là qu'il faut visualiser la rupture pour quiconque nous écoute. C'est comme si on passait soudainement de la mesure d'un trajet en voiture entre deux villes fixes à la nécessité incroyable de mesurer la distance entre deux idées ou deux trajectoires en mouvement perpétuel.

Intervenant 25:01

C'est une excellente métaphore.

Intervenant 15:02

Mais concrètement, au niveau mathématique, pourquoi la simple valeur absolue de Weierstrass dont tu parlais, elle tombe en morceaux dès qu'on essaye de manipuler ces fameuses fonctions ?

Intervenant 25:13

Ça bloque par nature.

Intervenant 15:14

C'est-à-dire ?

Intervenant 25:15

Si j'ai deux courbes d'onde de son or par exemple, pourquoi je ne peux pas juste utiliser l'ancienne méthode de la soustraction ?

Intervenant 15:21

Le blocage vient de la nature même d'une fonction en fait. Une fonction n'est pas une position fixe, c'est une relation dynamique.

Intervenant 25:28

Ah oui, ça bouge tout le temps. Ça contient une infinité de points potentiels. Si l'on essaie de mesurer la distance entre deux ondes sonores, que choisit-on de mesurer au juste ?

Intervenant 15:38

C'est vrai ça. On prend quel point ?

Intervenant 25:40

Est-ce qu'on mesure l'endroit où l'écart vertical entre les deux courbes est le plus grand, ou bien est-ce qu'on calcule l'aire totale de l'espace coincé entre ces deux courbes ?

Intervenant 15:48

Ah ouais, je vois le casse-tête. La vieille valeur absolue de Weierstrass, elle sait faire qu'une seule chose, soustraire un nombre à un autre de façon basique.

Intervenant 25:56

Et face à deux objets infinis et sinueux, ce vieil outil est complètement aveugle. D'accord. Ses fonctions devenaient les nouvelles briques fondamentales de la réalité mathématique. Et de nouveaux éléments exigent invariablement la création de nouveaux outils de mesure.

Intervenant 16:11

Donc les anciens outils sont obsolètes dans ce nouveau monde. On est face à un immense vide conceptuel en fait.

Intervenant 26:18

Un gouffre même.

Intervenant 16:19

Et fait précisément dans ce vide qu'un jeune mathématicien français va s'engouffrer en 1906. Maurice

Intervenant 26:25

Fréchet.

Intervenant 16:26

Voilà. Maurice Fréchet publie son mémoire intitulée « Sur quelques points du calcul fonctionnel ». Et là, nos sources sont unanimes, c'est l'acte fondateur de la distance abstraite.

Intervenant 26:37

C'est un texte historique.

Intervenant 16:40

Fréchet refuse carrément que les mathématiques soient bloquées par un simple problème de maître ruban, on va dire.

Intervenant 26:46

Son ambition est d'une audace folle pour l'époque. Fréchet observe les concepts indispensables aux mathématiques.

Intervenant 16:52

Comme la continuité, par exemple.

Intervenant 26:54

Oui, la continuité d'une courbe ou la limite d'une suite. Et il postule qu'il doit être possible d'utiliser ces concepts sur des objets totalement généraux.

Intervenant 17:03

Peu importe que ces objets soient des nombres, des courbes, des surfaces.

Intervenant 27:06

Ou même des concepts encore inconnus, ouais.