196, l’entier dont le palindrome reste introuvable

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Ravi de vous retrouver pour une nouvelle grande plongée au cœur des mathématiques.

Intervenant 20:07

Salut tout le monde. Oui, très heureuse d'être là pour décortiquer ce nouveau sujet.

Intervenant 10:11

Et aujourd'hui, on a une mission hyper stimulante. On va explorer un phénomène mathématique qui se cache vraiment en pleine vue. Mais avant de parler de maths pure, il faut qu'on fasse un petit détour par le langage.

Intervenant 20:23

Absolument. Le langage, c'est souvent la meilleure porte d'entrée pour ce sujet.

Intervenant 10:27

Oui, parce que si on demande à quelqu'un dans la rue ce qui est un mot qui solide dans les deux sens, on obtient tout de suite des classiques, genre radar, kayak ou ressasser.

Intervenant 20:36

C'est ça. Et la fascination pour cette symétrie, elle ne s'arrête pas aux mots isolés. Les amateurs de jeux de langage connaissent bien des phrases complètes construites sur ce principe.

Intervenant 10:45

Ah oui, les phrases entières, c'est dingue.

Intervenant 20:47

Et il y a la célèbre phrase élue par cette crapule. Une phrase qui, lettre par lettre, offre une symétrie parfaite de gauche à droite ou de droite à gauche.

Intervenant 10:58

Et on peut même aller beaucoup, beaucoup plus loin. J'ai lu dans nos sources le truc sur Georges Pérec.

Intervenant 21:02

Ah oui, le grand palindrome.

Intervenant 11:04

C'est incroyable. Il a composé un texte entier de 1247 mots. Imaginez la gymnastique mentale qu'il faut pour que la première lettre du texte corresponde exactement à la dernière.

Intervenant 21:15

Et la deuxième à l'avant-dernière, et ainsi de suite sur plus de 1000 mots, assez ahurissant.

Intervenant 11:20

C'est un tour de force total. Et la musique a aussi ses équivalents, figure-toi. Le compositeur Jean-Sébastien Bach a écrit un fameux canon-crabe.

Intervenant 21:28

Oh, le canon-crabe, oui, magnifique !

Intervenant 11:30

La partition peut carrément être jouée par deux musiciens. L'un commence par le début, l'autre par la fin, et l'harmonie reste parfaite.

Intervenant 21:38

Et Joseph Hayden a fait pareil avec le minuet de sa 47e symphonie, d'ailleurs.

Intervenant 11:43

Exactement. Mais bon, avant de basculer dans les nombres, d'où vient ce terme ? Que signifie vraiment le mot palindrome, au fond ?

Intervenant 21:50

Ses racines sont grecques, tout simplement. On assemble palin, qui signifie « de nouveau » ou « en arrière », et dromos, qui désigne la course ou la piste.

Intervenant 11:59

Donc c'est littéralement une course en arrière ?

Intervenant 22:01

Voilà, c'est ça. Et si la littérature et la musique se sont emparées de cette course à rebours de façon plutôt ludique, c'est vraiment en arithmétique que les palindromes révèlent leurs propriétés les plus mystérieuses.

Intervenant 12:13

Et c'est là que l'expérience devient universelle pour tous ceux qui nous écoutent. On a tous ressenti cette petite satisfaction irrationnelle en regardant l'heure sur un smartphone.

Intervenant 22:23

Quand on voit s'afficher 12h21. Voilà. Ou 0555. Il y a une

Intervenant 12:29

espèce de sensation d'ordre fugace, d'équilibre parfait. Bah

Intervenant 22:33

oui, mais cette petite satisfaction esthétique, c'est juste la porte d'entrée vers une structure qui est très très rigoureuse.

Intervenant 12:40

C'est-à-dire ?

Intervenant 22:41

Si on dépasse le simple cadran d'une montre et qu'on plonge dans la théorie des nombres, cette symétrie visuelle impose des règles vraiment strictes sur la façon dont ces nombres se comportent.

Intervenant 12:51

D'accord. L'idée, c'est de comprendre l'anatomie de ces nombres et surtout les conséquences cachées de cette symétrie.

Intervenant 22:58

Tout à fait, et ça nous amène directement à une question de dénombrement.

Intervenant 13:01

Ouais, posons les bases. Puisqu'on voit ces nombres palindromes assez souvent au quotidien, combien y en a-t-il réellement si on se met à les compter de manière méthodique ?

Intervenant 23:11

C'est la bonne question par laquelle commencer.

Intervenant 13:13

Bon, si on commence par les nombres à un seul chiffre, on en a 10, de 0 à 9. Ils se lisent évidemment de la même façon dans les deux sens.

Intervenant 23:21

C'est la base, oui.

Intervenant 13:21

Pour les nombres à deux chiffres, on en a 9. 11, 22, 33, jusqu'à 99.

Intervenant 23:27

C'est exact. Et pour comprendre comment on passe aux tailles supérieures, il faut voir un palindrome non pas comme une simple suite de chiffres, mais plutôt comme une structure avec une charnière centrale.

Intervenant 13:37

Une charnière, c'est-à-dire ?

Intervenant 23:38

Imagine un miroir placé en plein milieu d'une ombre. Si on veut construire un palindrome à trois chiffres, on ne va pas choisir trois chiffres au hasard. On choisit le premier chiffre, disons un 7.

Intervenant 13:48

Ok, je mets un 7. Ah d'accord, je vois l'idée des Legos qui s'emboîtent. Donc on a 9 choix pour le premier chiffre, vu qu'on ne peut pas commencer par un zéro.

Intervenant 23:57

Exact.

Intervenant 13:58

Et ensuite, 10 choix pour le chiffre du milieu. 9 multiplié par 10, ça fait 90 palindromes à 3 chiffres. La moitié droite n'offre aucune liberté de choix. Au final, elle subit l'asymétrie.

Intervenant 24:09

Voilà le mécanisme de base. La moitié gauche commande, la moitié droite obéit.

Intervenant 14:13

Mais c'est précisément ici que mon intuition a percuté un mur en étudiant nos sources pour ce podcast.

Intervenant 24:19

Ah bon ? Qu'est-ce qui

Intervenant 14:20

coince ? Passons au nombre à 4 chiffres. On a toujours 9 choix pour le premier chiffre, qui fixe donc le dernier. Ensuite, on a 10 choix pour le deuxième chiffre, qui fixe automatiquement le troisième. Cela fait donc 9 choix multipliés par 10 choix, ce qui donne encore 90 palindromes.

Intervenant 24:37

Et le mur est

Intervenant 14:38

là. Complètement. Attends, il y a exactement 90 palindromes à 3 chiffres et 90 palindromes à 4 chiffres. C'est contre-intuitif au possible.

Intervenant 24:47

C'est vrai que ça surprend.

Intervenant 14:48

L'univers de tous les nombres à 4 chiffres est 10 fois plus vaste que celui à 3 chiffres. Comment est-ce qu'il peut y avoir le même nombre de palindromes dans les deux catégories ? On se croirait face à un paradoxe.

Intervenant 24:58

C'est une excellente remarque, et c'est génial parce que ça met en lumière ce que signifie la liberté en mathématiques.

Intervenant 15:03

C'est pas un paradoxe

Intervenant 25:05

alors ? Non, c'est une conséquence purement géométrique. Prenons la longueur totale d'un nombre. Qu'elle soit un paire, disons 3 chiffres, ou paire, disons 4 chiffres, le nombre de décisions indépendantes que tu dois prendre est strictement identique.

Intervenant 15:20

Ok, je suis.

Intervenant 25:21

Pour trois chiffres, tu choisis le premier et le deuxième. Le troisième est dicté par le miroir. Pour quatre chiffres, tu choisis le premier et le deuxième. Et là, le troisième et le quatrième sont dictés. Tu prends exactement le même nombre de décisions dans le même espace de choix de 0 à 9.

Intervenant 15:38

Incroyable, je comprends. La charnière centrale d'un nombre impair agit exactement comme la ligne invisible de symétrie d'un nombre pair. Dans les deux cas, dès qu'on a dépassé la moitié, on perd le contrôle.

Intervenant 25:47

C'est exactement le mécanisme en jeu, oui. Formellement, on peut avoir un nombre de longueurs impaires, défini par 2K plus 1, ou de longueurs paires, défini par 2K plus 2.

Intervenant 15:58

Et le résultat est le

Intervenant 25:59

même ? Dans les deux cas, le nombre de palindromes obéit strictement à la même formule. 9 fois 10 puissance K.

Intervenant 16:05

D'accord.

Intervenant 26:06

Cette règle est d'une puissance redoutable. Elle permet de résoudre de tête des problèmes qui semblent, à première vue, nécessiter une puissance de calcul gigantesque.

Intervenant 16:16

Ah oui, comme le fameux défi lancé par Cédric Villani.

Intervenant 26:19

Exactement.

Intervenant 16:20

En 2013, dans Le Monde, il avait posé cette question brutale. Combien de palindromes à 351 chiffres existent-ils ? Face à ça, franchement, l'instinct pousse à croire qu'il faut un super ordinateur pour tester des milliards de combinaisons.

Intervenant 26:33

Mais en connaissant le mécanisme de la charnière qu'on vient de voir, on trouve la réponse de tête.

Intervenant 16:38

Vas-y, montre-nous.

Intervenant 26:39

La longueur est de 351 chiffres, c'est un nombre impair, donc on pose l'équation 2k plus 1 égale 351, ce qui nous donne k égale 175. D'accord.