Abel et Galois : deux réponses au mur du degré 5

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Je suis vraiment ravi d'accueillir tous nos auditeurs aujourd'hui pour une exploration mathématique absolument fascinante. Bonjour à

Intervenant 20:09

tous les passionnés qui nous écoutent.

Intervenant 10:12

Aujourd'hui, on s'attaque à une équation mathématique qui est tellement résistante, tellement indomptable qu'elle a survécu à 300 ans d'assauts continus.

Intervenant 20:21

Ouais, par les plus grands cerveaux de l'humanité, rien que ça.

Intervenant 10:24

C'est ça. Et pour finalement la terrasser, il a fallu l'intervention de deux génies absolus. D'un côté, un Norvégien foudroyé par la maladie à 26 ans, après avoir produit des calculs d'une violence inouïe.

Intervenant 20:36

Et de l'autre, un Français tué lors d'un duel absurde à 20 ans, un jeune homme qui a en fait littéralement triché avec les lois mêmes des mathématiques pour contourner le problème.

Intervenant 10:45

C'est une histoire de dingue. Ok, décortiquons tout ça. Notre mission aujourd'hui, c'est de plonger au cœur de l'article de Tangente intitulé « Deux génies et deux approches ». On va analyser ce véritable cold case de l'histoire des maths.

Intervenant 20:59

Et ce fameux monstre, pour ceux qui se demandent, c'est l'impossibilité de résoudre l'équation algébrique générale de degré 5 par des radicaux.

Intervenant 11:07

Exactement. On va opposer la force brute d'Abel à l'abstraction majestueuse de Galois. Mais avant de parler de nos deux zéros, il faut poser le décor.

Intervenant 21:17

Tout à fait, parce que l'équation de degré 5, ce n'est pas un mystère qui est apparu de nulle part. Depuis le XVIe siècle, on savait résoudre les degrés 2, 3 et 4.

Intervenant 11:26

Avec des formules générales quoi, comme le fameux delta pour le second degré qu'on apprend tous au lycée.

Intervenant 21:30

C'est ça, mais le degré 5, paf, un mur de briques total pendant des siècles. Et là, on est obligé de parler des architectes qui ont construit les échafaudages avant Abel et Galois.

Intervenant 11:40

Notamment un certain

Intervenant 21:42

Lagrange, non ? Oui, le grand Joseph-Louis Lagrange. En 1770, il rédige un texte qui est juste fondamental. Il commence à comprendre que tout est lié à la façon dont on peut permuter les rations de l'équation.

Intervenant 11:55

Permuter, donc échanger leur place.

Intervenant 21:57

Voilà, et ce texte de Lagrange est tellement vital que ni Abel ni Galois ne vont le citer dans leurs travaux.

Intervenant 12:03

Ah ouais, c'est quand même fou. C'est un peu comme si un physicien écrivait un traité entier sur la gravité, sans jamais mentionner le nom de Newton.

Intervenant 22:10

Bah c'est exactement ça. Ce n'était pas de l'arrogance. C'est juste que les idées de Lagrange étaient devenues une évidence pour tout mathématicien du XIXe siècle.

Intervenant 12:19

D'accord. Mais bon, Lagrange lui-même est resté bloqué sur le degré 5. Et ensuite, on a cet Italien, Paolo Ruffini.

Intervenant 22:26

Ah, Ruffini. En 1799, il a une intuition géniale. Il publie une démonstration de cette impossibilité.

Intervenant 12:34

Sauf que, et l'article le souligne bien, c'était un ouvrier qui prétendait avoir fini le toit, mais dont le manuel d'instruction était dans un dialecte totalement incompréhensible.

Intervenant 22:43

C'est une super métaphore. Son mémoire en italien était illisible, remplie de failles logiques. Le monde entier l'a ignorée, sauf un Français, Augustin Louis Cauchy, bien plus tard, en 1815.

Intervenant 12:56

Et Cauchy, lui, il va créer la vraie rampe de lancement. Il crée l'alphabet pour lire tout ça, avec la théorie des substitutions.

Intervenant 23:03

Exactement. Cauchy trouve une notation maniable.