Bâtons de Napier : quand les tables deviennent un instrument

Intervenant 10:00

Bienvenue à toutes et à tous dans le podcast du magazine Tangente. Je suis vraiment ravie de vous retrouver pour une nouvelle exploration. Alors, imaginons la scène, on est au restaurant, grosse tablée de 10 personnes, l'addition arrive et bim, il faut la diviser équitablement.

Intervenant 20:19

Ah bah, classique, le moment que tout le monde redoute un peu.

Intervenant 10:22

Ouais, c'est clair. Ou alors, un autre exemple, on est en plein bricolage un dimanche après et on doit calculer la surface d'un mur avec des mesures un peu biscornues. Bah, quel est notre tout premier réflexe à tous ?

Intervenant 20:35

On sort le téléphone.

Intervenant 10:36

Exactement. On dégaine le smartphone de la poche, on ouvre l'appli calculatrice, on tapote trois nombres avec le pouce et bam, le résultat tombe instantanément, sans aucun effort. En fait, c'est devenu d'une banalité affligeante quoi.

Intervenant 20:50

Complètement. C'est un geste tellement intégré qu'on ne le remarque même plus.

Intervenant 10:54

Eh bien, aujourd'hui, on va complètement transformer notre regard sur ce petit geste du quotidien. Parce que pendant des siècles, l'acte de poser une simple multiplication avec des nombres un peu récalcitrants, c'était un véritable parcours du combattant, un défi logistique épuisant.

Intervenant 21:13

Ah oui, la fluidité avec laquelle on manipule ces concepts aujourd'hui, en fait, ça masque une histoire intellectuelle remplie de frustrations profondes et de trouvailles techniques absolument brillantes.

Intervenant 11:25

C'est fou de se dire

Intervenant 21:26

ça. Mais totalement. Les mathématiciens, les astronomes et les marchands du passé ont littéralement transpiré pour optimiser ces calculs. Ça leur prenait un temps fou et c'était une source intarissable d'erreurs, vraiment.

Intervenant 11:37

Bon, décortiquons un peu tout ça. Pour comprendre cette épopée, on va suivre les traces d'un savant écossais du tournant du XVIIe siècle, un certain John Neffir.

Intervenant 21:46

Un grand nom !

Intervenant 11:47

Oui, alors nos auditeurs passionnés de mathématiques connaissent sûrement son nom grâce au logarithme évidemment. Mais attention, on ne va pas parler d'analyse mathématique aujourd'hui.

Intervenant 21:55

Ah non, on va faire beaucoup plus concret.

Intervenant 11:57

Voilà, on va se concentrer sur son matériel. Plus précisément, l'automatisation de l'arithmétique grâce à ce qu'on a appelé les bâtons de Napier.

Intervenant 22:05

Un objet fascinant.

Intervenant 12:06

Mais du coup, pour bien mesurer l'impact de cette trouvaille matérielle, je suppose qu'il faut se replonger dans le contexte brut de l'époque, non ?

Intervenant 22:13

On est au XVIe siècle, juste avant son invention. À quoi ressemblait concrètement une opération mathématique ?

Intervenant 12:19

Alors, le climat intellectuel de l'époque est en pleine mutation. En Europe, on traverse une phase de transition assez délicate concernant l'écriture même des nombres.

Intervenant 22:28

C'est-à-dire ?

Intervenant 12:28

On n'écrivait pas les nombres comme aujourd'hui ?

Intervenant 22:30

L'usage des chiffres indo-arabes, c'est-à-dire le système de position avec les symboles de 0 à 9 qu'on utilise tous, c'est pas encore le standard absolu partout.

Intervenant 12:39

Ah d'accord.

Intervenant 22:40

Ça fait quelques siècles qu'ils ont été introduits par des savants comme Fibonacci, mais l'inertie culturelle est colossale. Pour beaucoup de marchands qui ont l'habitude de glisser des jetons sur des abacs ou d'utiliser les chiffres romains, le système de positionnement, c'est un concept extrêmement abstrait.

Intervenant 12:56

J'essaie de me mettre à leur place et c'est vrai que le changement de paradigme est super brutal. Enfin, avec les chiffres romains, si on veut ajouter de la valeur, on accole simplement des symboles l'un à côté de l'autre.

Intervenant 23:05

Voilà, c'est additif.

Intervenant 13:06

C'est presque palpable quoi. Alors qu'avec le nouveau système, la valeur intrinsèque du chiffre 4, par exemple, elle change du tout au tout selon qu'il est placé à la fin, au milieu ou au début du nombre.

Intervenant 23:19

Exactement. Et l'apparition du zéro, qui marque le vide, ça demande une abstraction radicalement nouvelle pour l'époque. Le saut conceptuel est gigantesque.

Intervenant 13:29

J'imagine que ça ne s'est pas fait du jour au lendemain ?

Intervenant 23:31

Ah ben non. À tel point qu'à cette époque, il fallait éditer et publier des manuels volumineux, des véritables traités didactiques, uniquement pour enseigner à des adultes comment lire et écrire ces nouveaux nombres.

Intervenant 13:43

Ah ouais, des tutos version papier quoi !

Intervenant 23:45

C'est un peu ça. Et surtout pour expliquer comment poser les opérations de base sur du papier. L'idée même d'utiliser une plume, de l'encre et du papier pour faire de l'arithmétique, ça remplace très très progressivement le calcul manuel avec des jetons en plomb.

Intervenant 13:58

Donc on a des marchands, des comptables et des savants qui doivent apprivoiser ce nouveau langage de l'écrit. Mais du coup, si on veut multiplier de gros montants pour gérer des cargaisons de navires ou je ne sais pas, pour calculer la trajectoire d'une comète, on ne peut plus juste empiler des jetons.

Intervenant 24:14

Ah non, ce n'est plus possible.

Intervenant 14:15

Alors on se tourne vers quoi ?

Intervenant 24:17

Vers ces fameux manuels de la Renaissance.

Intervenant 14:19

Précisément. Et le manuel de référence, le vrai best-seller incontesté à la fin du 15e et au 16e siècle, il est signé Luca Pacioli.

Intervenant 24:27

Lucas

Intervenant 14:29

Pacioli, ok. Ouais, il publie en 1494 une somme monumentale. Ça s'appelle la Summa de Aritmetica. En gros, c'est l'encyclopédie des connaissances mathématiques de son temps.

Intervenant 24:38

Un beau pavé.

Intervenant 14:39

Un énorme pavé. Et Pacioli, il détaille méticuleusement la méthode reine pour poser une multiplication complexe. C'est la méthode dite pergelousia. Pergelousia.

Intervenant 24:50

Par jalousies. Le terme évoque directement l'architecture, en fait.

Intervenant 14:54

Ah, c'est marrant.

Intervenant 24:56

Ben oui, on parle bien de ces volets, les fameuses jalousies vénitièmes avec leurs lattes obliques en bois qui laissent entrer l'air tout en masquant l'intérieur des maisons.

Intervenant 15:04

Ouais.

Intervenant 25:05

J'imagine qu'il y a un lien direct avec la forme géométrique que prend le calcul sur la feuille du coup.

Intervenant 15:10

La ressemblance visuelle est frappante, ouais. C'est pour ça que la méthode porte ce nom. C'est une technique de calcul qui s'appuie intégralement sur le tracé d'une grille.

Intervenant 25:19

D'accord, une grille. Admettons qu'on veuille calculer la multiplication de 987 par 987. C'est d'ailleurs l'exemple que propose Luca Pacioli dans son livre. Bah on ne l'écrit pas l'un au-dessus de l'autre comme on l'enseigne dans les écoles primaires modernes.

Intervenant 15:32

Ah bon ? On fait comment alors ?

Intervenant 25:34

On commence par de l'art dramatique. Enfin plutôt de l'art du dessin quoi.

Intervenant 15:39

Ok, donc on sort la règle, l'équerre et la plume. On a deux nombres de trois chiffres chacun. Je déduis qu'on trace d'abord un grand carré.

Intervenant 25:49

C'est ça.

Intervenant 15:49

Et on le divise scrupuleusement en trois colonnes et trois lignes. Ce qui nous donne neuf petites cases pour commencer.

Intervenant 25:56

C'est le canevas de base, voilà. Et ensuite, c'est là qu'interviennent les fameuses jalousies. Dans chacune de ces neuf cases carrées, on doit tracer avec précision une ligne diagonale.

Intervenant 16:06

Dans chaque case ?

Intervenant 26:07

Dans chaque case. On part du coin inférieur gauche pour aller systématiquement vers le coin supérieur droit.

Intervenant 16:14

Ok, je visualise bien la grille avec plein de barres obliques.

Intervenant 26:17

Une fois ce quadrillage complexe terminé, on inscrit le premier nombre, 987, au-dessus du tableau. On aligne un chiffre par colonne. Et on écrit le second nombre, 987, sur le flanc droit du tableau, de haut en bas, un chiffre par ligne.

Intervenant 16:31

Jusque-là, la mise en place géométrique se tient. Mais là où je risque de m'emmêler les pinceaux en visualisant la scène, c'est pour l'étape du remplissage.

Intervenant 26:39

C'est l'étape cruciale.

Intervenant 16:40

Bah oui, si on prend la case en haut à gauche de notre grand carré, elle correspond au croisement du 9 de la colonne du haut et du 9 de la ligne de droite. On fait l'opération élémentaire, 9 x 9, ça donne 81.

Intervenant 26:51

Absolument.

Intervenant 16:52

Mais notre petite case, elle est physiquement coupée en deux par la fameuse diagonale oblique qu'on vient de tracer. Donc je mets le 8 de quel côté ? Et le 1, je le mets où ?

Intervenant 27:00

Alors là, la convention spatiale est d'une rigidité totale. C'est d'ailleurs ce qui garantit que la méthode soit infaillible. Si on ne s'y trompe pas, bien sûr.

Intervenant 17:10

Ce qui est vite arrivé,

Intervenant 27:12

j'imagine. Très vite. La règle, c'est premier chiffre, le chiffre des dizaines va obligatoirement dans la moitié inférieure gauche de la case, sous la diagonale.

Intervenant 17:22

Ok, dizaine en bas.

Intervenant 27:23

Et le chiffre des unités, lui, il est consigné dans la moitié supérieure droite, donc au-dessus de la ligne diagonale. Pour placer le nombre au 81, le 8 s'écrit en bas et le 1 se perche en haut.

Intervenant 17:36

Attendez, je suis en train d'imaginer le geste et je réalise l'intense gymnastique mentale que ça exige de la part du calculateur.

Intervenant 27:43

Ah, ça demande une sacrée concentration.

Intervenant 17:45

Mais rien que pour placer ces deux chiffres, il faut violemment lutter contre notre sens de lecture habituel. On a l'habitude d'écrire de gauche à droite ou de haut en bas.