Division à la galère : l’enquête sur une méthode oubliée

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente, un accueil vraiment très chaleureux à tous les passionnés qui nous rejoignent aujourd'hui pour cette nouvelle plongée au cœur de nos certitudes les plus ancrées.

Intervenant 20:12

Bonjour, ravie d'être là pour cette exploration.

Intervenant 10:15

Alors, imaginez un instant que la manière dont on apprend à multiplier à l'école primaire, eh bien, qu'elle n'ait absolument pas été choisie parce qu'elle est la plus logique, ni même la plus efficace sur le plan de la réflexion intellectuelle, mais tout simplement à cause du temps de séchage de l'encre à la Renaissance.

Intervenant 20:31

C'est fou, hein ? Mais c'est exactement le genre de perspective qui en fait renverse complètement notre vision des choses. On aborde souvent les mathématiques comme un édifice purement théorique, quelque chose d'intemporel, de presque éthéré, quoi.

Intervenant 10:43

Ouais, totalement. Un truc intouchable.

Intervenant 20:46

C'est ça. Mais la réalité de l'exécution des calculs, elle, elle a littéralement les mains pleines d'encre et de poussière.

Intervenant 10:52

Démêlons un peu tout ça. L'objectif de notre exploration aujourd'hui, et on va beaucoup s'appuyer sur l'excellent article de Michel Seubille qui s'intitule « Galérons dans la division », eh bien notre mission, c'est de déconstruire un véritable monument, à savoir les mathématiques élémentaires.

Intervenant 21:08

Tout à fait.

Intervenant 11:09

Parce qu'on a tous cette certitude vraiment tenace, presque innée, que nos méthodes pour poser une addition, une soustraction ou une division sur une feuille, ce sont des absolus. Des choses découvertes telles quelles, un peu comme on découvre la loi de la gravité, vous voyez ?

Intervenant 21:22

Ah oui, on prend ça pour parole d'évangile. Et c'est justement le cadre parfait pour notre analyse. L'idée centrale ici, c'est de comprendre que le calcul écrit, donc cette action qui consiste à prendre une grosse opération bien complexe et de la tronçonner en une multitude de petites tâches toutes simples, c'est en réalité le produit d'une très longue évolution historique.

Intervenant 11:43

Une évolution qui est loin d'être un long fleuve tranquille, j'imagine ?

Intervenant 21:46

Ah mais pas du tout ! Nos algorithmes sont de vastes compromis. Ils ont été façonnés, tordus et parfois même carrément dégradés par des outils matériels qu'on n'attendrait pas du tout là, ou même par des simples contraintes physiologiques.

Intervenant 12:01

Alors, avant même de parler d'algorithme et de calcul pur, je crois qu'il faut impérativement parler d'écriture. Parce que notre façon d'aborder une opération, elle est enchaînée, mais littéralement enchaînée, à notre système de numération.

Intervenant 22:14

Oui, c'est le point de départ absolu. Et c'est d'ailleurs en regardant le passé qu'on saisit à quel point notre système actuel est une incroyable technologie de compression de données en fait.

Intervenant 12:24

C'est-à-dire ?

Intervenant 22:25

Eh bien notre système contemporain, c'est ce qu'on appelle un système de numération de position. Donc la valeur d'un symbole dépend entièrement de sa géographie, de sa place sur le papier.

Intervenant 12:35

D'accord, donc si on prend le nombre 361 par

Intervenant 22:38

exemple. Voilà, 361. L'information la plus cruciale là-dedans, c'est pas seulement le tracé du chiffre 3, c'est surtout sa place. Il représente 300, uniquement parce qu'il occupe la troisième position en partant de la droite.

Intervenant 12:51

Ouais, ce système indo-arabe y permet de manipuler des quantités astronomiques avec seulement dix petits symboles de base. C'est génial.

Intervenant 22:59

Et le contraste, il est vraiment saisissant quand on observe le même nombre, 361, mais écrit dans l'Antiquité romain. Vous vous souvenez comment on l'écrit alors ?

Intervenant 13:08

Euh... Alors, 300 c'est 3C, donc CCC, ensuite L pour 50, X pour 10 et I pour 1. Donc CCCLXI. C'est long, hein ?

Intervenant 23:22

C'est très long, oui. Et surtout, c'est une logique purement additive, pas du tout positionnelle. Dans ce système romain, la lettre L incarne la valeur 50 de manière intrinsèque, en elle-même.

Intervenant 13:33

Peu importe où elle se trouve dans le mot, en fait.

Intervenant 23:36

Exactement. Ce qui est fondamental, c'est qu'elle vaut 50, peu importe où l'écrivain décide de la placer dans sa séquence. L'ordre des lettres, avec les plus grandes valeurs à gauche, au début, c'était juste une habitude de lecture.

Intervenant 13:48

Ce n'était pas une règle stricte.

Intervenant 23:50

Non, ce n'était pas une règle mathématique qui régissait la valeur. L'article mentionne d'ailleurs qu'en théorie, on aurait tout à fait pu écrire 361 de manière complètement chaotique, genre C L C X I C.

Intervenant 14:02

Ah oui, on mélange tout et le total des valeurs cumulées fera toujours 361. C'est

Intervenant 24:07

ça. L'ordre très strict qu'on connaît, ou la soustraction positionnelle, vous savez, le fait d'écrire IV au lieu de IIII pour faire 4, tout ça ne s'est figé que très tardivement.

Intervenant 14:18

Si je visualise bien la chose, dites-moi si mon analogie tient la route. C'est un peu comme la différence entre un simple tas de pièces de monnaie et une caisse enregistreuse magique.

Intervenant 24:27

Ah, j'aime bien l'idée, allez-y. Le système

Intervenant 14:30

romain, c'est le tas de pièces. Une pièce de 50 centimes, elle garde sa valeur de 50 centimes, qu'elle soit posée au centre de la table, reléguée dans un coin ou glissée sous le tas. Elle ne bouge pas. Alors que notre système de position actuel, c'est la caisse enregistreuse. La simple case dans laquelle on glisse la pièce multiplie sa valeur par 10 ou par 100, instantanément. C'est une excellente image, oui. Mais du coup, ça soulève une question super évidente. Comment ils faisaient pour repérer des calculs complexes ? Parce que poser une multiplication avec des lettres qui gardent des valeurs fixes peu importe leur place, ça ressemble à un véritable bourbier intellectuel.

Intervenant 25:06

Ce qui est fascinant ici, c'est de réaliser qu'ils ne calculaient tout simplement pas sur le papier.

Intervenant 15:11

Pardon ?

Intervenant 25:12

Pas sur le papier, non. L'écriture des chiffres romains avait qu'une fonction de registre. C'était juste pour le stockage de l'information finale, une fois le calcul terminé. Pour calculer vraiment, on quittait le domaine de l'écriture pour entrer dans celui de la matière.

Intervenant 15:27

On utilisait des objets physiques.

Intervenant 25:29

Oui, on utilisait des abacs. C'était les tables recouvertes de sable ou bien des planches creusées de petites rainures dans lesquelles on déplaçait des cailloux. Et ces petits cailloux, en latin, ce sont les fameux calculi, qui ont d'ailleurs donné notre mot calcul.

Intervenant 15:42

Mais c'est fou ça ! Donc le calcul, c'était avant tout une manipulation physique. C'était une espèce de chorégraphie des mains bien avant d'être une manipulation de symbole sur du parchemin.

Intervenant 25:52

Tout à fait. Et la transition vers le vrai calcul écrit, elle a été d'une lenteur vertigineuse. Il a fallu attendre le 13e cercle en Europe que le système de position commence à s'implanter sérieusement. Notamment grâce à l'ouvrage de Fibonacci, publié en 1202. Ah, le fameux

Intervenant 16:07

mathématicien.

Intervenant 26:09

Oui. Et devinez le titre de ce livre fondamental qui a introduit les chiffres indo-arabes chez nous.

Intervenant 16:14

Euh, aucune idée. Le livre des chiffres ?

Intervenant 26:18

Le Liber Abaci, le livre des abaques.

Intervenant 16:22

Ah, donc le vocabulaire de l'ancien hôti physique, le boulier, survivait déjà dans le nom de la nouvelle technologie de l'écriture. L'ironie est totale.

Intervenant 26:30

Exactement.

Intervenant 16:31

Donc le système de position s'installe, le papier remplace progressivement la bague de bois et les cailloux. On pourrait naïvement croire que cette révolution technologique a pacifié et unifié les mathématiques. Tout le monde s'est mis à opérer de la même manière. Mais j'ai cru comprendre que c'est une illusion totale.

Intervenant 26:50

Ah oui, une illusion monumentale. En fait, la diversité des algorithmes a complètement explosé à ce moment-là. Et on en a la preuve flagrante avec une opération qu'on juge aujourd'hui d'une simplicité enfantine, la soustraction.

Intervenant 17:04

Ah la soustraction, c'est vraiment le terrain de fracture par excellence.

Intervenant 27:07

C'est ça. Encore aujourd'hui, dans nos écoles, la soustraction et le théâtre, deux méthodes radicalement différentes. Prenons un cas classique qui demande un tout petit peu de réflexion. Disons 361 moins 128.

Intervenant 17:19

Ok, je pose ça dans ma tête.

Intervenant 27:21

Lorsqu'on pose cela en colonne bien alignée par la droite, le premier obstacle surgit tout de suite dès la colonne des unités. Il faut ôter huit unités à une seule unité.

Intervenant 17:32

Oui, un moins huit, on est coincé. Mathématiquement, dans l'ensemble des entiers naturels en tout cas, c'est un mur.

Intervenant 27:39

C'est un mur absolu. Et pour franchir ce mur, deux grandes doctrines pédagogiques s'affrontent depuis des lustres. La méthode de l'emprunt et la méthode de la compensation.

Intervenant 17:49

Alors là, démêlons cette guerre des soustractions, parce que ça nous touche tous, commençons par l'emprunt.

Intervenant 27:54

Eh bien, la logique de l'emprunt, elle est très interne au nombre supérieur. Face à mon unique unité qui ne suffit pas, je me tourne vers mon voisin de gauche, la colonne des dizaines du nombre 361. J'y observe six dizaines. L'idée, c'est d'en emprunter une.

Intervenant 18:10

Donc on casse la dizaine.

Intervenant 28:11

Exactement. Je raille le 6 qui devient un 5. Et cette dizaine que je viens d'extraire, je la désintègre en 10 petites unités. Je rapatrie ces 10 unités dans ma première colonne, ce qui m'amène à un confortable total de 11 unités.

Intervenant 18:29

Et là, 11 moins 8, facile, ça fait 3.

Intervenant 28:32

Voilà.

Intervenant 18:32

C'est une approche très organique, presque chirurgicale en fait. On prélève de la matière à un endroit du nombre. Pour l'agréfer à un autre endroit, tu en manques. Et au final, l'équilibre global du nombre 361 reste inchangé. On a juste réorganisé sa structure interne. C'est élégant.

Intervenant 28:48

C'est très logique, oui. Mais il y a une approche concurrente, la compensation.

Intervenant 18:53

Et comment elle fonctionne

Intervenant 28:54

celle-là ? La compensation est beaucoup plus, disons, diplomatique. Elle refuse catégoriquement de toucher à la structure interne du premier nombre. Le principe repose sur une propriété très simple de la soustraction. L'écart entre deux grandeurs reste strictement identique si on augmente ces deux grandos de la même valeur.

Intervenant 19:12

Logique.

Intervenant 29:12

Donc, pour régler notre problème de 1-8, on injecte artificiellement de la valeur dans l'opération tout entière. On ajoute 10 unités au nombre du haut, transformant notre 1 en 11. Le calcul 11-8 devient réalisable.

Intervenant 19:26

Oui, mais on a déséquilibré l'équation

Intervenant 29:28

là. Justement. Pour compenser cette injection de valeur et maintenir l'écart juste, on est obligé d'ajouter la même quantité au nombre du bas. On insère donc une dizaine supplémentaire dans la colonne des dizaines du 128.