Galois et Lagrange : l’héritage derrière un silence

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Préparez-vous pour une plongée fascinante. Imaginons, juste un instant, qu'on essaie de résoudre un puzzle incroyablement complexe. Le genre de casse-tête qui a tenu en échec les esprits les plus brillants de l'humanité pendant des siècles, quoi.

Intervenant 20:16

Ouais, le truc bien frustrant.

Intervenant 10:18

Voilà, c'est ça. Logiquement, on s'acharnerait à chercher les pièces manquantes une par une, en essayant de les emboîter. Eh bien aujourd'hui, on va explorer l'histoire de quelqu'un qui a résolu ce puzzle d'une manière totalement contre-intuitive. En gros, il a prouvé que les pièces elles-mêmes n'ont absolument aucune importance.

Intervenant 20:36

C'est fou quand on y pense. Seule la manière dont elles peuvent s'agencer compte en fait.

Intervenant 10:40

Exactement. Aujourd'hui, on s'attaque à une histoire qui a vraiment tout d'un grand thriller intellectuel. On a de la rébellion académique, des mystères historiques, des concepts qui donnent carrément le vertige, et surtout, au centre de tout ça, un adolescent prodige qui a littéralement renversé le monde des mathématiques. Je parle bien sûr d'Évariste Galois.

Intervenant 20:59

Ah, le fameux Galois. Une figure tellement romanesque pour le coup.

Intervenant 11:04

Plus précisément, on va se pencher sur un grand point d'interrogation qui plane sur son œuvre. Quiconque s'intéresse un peu à l'histoire des sciences sait que Galois a révolutionné l'algèbre, avant de mourir tragiquement lors d'un duel à l'âge de 20 ans.

Intervenant 21:16

20 ans, oui, c'est toujours le détail qui frappe.

Intervenant 11:19

Mais l'article sur lequel on se base aujourd'hui, qui s'intitule « Au-delà du mémoire de Lagrange », soulève un mystère super captivant. Pourquoi ce jeune génie n'a-t-il presque jamais cité Joseph-Louis Lagrange, alors que c'est un immense mathématicien dont il s'est pourtant si clairement inspiré ?

Intervenant 21:37

Et c'est une question absolument centrale, tu vois, pour comprendre l'histoire des sciences. Et pour y répondre, on ne va pas juste faire de la biographie de surface ou lire une page Wikipédia. On va devoir plonger dans la mécanique même de leurs pensées.

Intervenant 11:51

C'est le but de notre exploration.

Intervenant 21:53

Notre exploration va retracer comment on est passé d'une quête millénaire, très terre-à-terre, celle de trouver la solution exacte et chiffrée d'une équation, à la création d'une théorie entière, monumentale, abstraite, la fameuse théorie des groupes.

Intervenant 12:07

La théorie des groupes, oui. Rien que le nom impose le respect.

Intervenant 22:11

C'est clair. On va voir comment ces deux esprits brillants, Lagrange d'abord, puis Galois ensuite, ont totalement défié la mode mathématique de leur époque respective. Ils se sont élevés à un niveau d'abstraction inédit. Ils ont osé faire ce que Galois appelait l'humain de « l'analyse de l'analyse ».

Intervenant 12:30

D'accord, alors posons bien les bases pour que tout le monde puisse suivre. Pour vraiment saisir l'éclair de génie de Galois et comprendre ce lien fantôme presque effacé avec Lagrange, il faut d'abord remonter un peu le temps.

Intervenant 22:43

Le décor est

Intervenant 12:44

important, oui. Téléportons-nous en 1770. À cette époque, la communauté mathématique mondiale n'est pas juste perplexe face à un problème, elle se fracasse littéralement contre un mur de briques depuis des générations. Un mur qui semble totalement infranchissable.

Intervenant 22:59

Ce fameux mur, c'est l'équation du cinquième degré.

Intervenant 13:01

Le degré 5,

Intervenant 23:02

oui. Pour replacer ça dans le grand tableau de l'histoire mathématique, il faut se rendre compte que depuis l'Antiquité, le grand jeu, la quête ultime, c'est de trouver des formules pour résoudre les équations polynomiales. L'objectif classique, c'est de trouver la valeur exacte de l'inconnu x.

Intervenant 13:18

Le fameux X qu'on a tout cherché au lycée,

Intervenant 23:21

quoi. C'est ça. Pour le degré 2, c'est-à-dire les équations qui commencent par X², c'est réglé depuis très longtemps. On a des formules qui utilisent des additions, des multiplications et des racines carrées.

Intervenant 13:32

Et ensuite, les choses se compliquent ?

Intervenant 23:34

Oui, à la Renaissance italienne, au XVIe siècle, des génies complètement acharnés comme Tartaglia ou Cardan ont réussi un tour de force. Ils ont trouvé des formules d'une complexité folle, d'ailleurs, pour le degré 3 et le degré 4.

Intervenant 13:48

En utilisant des racines cubiques et d'autres radicaux, c'est bien ça ?

Intervenant 23:51

Exactement ! Des méthodes super laborieuses mais qui fonctionnent.

Intervenant 13:56

À ce stade, j'imagine que l'humanité est sur une lancée triomphale, non ? On a craqué le degré 2, le degré 3, le degré 4. Logiquement, on se dit que le degré 5 n'est qu'une question de temps et de puissance de calcul.

Intervenant 24:09

C'est exactement ce que tout le monde croyait. Mais pour le degré 5, c'est-à-dire une équation dans le terme le plus élevé x puissance 5, c'est le blocage total, le trou noir absolu.

Intervenant 14:20

Plus rien ne marche.

Intervenant 24:21

Rien du tout. Pendant plus de deux siècles, les mathématiciens les plus brillants d'Europe vont noircir des milliers de pages de calculs infernaux pour trouver cette satanée formule avec des radicaux. En vain.

Intervenant 14:33

Wow. Deux siècles de pages noircies pour

Intervenant 24:37

rien. Personne ne sait s'il existe une formule générale extrêmement longue qu'on n'a simplement pas encore découverte, ou si la nature même des mathématiques rend la chose impossible.

Intervenant 14:46

Et c'est exactement là qu'entre en scène Joseph-Louis Lagrange en 1770. Face à ce mur du cinquième degré, que fait-il ?

Intervenant 24:55

Eh bien, au lieu de foncer tête baissée dans les calculs algébriques massifs pour essayer de le casser à coups de marteau, il fait un pas de côté majestueux.

Intervenant 15:03

L'esquive parfaite quoi.

Intervenant 25:04

Totalement. Dans son célèbre mémoire qui s'intitule « Réflexions sur la résolution algébrique des équations », il refuse de chercher la solution du degré 5.

Intervenant 15:13

Il abandonne ?

Intervenant 25:14

Pas du tout. À la place, il se pose une question beaucoup plus fondamentale. Il se demande pourquoi les méthodes passées fonctionnent-elles pour les degrés 3 et 4 ? Qu'est-ce qui, dans l'ombre des calculs, de Cardan, a permis cette résolution ?

Intervenant 15:28

Donc il étudie le pourquoi au lieu du comment.

Intervenant 25:30

C'est ça. Et son approche est complètement révolutionnaire pour le XVIIIe siècle. C'est une démarche non constructive. Il va faire comme si on connaissait déjà les racines, les solutions de l'équation qu'on n'arrive pas à trouver.

Intervenant 15:42

C'est un renversement de perspective assez monumental.

Intervenant 25:45

Mais oui ! Lagrange prend énormément de recul. Il se dit « bon, on ne connaît absolument pas les valeurs de ces racines, c'est un fait ». Alors, ne cherchons pas à les calculer numériquement, appelons-les simplement, de manière abstraite, X1, X2, X3, etc.

Intervenant 16:00

D'accord.

Intervenant 26:01

Et au lieu d'essayer de déterminer leurs valeurs isolées, ils regardent comment elles se comportent ensemble quand on joue avec, quand on les mélange, quand on les permute.

Intervenant 16:09

Pour rendre cette abstraction un peu plus concrète pour notre audience, on peut filer une métaphore culinaire.

Intervenant 26:14

Ah, j'adore les métaphores culinaires, vas-y.

Intervenant 16:17

Disons qu'on essaye de deviner la recette secrète d'un gâteau extrêmement complexe. Jusque-là, la méthode consistait à goûter à l'aveugle en essayant de deviner les ingrédients un par un. Genre, il y a de la cannelle, il y a de la vanille. Ce qui est super difficile. Très difficile. Lagrange, lui, fait totalement l'inverse. Il fait semblant d'avoir déjà tous les bocaux d'ingrédients inconnus devant lui, sur la table.

Intervenant 26:39

Il ne sait toujours pas ce qu'il y a dans les bocaux.

Intervenant 16:41

D'accord, il a juste les récipients.

Intervenant 26:43

Voilà.

Intervenant 16:43

Mais il décide d'étudier comment le goût final de la pâte change si on modifie simplement l'ordre dans lequel on verse le contenu des bocaux dans le saladier.

Intervenant 26:52

Ah, intéressant !

Intervenant 16:53

Il se demande, est-ce que verser le bocal A puis le B donne la même chose que le B puis le A ? En fait, il étudie la structure de la recette, les symétries de la préparation plutôt que l'identité des ingrédients.

Intervenant 27:06

L'analogie est très juste, c'est brillant, et elle capture l'essence même de ce que Lagrange appelle sa résolvante.

Intervenant 17:12

Sa résolvante, c'est-à-dire ?

Intervenant 27:14

Son but ultime reste de résoudre l'équation initiale, bien sûr, mais par un chemin détourné. Il veut trouver une nouvelle équation, plus simple à résoudre, d'un degré inférieur.

Intervenant 17:24

Donc passer de 5 à 4, par exemple ?

Intervenant 27:27

Exactement. S'il résout cette équation simplifiée, il espère pouvoir ensuite remonter la piste jusqu'aux racines de l'équation de départ. Et pour fabriquer cette équation intermédiaire, il invente des expressions mathématiques qui combinent ces fameuses racines inconnées. Et pour lier le tout, il utilise ce qu'on appelle les racines de l'unité.

Intervenant 17:42

Attends, je préfère qu'on s'arrête une seconde sur ce thermotechnique. Qu'est-ce que c'est concrètement une racine de l'unité ? On trouve souvent l'exemple du nombre complexe qu'on appelle J dans les cours de maths.