Grains sur l’échiquier : estimer 2⁶⁴ à 15 % près

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Je suis vraiment ravie de lancer cette nouvelle exploration aujourd'hui parce que...

Intervenant 20:06

Salut tout le monde.

Intervenant 10:07

Ouais, bonjour. Alors aujourd'hui, on a une mission un peu spéciale, une mission vertigineuse même. On va affronter des nombres qui sont tellement colossaux, genre des billions, des trillions...

Intervenant 20:19

Des monstres en fait.

Intervenant 10:20

C'est ça, des entités mathématiques si titanesques qu'elles sont littéralement buggées le cerveau. Et le but pour notre audience, ce n'est pas de subir cette immensité. On veut prouver que c'est tout à fait possible d'ômter ces géants de tête sans la moindre calculatrice, à condition d'avoir la bonne astuce.

Intervenant 20:38

Absolument. Et c'est un défi qui nous ramène direct aux limites de notre propre cerveau. Évolutivement parlant, on est câblé pour la survie immédiate. On a ce qu'on appelle le subitizing.

Intervenant 10:48

Le subitizing.

Intervenant 20:49

Ouais, c'est cette capacité à voir instantanément s'il y a 3 prédateurs ou 5 pommes sur une branche, sans avoir à les compter un par un. Ah

Intervenant 10:58

ouais, le coup d'œil rapide, quoi.

Intervenant 21:00

Voilà. Sauf que dès qu'on dépasse certaines échelles, notre perception, elle s'effondre. Un milliard, un trillion, biologiquement, ça ne veut rien dire pour nos neurones. C'est juste une vague abstraction.

Intervenant 11:12

C'est clair. Et c'est là que les maths entrent en jeu, non pas pour forcer une visualisation qui est impossible de toute façon, mais comme un système de levier pour contourner nos propres limites.

Intervenant 21:23

C'est exactement ça. On utilise la logique pour pirater notre perception.

Intervenant 11:28

Bon, ok, décortiquons ça. En partant d'un point de départ assez mythique, il y a cette célèbre légende persane, celle de l'échiquier.

Intervenant 21:36

Ah, un grand classique.

Intervenant 11:38

Oui, l'histoire raconte un roi, super impressionné par l'invention du jeu d'échec, offre à son créateur, le sage Sissa, la récompense de son choix. Et là, Sissa demande un truc apparemment ridicule. Il dit « mettez un grand blé sur la première case, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième, et on double comme ça jusqu'à la 64e case ».

Intervenant 22:00

Et le roi, évidemment, tombe dans le panneau.

Intervenant 12:02

Exactement ! Victime totale du biais cognitif qu'on vient d'évoquer, il accepte en riant, croyant que ça va lui coûter un sac de blé.

Intervenant 22:10

Sauf que le roi applique une intuition linéaire à un phénomène de croissance exponentielle. Et c'est fatal. Si on formalise un peu le truc, la mécanique est implacable.

Intervenant 12:20

Vas-y, montre-nous la rigueur derrière

Intervenant 22:21

ça. La énième case de l'échiquier contient exactement 2⁻¹ grains de blé. Donc le total, c'est la somme de la première à la dernière case, c'est-à-dire 1 plus 2 plus 2² et ainsi de suite, jusqu'à 2 à la puissance 63.

Intervenant 12:37

Et là, on frappe un mur mental. Parce que additionner 64 nombres dont les derniers font genre 20 chiffres de long...

Intervenant 22:44

C'est humainement impossible à faire de tête comme ça.

Intervenant 12:47

Totalement. Même sur papier, l'esprit se noie complètement dans les retenues.

Intervenant 22:51

Et c'est pour ça qu'en maths, on n'additionne jamais ça un par un. L'algèbre nous offre une formule simplificatrice qui est d'une élégance absolue. Le total exact de cet échiquier, c'est tout simplement 2⁶⁴, le tout moins 1.

Intervenant 13:06

Boum ! L'équation magique, 2⁶⁴ moins 1.

Intervenant 23:10

Voilà, c'est le résultat strict.

Intervenant 13:13

Sauf que même avec cette formule super propre, le nombre exact qu'on obtient, il est indigeste. Je vais essayer de le lire, accrochez-vous. Le chiffre exact, c'est 18 46 744 073 709 516 615 grains de blé. C'est vertigineux. Plus de 18 quintillions, c'est impossible à lire du premier coup sans bafouer. Ça représente des centaines de milliards de tonnes, de quoi recouvrissir la Terre entière sous une couche de céréales. Le roi était ruiné bien avant le milieu du plateau.

Intervenant 23:46

Il a dû avoir des

Intervenant 13:48

sueurs froides, le pauvre. Ouais, un peu, ouais. Mais ça amène une transition évidente. Puisque le chiffre exact est une horreur pareille, comment un humain, même un prodige des maths, pourrait s'en approcher de tête, sans calculatrice ?

Intervenant 23:59

Alors, la première idée, la force brute algorithmique, ça serait d'utiliser l'exponentiation rapide.

Intervenant 14:04

C'est-à-dire ?

Intervenant 24:05

Au lieu de multiplier par 2 64 fois de suite, ce qui prend un temps fou, on fait des bonds. On sait que 2², c'est 4.