Racines carrées à la main : de Babylone à la potence

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente, bienvenue à toutes et à tous pour cette nouvelle exploration fascinante.

Intervenant 20:07

Bonjour Sam, je suis vraiment ravie d'être là pour aborder ça avec toi aujourd'hui.

Intervenant 10:12

Et quel sujet ?

Intervenant 20:13

Alors, prenons un instant pour visualiser un défi absolument dingue. Extraire une racine carrée parfaite...

Intervenant 10:20

Ah oui, le cauchemar de beaucoup de gens.

Intervenant 20:22

C'est clair. Une racine d'une précision parfaite jusqu'à la sixième décimale. Et ça, en utilisant uniquement un bout de bois et une plaque d'argile humide. Rien que ça ? Voilà. Bien avant l'invention de nos puces en silicium, bien avant l'électricité, comment l'humanité a-t-elle réussi ce véritable tour de force intellectuelle ? Aujourd'hui, la mission, c'est vraiment de déterrer un art perdu.

Intervenant 10:45

Une pratique complètement oubliée au fond des tiroirs de l'histoire en fait. Exactement. Le calcul à la main. Ou plutôt l'extraction de racines carrées à la plume, comme on le disait si élégamment au XVIIIe siècle.

Intervenant 20:58

Et c'est un pan méconnu mais vraiment fondamental de l'histoire des sciences. Parce que, bah, avant que des algorithmes invisibles ne tournent derrière nos écrans tactiles, des esprits brillants aux quatre coins du globe ont dû faire preuve d'une ingéniosité folle.

Intervenant 11:12

À ça l'ingéniosité, il n'en manquait pas.

Intervenant 21:14

Absolument pas. Ils ont élaboré des méthodes qui sont de véritables chefs-d'œuvre de logique. L'idée aujourd'hui, c'est de redécouvrir ces concepts en partant de la géométrie pure, de l'Antiquité, pour aller jusqu'aux astuces mécaniques, enfin hallucinantes, du XIXe siècle.

Intervenant 11:30

Un grand voyage dans le temps du coup.

Intervenant 21:31

C'est ça. Il y aura une grande rigueur mathématique, bien sûr, mais l'objectif, c'est d'aborder tout cela comme un grand jeu, une succession d'énigmes logiques grandioses.

Intervenant 11:40

Génial. Alors, le point de départ incontournable de cette évolution est profondément physique, presque palpable en fait. Pour comprendre cette soif de précision, il faut remonter à la source et quitter le papier pour l'argile.

Intervenant 21:53

Direction la Mésopotamie ?

Intervenant 11:55

Voilà, sur une tablette babylonienne très célèbre qui est cataloguée sous le nom de YBC 7289, on observe une figure fascinante. C'est un carré, dessiné avec ses deux diagonales. Et juste au-dessus de la diagonale horizontale, on trouve une suite de nombres inscrits en caractère cunéiforme.

Intervenant 22:12

Et ces inscriptions, c'est la preuve d'un exploit vertigineux. Les babyloniens utilisaient un système sexagésimal.

Intervenant 12:19

Donc une base 60, c'est ça ?

Intervenant 22:21

C'est exactement ça, une base 60. C'est d'ailleurs ce système qui nous a légué notre façon de découper le temps en heures, minutes et secondes. Et sur cette diagonale, pour un carré de côté 30, ils ont inscrit la valeur de la racine carrée de 2 avec un niveau des détails impensable pour l'époque. On lit la suite 1, 24, 51, 10.

Intervenant 12:42

Et ce choix de la base 60, c'est pas du tout anodin. C'est une base d'une flexibilité incroyable pour la division. 60 se divise parfaitement par 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12. Ouais,

Intervenant 22:55

c'est super pratique.

Intervenant 12:56

Bah oui, ça permet de manipuler les fractions avec une aisance redoutable.

Intervenant 23:00

Tout à fait. Et grâce à ce système, en fait, les fractions inscrites sur cette tablette d'argile donnent une approximation de la racine carrée de 2 qui, si on la traduit dans notre système décimal actuel, se révèle exacte jusqu'à la sixième décimale.

Intervenant 13:13

C'est dingue.

Intervenant 23:14

Ils ont frôlé la perfection de la valeur réelle, armé seulement de petits stylés en roseaux. Le calcul exact, c'est 1 plus 24 soixantièmes plus 51 sur 60 au carré plus 10 sur 60 au cube. Et ça donne environ 1,414212.

Intervenant 13:34

Mais la grande question qui se pose tout de suite, c'est le mécanisme. Comment ils ont pu tomber sur une valeur aussi incroyablement précise sans la moindre machine ?

Intervenant 23:42

C'est là que l'intuition antique est brillante. C'est une intuition qui sera théorisée bien plus tard, au premier siècle de notre ère, par le mathématicien grec Héron d'Alexandrie. Sa méthode repose sur une géométrie visuelle très intuitive. Admettons que l'on cherche le côté d'un carré dont on connaît l'air total. Cette longueur, c'est la racine carrée. Erron propose de tricher un peu pour commencer. On part d'un rectangle quelconque qui possède cette même R exacte. Comme c'est un rectangle, un de ses côtés est inévitablement trop long et l'autre est trop court.

Intervenant 14:16

Ah, l'image mentale est formidable. C'est exactement comme avoir un gros morceau de pâte à modeler en forme de long rectangle.

Intervenant 24:22

Oui, très bonne analogie.

Intervenant 14:24

L'objectif, c'est de le transformer en un carré parfait sans jamais ajouter ni enlever la moindre once de pâte. L'air doit rester scrupuleusement identique, quoi.

Intervenant 24:31

Exactement. Le volume de pâte ne change pas.

Intervenant 14:34

La seule solution physique, du coup, c'est d'écraser le côté le plus long de notre pâte à modeler pour repousser la matière vers le côté le plus court.

Intervenant 24:40

C'est la métaphore parfaite. On écrase et on égalise. Mathématiquement, ça se traduit par une action extrêmement simple en fait. On calcule la moyenne arithmétique entre le côté long et le côté court.

Intervenant 14:51

D'accord.

Intervenant 24:51

Et cette moyenne devient la longueur du nouveau côté de notre rectangle, qui est déjà beaucoup moins allongé, beaucoup plus proche d'un carré. L'aire globale est recalculée pour s'ajuster en divisant l'aire de départ par ce nouveau côté et on recommence l'opération.

Intervenant 15:05

Donc on continue d'écraser la pâte, étape par étape, on fait la moyenne des deux côtés, encore et encore, jusqu'à ce que les quatre bords s'égalisent parfaitement pour former un carré absolu.

Intervenant 25:15

C'est exactement le principe. Et la beauté de cet algorithme géométrique, c'est sa puissance de convergence. À chaque fois que l'on écrase la pâte, en faisant cette fameuse moyenne, le nombre de décimales exactes double.

Intervenant 15:26

Attends, ils doublent à chaque étape ?

Intervenant 25:28

Oui, c'est une accélération exponentielle vers la vérité mathématique. La méthode donne une réalité physique, une vraie texture, à ce qui n'est au fond que le calcul abstrait d'une limite de suite.

Intervenant 15:38

C'est fascinant ! Seulement, voilà, la géométrie c'est très rassurant visuellement, mais modeler de la pâte indéfiniment, calculer des moyennes pour ajuster les côtés étape par étape, c'est quand même laborieux.

Intervenant 25:51

C'est sûr que c'est long.

Intervenant 15:53

L'esprit humain cherche toujours l'efficacité maximale. Il y a forcément un moment où les savants ont voulu s'affranchir de cette répétition physique pour trouver un raccourci direct.

Intervenant 26:03

Et pour trouver ce raccourci, il faut quitter le bassin méditerranéen et observer un bond en avant fulgurant dans l'Inde du 8e siècle. Le document clé ici, c'est un texte qui s'appelle le manuscrit de Bakhchali. Ah oui. C'est un texte historique majeur. Il est célèbre notamment pour abriter l'une des toutes premières traces du symbole du zéro.

Intervenant 16:23

Rien que ça.

Intervenant 26:24

Voilà. Mais concernant les racines carrées, les mathématiciens indiens ont accompli une vraie révolution.