Préférences cohérentes, choix collectif incohérent ?

Intervenant 10:00

Bienvenue à toutes les personnes à l'écoute dans le podcast du magazine Tangente.

Intervenant 20:04

Bonjour tout le monde !

Intervenant 10:05

Et on est vraiment ravis de vous retrouver pour cette nouvelle plongée dans nos sources. Aujourd'hui, on va décortiquer un truc qu'on fait tous les jours.

Intervenant 20:13

Prendre des décisions.

Intervenant 10:14

Ouais, voilà. Mais attention, pas n'importe comment, on va parler de la modélisation des préférences.

Intervenant 20:20

C'est un sujet tellement central, enfin je veux dire, ça touche autant aux mathématiques pures qu'à la sociologie.

Intervenant 10:25

Totalement. En gros, notre mission aujourd'hui, c'est d'essayer de comprendre comment les maths tentent de traduire la fameuse volonté générale, sans pour autant écraser les envies individuelles.

Intervenant 20:36

Et spoiler, on va vite voir que la démocratie parfaite, d'un point de vue purement logique, c'est un véritable casse-tête.

Intervenant 10:43

C'est clairement une équation presque impossible à résoudre. Mais bon, décortiquons ça.

Intervenant 20:47

Je suis prête. Par où on commence ?

Intervenant 10:50

Faut d'abord regarder l'individu, non ? Avant de comprendre un groupe, faut comprendre comment un seul cerveau fait un choix.

Intervenant 20:55

Exactement. Et c'est loin d'être simple. Quand on fait un choix, consciemment ou pas, on se base toujours sur un ensemble d'actions potentielles.

Intervenant 11:04

Genre une liste de trucs.

Intervenant 21:05

C'est ça. Ça peut être les candidats à une élection, les modèles de voitures chez un concessionnaire, ou juste les variétés de pommes sur le marché.

Intervenant 11:13

Prenons le marché. C'est une super analogie. Je suis devant l'étalage, je vais pas choisir au pif.

Intervenant 21:18

Non, tu vas utiliser un critère.

Intervenant 11:20

Voilà. Disons que mon critère absolu, c'est le prix. J'ai un budget serré, je veux la pomme la moins chère.

Intervenant 21:25

D'accord. Donc tu prends deux pommes, disons une rouge et une verte.

Intervenant 11:29

Ouais.

Intervenant 21:30

Ton cerveau, face à ce critère de prix, il va produire seulement trois réactions possibles.

Intervenant 11:35

Pas une de plus.

Intervenant 21:37

Non, c'est la fondation même de la théorie du choix. La première réaction, c'est la préférence stricte.

Intervenant 11:42

En gros, la pomme rouge est clairement moins chère que la verte.

Intervenant 21:46

Voilà, le choix s'impose de lui-même. C'est la relation M en mathématiques.

Intervenant 11:51

Ok, ça c'est facile. Et la deuxième ?

Intervenant 21:53

C'est l'indifférence, la relation I.

Intervenant 11:56

Donc là, les deux pommes coûtent le même prix.

Intervenant 21:58

Tout à fait. Ton critère est satisfait de la même manière dans les deux cas.

Intervenant 12:02

Je m'en fiche de laquelle je prends, quoi.

Intervenant 22:04

Exactement. Mais c'est la troisième situation qui est beaucoup plus subtile et souvent ignorée.

Intervenant 12:09

Ah bon ? C'est quoi ?

Intervenant 22:11

L'incomparabilité, la relation N.

Intervenant 12:14

Attends, l'incomparabilité. Mais si mon critère c'est le prix, je peux toujours comparer deux étiquettes.

Intervenant 22:19

Si on se limite à deux étiquettes claires, ouais. Mais imaginons que la pomme verte n'est pas d'étiquette. Ou pire, le vendeur te propose d'échanger la pomme rouge contre un service, genre réparer ton vélo.

Intervenant 12:32

Ah ouais, là mon critère du prix au kilo il sert plus à rien du tout.

Intervenant 22:36

C'est ça, t'es pas indifférent parce que c'est pas équivalent. Tu te retrouves juste dans l'impossibilité de les évaluer sur la même échelle.

Intervenant 12:43

Ok, je comprends. Donc, je préfère, je suis indifférent ou je ne peux pas comparer.

Intervenant 22:48

C'est l'idée. Et nos sources insistaient bien sur le fait que ces jugements obéissent à des règles mathématiques très strictes.

Intervenant 12:54

Genre la transitivité ?

Intervenant 22:56

Oui, c'est vraiment la signature d'un esprit rationnel.

Intervenant 12:59

Donc, pour faire simple, si je préfère la rouge à la verte et que je préfère la verte à la jaune, logiquement, je dois préférer la rouge à la jaune.

Intervenant 23:08

Exactement. Si tu dis l'inverse, ton raisonnement n'a plus aucun sens logique.

Intervenant 13:13

Et

Intervenant 23:15

pour l'indifférence, c'est pareil mais c'est symétrique. Si la rouge vaut la verte, la verte vaut la rouge. Et tous ces états, la préférence, l'indifférence, l'incomparabilité, ce sont des cases étanches.

Intervenant 13:27

Donc une décision va dans une seule case.

Intervenant 23:30

Voilà. Et tout ça mis ensemble, c'est ce que les mathématiciens appellent une structure de préférence.

Intervenant 13:36

Ok, donc l'individu est logique, c'est propre, c'est

Intervenant 23:40

carré.

Intervenant 13:40

Mais bon, on vit rarement seul, qu'est-ce qui se passe quand on passe d'un décideur unique à un groupe ?

Intervenant 23:45

Ah, c'est là que les ennuis commencent.

Intervenant 13:48

Mais naïvement, on se dit qu'il suffit de demander à chacun de classer ses choix, on additionne les points et paf, on a la volonté générale. Non.

Intervenant 23:55

Ben on pense ça parce que c'est ce qu'on fait tout le temps pour nos élections.

Intervenant 13:58

Ben oui.

Intervenant 23:59

Mais en réalité, cette logique d'addition fonctionne à une seule condition.

Intervenant 14:03

À laquelle ?

Intervenant 24:04

Qu'il n'y ait que deux options sur la table.

Intervenant 14:06

Seulement

Intervenant 24:06

deux. Oui, si on vote pour ou contre une loi, ou au second tour d'une présidentielle entre deux candidats, ça tient la route.

Intervenant 14:14

L'option qui a le plus de voix gagne, tout le monde est content. Enfin, mathématiquement parlant.

Intervenant 24:19

C'est ça, le groupe reste cohérent. Mais dès qu'on dépasse un certain seuil, le système s'effondre.