Quand une série sans limite reçoit pourtant une valeur

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Imaginons un instant, juste un instant, un interrupteur que l'on allume, puis qu'on éteint, puis qu'on rallume, et ça encore et encore à l'infini.

Intervenant 20:14

Ouais, un cycle sans fin quoi.

Intervenant 10:16

C'est ça. Et la question qu'on se pose, c'est, à la toute fin de l'éternité, cet interrupteur, il est sur la position marche ou arrêt ?

Intervenant 20:26

La logique la plus basique, elle répondrait que la question n'a tout simplement aucun sens.

Intervenant 10:30

Exactement. Pourtant, des esprits parmi les plus brillants de l'histoire ont affirmé avec le plus grand sérieux qu'à la fin des temps, la pièce est à moitié éclairée, l'interrupteur est à moitié enfoncé en fait.

Intervenant 20:43

C'est complètement fou quand on y pense.

Intervenant 10:44

Ah, je suis fascinée par cette idée. Et c'est justement l'exploration de cette absurdité qui se trouve au cœur d'un article passionnant intitulé « Heures et malheurs de la somme d'une série ». Notre mission aujourd'hui, ça va être de comprendre comment l'impossible a été géré. C'est-à-dire, comment on a pu donner une valeur exacte à un infini qui refuse obstinément de se stabiliser ?

Intervenant 21:08

Et pour bien comprendre le point de départ de cette affaire, il nécessite de poser un cadre strict. En fait, en mathématiques orthodoxes, la règle, elle est implacable.

Intervenant 11:18

Oui, il y a des lois à respecter.

Intervenant 21:19

Voilà, on manipule des suites de nombres que l'on additionne les uns après les autres. Et si, en ajoutant ces termes indéfiniment, le total se rapproche d'une cible précise, d'une valeur fixe, on dit que la série converge et qu'elle possède une somme.

Intervenant 11:33

D'accord, donc ça c'est le cas où tout se passe bien.

Intervenant 21:35

C'est ça. Mais si le total ne se stabilise jamais, s'il oscille ou s'il explose littéralement vers l'infini, la série diverge. Elle n'a pas de somme. C'est binaire, c'est la loi fondamentale de l'analyse classique.

Intervenant 11:49

Et donc toute l'intrigue scientifique repose sur le fait que certains génies ont sciemment décidé de briser cette règle.

Intervenant 21:56

Absolument, ils ont regardé la loi et ils ont dit non.

Intervenant 12:00

Bon, déballons tout ça. Avant d'aborder les sanctions imposées par l'orthodoxie mathématique, observons un peu le corps du délit. Et le fauteur de trouble numéro 1, c'est justement cet interrupteur que j'évoquais à l'instant.

Intervenant 22:13

La fameuse série de Grandy.

Intervenant 12:14

C'est ça, dans le jargon, c'est la série de Grandi. La formule est d'une simplicité trompeuse en fait. On prend le chiffre 1, on lui soustrait 1, on ajoute 1, on soustrait 1 et ainsi de suite indéfiniment.

Intervenant 22:27

Et selon la définition rigoureuse dont on vient de parler, c'est une divergence absolue.

Intervenant 12:33

Parce que ça fait le yo-yo, c'est ça ?

Intervenant 22:35

Exactement. Si on calcule les totaux étape par étape, on obtient 1, puis 0, puis 1, puis 0. La valeur, elle fait un yo-yo perpétuel. Il n'y a aucun point de chute qui se dessine. Le bon sens arithmétique, il hurle qu'il n'y a pas de résultat final.

Intervenant 12:52

Oui, c'est évident.

Intervenant 22:53

Et pourtant, au tout début du XVIIIe siècle, le mathématicien italien Guido Grandi, suivi d'ailleurs très rapidement par des géants comme Leibniz et Euler, rien que ça, eh bien, ils ont soutenu que la somme de cette série valait un demi.

Intervenant 13:08

Un demi. Enfin, c'est poétique, mais ça heurte complètement la raison, non ? Un interrupteur ne peut pas être à moitié enfoncé, pas plus qu'un nombre entier additionné ou soustrait à lui-même, ne peut générer une fraction.

Intervenant 23:20

C'est sûr, la tension, elle vient exactement de là. C'est le fait de vouloir extraire une fraction, un état intermédiaire, à partir d'un système qui est purement binaire, composé de 1 et de 0.

Intervenant 13:31

Mais j'ai l'impression que ce n'était qu'un échauffement pour ces mathématiciens.

Intervenant 23:34

Ah oui, complètement. L'article mentionne un cas encore plus radical, un véritable sommet de l'absurde, qui a été publié en 1814 dans le Traité du calcul différentiel et du calcul intégral de Sylvestre-François Lacroix.

Intervenant 13:48

Oh, 1814, d'accord.

Intervenant 23:50

Et cette fois, la série ne se contente pas d'osciller sagement entre 0 et 1. Les termes qu'on ajoute et qu'on soustrait grandissent de façon vertigineuse.

Intervenant 13:57

Ah oui, c'est la fameuse série des factoriels, c'est ça ?

Intervenant 24:00

C'est en plein ça.

Intervenant 14:01

Si je me souviens bien, on commence avec 1... On soustrait 1 x 2, ensuite on ajoute 1 x 2 x 3, on soustrait 1 x 2 x 3 x 4. Concrètement, le calcul, ça donne 1 – 2 plus 6 – 24 plus 120 – 720. Les nombres deviennent colossaux.

Intervenant 24:24

C'est un ascenseur qui monte et qui descend avec une violence exponentielle. Et prétendre qu'un tel chaos possède une somme finie, ça semble défier toute logique élémentaire.

Intervenant 14:34

C'est clair. Mais alors comment ils justifiaient ça ?

Intervenant 24:37

Lacroix et ses contemporains, ils utilisaient des manipulations formelles, des trucs presque instinctifs pour forcer une valeur sur ces objets mathématiques. Mais le danger de ces bricolages, il était immense.

Intervenant 14:46

Danger dans quel sens ?

Intervenant 24:48

Eh bien, jouer avec l'infini sans un filet de sécurité logique, ça permettait de démontrer tout et son contraire. En manipulant mal ces séries divergentes, on pouvait aisément prouver qu'un même nombre est égal à deux valeurs distinctes.

Intervenant 15:01

Ah oui, ce qui équivaut à détruire tout l'édifice mathématique de l'intérieur en somme.

Intervenant 25:05

Exactement, ça devenait n'importe quoi.

Intervenant 15:08

Il fallait donc ramener de l'ordre. La police des maths devait débarquer. Et cette reprise en main, elle s'est faite à coups de marteau au début du XIXe siècle, sous l'impulsion de deux figures majeures, non ?

Intervenant 25:18

Oui, le français Augustin-Louis Cauchy et le norvégien Niels-Hedry Cable. Comme le résumera plus tard Émile Borel, ils ont tout simplement frappé les séries divergentes d'ostracisme.

Intervenant 15:29

Ostracisme, carrément, le mot est fort.

Intervenant 25:32

Le contexte historique est super important ici. Au début du XIXe siècle, les mathématiques se professionnalisent vraiment. Elles exigent une rigueur absolue pour soutenir les développements de la physique et de l'ingénierie notamment.

Intervenant 15:45

Donc, on ne peut plus faire du bricolage poétique comme au siècle précédent.

Intervenant 25:49

Voilà. Et Cauchy, en 1821, il pose les bases de l'analyse moderne et il tranche net. Il écrit ceci, je cite, « J'ai été forcé d'admettre diverses propositions qui paraîtront peut-être un peu dures, par exemple qu'une série divergente n'a pas de somme. » C'est clair et net. Et Abel, en 1826, il va encore plus loin. Dans la dramaturgie, il qualifie les séries divergentes de choses bien fatales, en ajoutant que c'est une honte d'y fonder des démonstrations. Une

Intervenant 16:16

honte. L'utilisation du mot honte, ça montre à quel point ces séries étaient perçues comme une sorte de maladie infectant l'algèbre. La porte est fermée à double tour. L'interdit est prononcé.