Le théorème d’Arrow condamne-t-il vraiment la démocratie ?

Intervenant 10:00

Bonjour et bienvenue à toutes et à tous dans le podcast du magazine Tangente. Le programme d'aujourd'hui, franchement, il s'annonce absolument passionnant. Salut Sam !

Intervenant 20:08

Oui, on a un menu assez chargé et surtout très surprenant aujourd'hui.

Intervenant 10:13

Ouais, carrément. Parce que d'habitude, quand on fait appel aux mathématiques appliquées pour comprendre le monde réel, on s'attend à une précision chirurgicale, quoi.

Intervenant 20:21

Tout à fait.

Intervenant 10:22

On imagine souvent ça comme une radiographie médicale. C'est simple, tu te casses le bras, tu passes la radio et le cliché montre une ligne blanche bien nette sur l'os.

Intervenant 20:30

C'est le côté rassurant des sciences dures.

Intervenant 10:32

Exactement. Le diagnostic est complètement binaire. C'est cassé ou ça l'est pas. C'est propre, c'est net. Et psychologiquement, on adore ça. On aime profondément quand les choses sont visibles, mesurables et facilement catégorisables.

Intervenant 20:45

Sauf que là, on va parler de politique.

Intervenant 10:47

Voilà. Et c'est là que ça se corse. Quand on commence à utiliser ces mêmes outils mathématiques pour analyser quelque chose d'aussi organique, chaotique et humain que nos systèmes démocratiques, eh bien la machine à rayons X commence à faire des étincelles.

Intervenant 21:02

Elle surchauffe même.

Intervenant 11:03

Oui. L'image devient floue et on entre dans des eaux conceptuelles particulièrement troubles.

Intervenant 21:08

C'est toute la subtilité de ce qu'on appelle l'incertitude diagnostique en sciences sociales. Le réflexe naturel des chercheurs, parfois, c'est de vouloir plaquer une grille de lecture parfaitement rigide, avec des actions hyper inflexibles, sur une réalité politique qui est par essence en mouvement perpétuel. Et remplie de contradictions.

Intervenant 11:27

Et c'est précisément ce décalage qui rend notre mission du jour si fascinante. Aujourd'hui, on plonge en profondeur dans une analyse issue d'une thèse de doctorat brillante qui s'intitule, attention au titre, « La décision collective au crible des mathématiques ».

Intervenant 21:42

Un très vaste programme.

Intervenant 11:43

Tu m'étonnes. L'objectif de cette exploration, c'est vraiment de comprendre comment les équations, les probabilités ou les théorèmes géométriques ont été utilisés. Et disons-le d'emblée, souvent très mal utilisés ou surinterprétés.

Intervenant 21:56

Surtout surinterprétés,

Intervenant 11:57

ouais. Pour juger de la rationalité de nos démocraties. On va aborder des paradoxes électoraux des années 50. On va voir ce que l'auteur d'Alice au Pays des Merveilles fabriquait avec des algèbres matriciels. Ça, c'est

Intervenant 22:07

une super anecdote d'ailleurs.

Intervenant 12:09

Ah, c'est génial. Et on va même analyser les algorithmes décisionnels d'un essaim d'abeille. Ok, décortiquons tout ça. Si on veut évaluer la démocratie avec des nombres, je suppose qu'il faut commencer par regarder la plus grosse torpille mathématique qu'on ait jamais lancée contre le principe même du vote.

Intervenant 22:27

Absolument. Pour ça, il faut se replonger dans le contexte des années 1950. On est en pleine guerre froide.

Intervenant 12:33

D'accord.

Intervenant 22:34

Et c'est l'émergence d'un domaine qu'on appelle la théorie du choix social. C'est à ce moment-là que l'économiste Kenneth Arrow, accompagné des travaux de Duncan Black, entre en scène.

Intervenant 12:44

Le fameux Kenneth Arrow.

Intervenant 22:45

Voilà. Arrow a formulé ce qu'on appelle son théorème d'impossibilité. Et dans les départements de sciences politiques et d'économie de l'époque, ça a fait l'effet d'une onde de choc monumentale.

Intervenant 12:56

Le théorème d’Arrow, c'est vrai que c'est un incontournable absolu. Pour poser un peu les bases, pour ceux qui nous écoutent, ce théorème démontre, avec une rigueur implacable, qu'il est mathématiquement impossible de concevoir un système de vote parfait.

Intervenant 23:09

Un système qui traduirait les préférences individuelles en une préférence collective cohérente.

Intervenant 13:14

C'est ça. Sans violer au moins un critère de justice élémentaire, comme par exemple l'absence de dictateurs. Et le cœur de ce problème, c'est l'apparition inévitable de ce qu'on appelle des cycles de préférences.

Intervenant 23:25

Exactement.

Intervenant 13:26

Si on imagine trois électeurs et trois candidats, disons A, B et C. Le théorème nous prouve qu'on peut tout à fait se retrouver dans une configuration où la majorité préfère A à B, une autre majorité préfère B à C.

Intervenant 23:38

Et là, on attendrait que A gagne contre C.

Intervenant 13:41

Sauf que non. La majorité préfère aussi C à A.

Intervenant 23:44

C'est le fameux paradoxe de Condorcet, mais généralisé. On se retrouve face à une absence de transitivité au niveau agrégé.

Intervenant 13:52

Attends, la transitivité, rappelle-nous vite fait un...

Intervenant 23:55

La transitivité en mathématiques, c'est simple. Si A est plus grand que B, et que B est plus grand que C, alors A doit forcément être plus grand que C. C'est logique.

Intervenant 14:04

Ah oui, c'est la base.

Intervenant 24:05

Mais ici, au niveau collectif, la logique s'effondre totalement et crée une espèce de boucle infinie.

Intervenant 14:11

Mais c'est littéralement une partie de pierre-papier-ciseaux, quoi.

Intervenant 24:13

C'est exactement ça.

Intervenant 14:15

Sauf que c'est joué à l'échelle d'une nation de 60 millions de personnes. La pierre écrase de ciseaux, les ciseaux coupent le papier et le papier enveloppe la pierre. Il n'y a pas de vainqueur absolu.

Intervenant 24:25

Et c'est là que le bad bless en politique.

Intervenant 14:27

Bah oui. Et depuis cette découverte, il y a de très nombreux théoriciens qui se sont emparés de ce résultat pour affirmer de manière vraiment hyper péremptoire que la démocratie est fondamentalement irrationnelle. Que la volonté du peuple, c'est une illusion mathématique puisqu'elle tourne en rond.

Intervenant 24:42

Ce qui est une conclusion super forte.

Intervenant 14:43

Mais en lisant la thèse, il y a un détail qui m'a vachement interpellé. J'ai l'impression qu'on demande à la démocratie de réussir un test géométrique qui n'a en fait aucun sens pour elle. Est-ce que cette absence de transitivité prouve réellement que nos décisions collectives sont absurdes ?

Intervenant 24:57

Ce qui est fascinant ici, c'est que l'analyse de cette thèse démonte totalement ce postulat de base.

Intervenant 15:02

Ah bon ?

Intervenant 25:03

La modélisation d'Arrow, c'est un chef-d'œuvre de logique pure. Ses axiomes sont super élégants, mathématiquement parlant. Mais elle n'est pas pertinente pour évaluer la réalité politique.

Intervenant 15:12

Pourquoi ?

Intervenant 25:13

Le biais fondamental de la théorie d'Arrow, c'est qu'elle érige cette transitivité linéaire des préférences en norme absolue de la rationalité. Or, le choix politique est multidimensionnel par nature.

Intervenant 15:24

Il y a plusieurs axes simultanés en fait.

Intervenant 25:26

Voilà.

Intervenant 15:26

C'est-à-dire qu'un électeur ne classe pas des options sur une seule ligne droite comme on rangerait des poupées russes de la plus petite à la plus grande.

Intervenant 25:33

C'est l'idée. Prenons un choix électoral réel. Un citoyen, lorsqu'il vote, il évalue simultanément une politique fiscale, des enjeux écologiques, une vision de l'éducation, des valeurs éthiques.

Intervenant 15:44

Ça fait beaucoup de variables.

Intervenant 25:45

C'est mathématiquement et cognitivement impossible de créer une relation d'ordre simple sur tout ça. Une ligne parfaitement transitive sur des préférences qui opèrent sur autant de dimensions hétérogènes en même temps, c'est juste pas possible.

Intervenant 15:58

Donc le modèle exige un truc irréalisable.

Intervenant 26:01

La thèse démontre brillamment que la transitivité n'est pas un gage de rationalité en politique. Exiger qu'un groupe humain, ou même qu'un individu face à un dilemme moral complexe d'ailleurs, ait des préférences parfaitement transitives, c'est imposer un modèle unidimensionnel à un espace en trois

Intervenant 16:19

dimensions.

Intervenant 26:20

Ce critère d'évaluation est donc totalement invalide pour juger nos règles d'agrégation démocratique.

Intervenant 16:25

Mais c'est une perspective qui change tout ça, Evelyne. La démocratie n'est pas cassée, c'est simplement le thermomètre d'Arrow qui n'est pas conçu pour mesurer la température d'un corps social complexe.

Intervenant 26:35

Exactement. Le thermomètre est cassé, pas le patient.

Intervenant 16:38

C'est fou. Mais si ce grand modèle de l'après-guerre a des limites épistémologiques aussi fortes, c'est assez logique que les mathématiciens contemporains aient cherché à légitimer leur discipline en se trouvant des ancêtres illustres.

Intervenant 26:49

Ah oui, la fameuse recherche de légitimité historique.

Intervenant 16:52

Quand on regarde les sources, on voit que la théorie du choix social adore s'inventer une généalogie prestigieuse. On cite frénétiquement des précurseurs, le philosophe Raymond Lull au XIIIe siècle, Nicolas de Cuse au XVe siècle.

Intervenant 27:07

Les figures des Lumières aussi ?

Intervenant 17:08

Oui, Borda, Condorcet et même Charles Doxon.

Intervenant 27:12

Alors lui, c'est un mathématicien d'Oxford, mondialement célèbre sous son nom de plume.

Intervenant 17:17

Lewis Carroll, le créateur d'Alice au Pays des Mers-Vallées.