Équations : des tablettes d’argile aux formules secrètes

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on vous embarque pour une plongée historique absolument dingue. Au XVIe siècle, la plus grande avancée mathématique du monde n'a pas du tout été évaluée par des pairs ni publiée dans une revue savante.

Intervenant 20:15

Ah bah non, l'ambiance n'était pas du tout à la publication académique classique à l'époque, ça c'est sûr.

Intervenant 10:20

Oui, parce qu'en fait, elle a été murmurée sous la forme d'un poème cryptique. Et ça, en plein cœur d'un duel intellectuel public, juste avant d'être sauvagement trahi et imprimé au grand jour.

Intervenant 20:30

C'est une vraie série dramatique avec tous les rebondissements qu'il faut.

Intervenant 10:33

Totalement. Donc aujourd'hui, notre exploration dans les archives nous ramène aux origines sanglantes, enfin intellectuellement sanglantes et poétiques de l'algèbre. On va remonter le temps, bien avant les travaux révolutionnaires d'Abel et Galois.

Intervenant 20:46

Le but, c'est vraiment de comprendre pourquoi l'humanité s'est torturée pendant des millénaires avec les équations algébriques.

Intervenant 10:54

Parce que oui, avant de devenir ces lettres parfois un peu intimidantes qu'on trace sur les tableaux noirs de nos lycées, l'algèbre, c'était un vrai champ de bataille fait de secrets d'État, de défis publics et de concepts qui étaient littéralement tabous.

Intervenant 21:08

Et d'ailleurs, pour bien comprendre les règles de ce champ de bataille, je pense qu'il faut d'abord poser les fondations théoriques. Qu'est-ce qu'on entend très rigoureusement par une équation algébrique ?

Intervenant 11:19

Vas-y, je t'écoute. C'est quoi le périmètre exact ?

Intervenant 21:21

Eh bien, le périmètre est super spécifique. Pour qu'une équation entre dans cette catégorie VIP, on va dire, elle ne doit faire intervenir que des puissances entières de l'inconnu. Ok, puissance entière. Exactement. Et ces puissances doivent être pondérées par des coefficients qui sont des nombres réels.

Intervenant 11:39

Donc, pour donner une image à nos auditeurs, si on prend une expression du genre x³-3x²-4x-1,34 égale 0, là on est en plein dans le cadre algébrique.

Intervenant 21:52

C'est le cas d'École Parfait, oui. Les puissances de l'inconnu, de notre fameux x, sont des entiers positifs 3, 2 et 1, et les coefficients sont des nombres réels tout à fait classiques.

Intervenant 12:03

Par contre, s'il y a un piège, genre une fonction un peu bizarre...

Intervenant 22:07

Ah bah là, on sort du club algébrique direct. Si la mécanique de l'équation intègre une fonction trigonométrique, comme un sinus de x, ou si on rajoute une puissance fractionnaire, genre x à la puissance 2 tiers, c'est fini. L'étude algébrique traditionnelle, elle se concentre exclusivement sur l'art de manipuler ces polynômes très stricts.

Intervenant 12:26

Ok, le cadre est posé et je suis sûre que l'évocation de ces polynômes, ça réveille des souvenirs chez notre audience. La confrontation avec les équations du second degré et surtout, surtout, ce fameux discriminant.

Intervenant 22:38

Le fameux delta.

Intervenant 12:39

Ouais, ce petit triangle qui décidait de notre sort au lycée. Savoir s'il y avait deux solutions, une seule, ou si on basculait dans l'inconnu. Mais ce qui frappe vraiment quand on regarde l'histoire des sciences, c'est l'acharnement des savants. Pourquoi s'être obstiné à ce point avec ces calculs ?

Intervenant 22:55

La motivation primaire pendant des siècles, c'était vraiment la quête de l'universalisme. Les mathématiciens cherchaient la formule magique.

Intervenant 13:02

La règle absolue qui marche à tous les coups.

Intervenant 23:05

C'est ça. Trouver les solutions d'une équation directement à partir de ses coefficients, de façon purement mécanique, et ce, quel que soit le degré de l'équation. D'ailleurs, avec le degré 2 et la découverte des principes derrière notre delta moderne, on pensait vraiment détenir la clé de tout l'édifice.

Intervenant 13:21

Sauf que la rationalité humaine a dû se heurter au fondement même de la nature. Et pour saisir cette obsession de la formule générale, il faut s'imaginer comment l'humanité calculait avant l'apparition de l'abstraction. Il faut faire un grand saut en arrière.

Intervenant 23:37

Un très grand saut, oui. Direction le deuxième millénaire avant notre ère, en Mésopotamie.

Intervenant 13:42

Chez les Babyloniens.

Intervenant 23:44

Exactement, dans l'Empire babylonien. Les archéologues ont exhumé des tablettes d'argile hyper intéressantes, dont une très célèbre qui s'appelle la BM 13901. Elle date d'environ 1800 ans avant notre ère.

Intervenant 13:57

Et qu'est-ce qu'il y a sur cette tablette ? Des théorèmes ?

Intervenant 24:00

Pas du tout. Ce sont des problèmes purement pragmatiques, liés à l'administration d'un État. La répartition des récomptes, les calculs d'intérêts sur des dettes ou la mesure de terrain. Bref, des problèmes que nous aujourd'hui on modéliserait tout de suite par des équations du premier ou du second degré.

Intervenant 14:16

Mais j'imagine que sur ces tablettes en argile, on ne trouve pas de X ou de Y gravé dessus. Comment on formulait une équation sans symbole ?

Intervenant 24:25

Eh bien, ça prenait la forme de petits récits super concrets. Si on traduit un énoncé classique, ça donnerait un truc du genre « j'ai additionné la surface et le côté de mon carré et j'obtiens 45 minutes ».

Intervenant 14:37

Attends, 45 minutes, comme le temps ?

Intervenant 24:41

Oui, on y reviendra, c'est leur système de base de calcul. Mais avec notre regard moderne, si on dit que x, c'est le côté du carré, la surface, c'est x². Donc l'équation cachée là-dedans, c'est x² plus x égale 45 minutes. Et le truc dingue, c'est que la résolution ne ressemblait à rien de mathématique au sens moderne. C'était formulé comment, alors ? Comme une véritable recette de cuisine empirique. Le script dictait les opérations textuellement. Du genre, tu poseras 1, tu fractionneras 1 en 2, ce qui donne 30 minutes. Tu croiseras 30 minutes et 30 minutes.

Intervenant 15:10

Ah oui, c'est hyper littéral.

Intervenant 25:12

Voilà. Et la litanie continue jusqu'à la solution. Et le plus fou, c'est que cette méthode algorithmique correspond exactement à ce qu'on appelle aujourd'hui la complétion du carré. Une étape super importante pour arriver à notre formule du second degré.

Intervenant 15:22

Mais il y a un détail absolument crucial qu'il faut soulever pour réaliser le cauchemar que c'était pour eux. C'est leur base de calcul. Les babyloniens travaillaient en système sexagésimal, en base 60.

Intervenant 25:36

Ah oui, c'est de là que viennent nos heures de 60 minutes et nos cercles de 360 degrés d'ailleurs.

Intervenant 15:40

Voilà, mais si on y réfléchit deux secondes, imaginons un enfant à l'école primaire aujourd'hui, avec notre système en base 10, en enlevant les multiplications par 1 ou 0 et avec la symétrie, il a quoi, une petite quarantaine de produits à mémoriser pour ses tables ?

Intervenant 25:55

Ouais, 36 produits uniques à peu près.

Intervenant 15:58

36, mais en base 60 chez les babyloniens, le nombre de produits uniques à apprendre par cœur grimpe à 1770. C'est

Intervenant 26:06

monstrueux. L'effort cognitif juste pour faire une multiplication de bases, c'était colossal.

Intervenant 16:11

Mais c'est clair. C'est l'équivalent d'apprendre un annuaire téléphonique par cœur, juste pour pouvoir faire un petit calcul intermédiaire dans un problème de récolte de blé.

Intervenant 26:19

On comprend tout de suite mieux pourquoi ils notaient ces recettes algorithmiques de A à Z sur l'argile. Ils ne pouvaient pas se permettre d'improviser ou de retrouver la méthode de tête à chaque fois.