Galois : pourquoi l’équation générale de degré 5 résiste

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente.

Intervenant 20:03

Bonjour à tous.

Intervenant 10:04

Et aujourd'hui, on vous embarque dans une exploration mathématique hors du commun. Préparez-vous parce qu'on est sur un véritable thriller historique.

Intervenant 20:12

Oh oui, c'est le

Intervenant 10:13

mot. Imaginez la scène, c'est la nuit du 29 mai 1832.

Intervenant 20:17

À

Intervenant 10:17

Paris, une nuit assez dramatique,

Intervenant 20:19

complètement,

Intervenant 10:20

un jeune homme d'à peine 20 ans écrit frénétiquement à la lueur d'une bougie sur des feuilles volantes. Et il sait pertinemment qu'il va mourir en duel au petit matin.

Intervenant 20:29

C'est fou quand on y pense.

Intervenant 10:30

Est-ce qu'il griffonne cette nuit-là ? Ça ne va pas seulement clore une quête mathématique vieille de plusieurs millénaires, pardon vieille comme le monde, ça va littéralement inventer une nouvelle façon de comprendre les symétries de l'univers.

Intervenant 20:43

Exactement. Et le cadre de ce mystère, c'est quelque chose qu'on apprend tous à l'école, les équations.

Intervenant 10:49

Trouver le fameux X quoi.

Intervenant 20:51

C'est ça. Depuis l'Antiquité, on sait résoudre certaines équations de base. Le degré 1, le degré 2 avec les babyloniens.

Intervenant 10:58

Les fameux problèmes de champs à partager, tout ça.

Intervenant 21:01

Voilà. Et puis, au fil des siècles, les degrés 3 et 4 tombent aussi. On utilise nos outils classiques, l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et puis l'extraction de racines.

Intervenant 11:13

L'artillerie lourde en

Intervenant 21:14

gros. Sauf que, et c'est là que le mystère commence, arrivé au degré 5, le niveau supérieur, tout bloque, la machine s'enraye complètement.

Intervenant 11:24

Et c'est vraiment la mission de notre plongée du jour. Pourquoi cette petite augmentation, juste un chiffre de plus en exposant, rend tous nos outils inopérants ? Et comment cet échec va faire naître un domaine des mathématiques entièrement nouveau ?

Intervenant 21:37

C'est en fait un changement de monde.

Intervenant 11:39

Mais pour bien comprendre la frustration des chercheurs face à ce mur du degré 5, faut réaliser à quel point ils avaient l'habitude de gagner jusque là. Moi j'ai une analogie, vous me dites ce que vous en pensez.

Intervenant 21:49

Allez-y, je vous écoute.

Intervenant 11:50

C'est carrément comme un jeu vidéo. L'humanité passe le niveau 2 des équations assez facilement.

Intervenant 21:56

Avec les babyloniens et les égyptiens, ouais.

Intervenant 11:59

Ensuite, hop, on arrive au XVIe siècle avec les italiens. Les mathématiciens comme Delfero, Tartaglia, Cardano et son élève Ferrari, eux, ils trouvent les bons codes de triche pour passer les niveaux 3 et 4.

Intervenant 22:09

Des codes de triche, c'est pas mal dit. En fait, leur technique, c'était la substitution. Ils prenaient une équation de degré 3 et avec une astuce géniale, ils la déguisaient en équation de degré 2.

Intervenant 12:18

Ah, pour se ramener à un niveau de difficulté inférieur, quoi.

Intervenant 22:21

Exactement. L'équation de degré 4 se ramène au degré 3, qui se ramène au degré 2. Donc logiquement ?

Intervenant 12:27

Logiquement, on se dit que pour le niveau 5, on va utiliser la même ruse et redescendre au niveau 4.

Intervenant 22:32

Ouais ouais. L'humanité était super confiante. Sauf que, arrivé au niveau 5 du jeu, l'écran fige. Le jeu plante.

Intervenant 12:40

C'est dingue ça ! Même avec des génies sur le coup ?

Intervenant 22:43

Même avec des génies ! En 1770, tenez, Lagrange essaye de débloquer la situation en utilisant les permutations des solutions, ce qu'il appelle les résolventes.

Intervenant 12:52

Et ça marche pas ?

Intervenant 22:53

Pas pour le degré 5. Et puis vers 1800, on a Gauss, l'un des plus grands cerveaux de tous les temps.

Intervenant 12:58

Ah oui, Gauss quand même !

Intervenant 22:59

Et Gauss commence carrément à douter. Il sent que le degré 5 est peut-être impossible à résoudre par nos méthodes classiques. Mais le truc, c'est qu'il n'arrive pas à le prouver.

Intervenant 13:07

Mais pourquoi on s'est acharné comme ça si même Gauss disait que c'était

Intervenant 23:10

mort ? L'inertie intellectuelle. Les mathématiciens de l'époque étaient habitués à leurs outils. Un italien, Paolo Ruffini, a bien essayé de crier à l'impossibilité dès 1799.

Intervenant 13:22

Il avait trouvé la faille ?

Intervenant 23:23

Il avait l'intuition, oui. Il utilisait l'ordre des permutations. Mais ses écrits faisaient des centaines de pages et des brouillons, il y avait des trous logiques.

Intervenant 13:31

Personne l'a lu en gros ?

Intervenant 23:32

Quasiment personne. Seul Cauchy a vraiment essayé de comprendre ces brouillons. Mais globalement, il fallait un changement de paradigme. Quelqu'un qui regarde le problème sous un angle inédit.

Intervenant 13:42

Et là, on arrive dans notre deuxième acte. S'il n'y a pas de solution directe, il faut prouver de manière irréfutable que la victoire est impossible. Et c'est un jeune Norvégien qui va faire l'étincelle. Niels Sabel.

Intervenant 23:54

Niels Sabel en 1826, oui. Une fulgurance absolue.

Intervenant 13:57

Alors j'ai regardé l'explication dans nos sources et je trouve ça brillant. Comment il s'y prend pour prouver que quelque chose n'existe pas ?

Intervenant 24:06

Alors, suivez-moi bien.