L’échiquier légendaire de Sissa : des puissances à RSA

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Quel bonheur de lancer cette nouvelle plongée au cœur de nos sources du jour.

Intervenant 20:08

Oui, je suis ravie d'être là. Salut Amant.

Intervenant 10:11

Et bonjour à toutes les personnes qui nous rejoignent. L'objectif d'aujourd'hui, c'est vraiment de décortiquer des concepts fascinants avec la rigueur des mathématiques, mais de manière totalement accessible.

Intervenant 20:23

C'est ça. On va essayer de ne pas perdre tout le monde en route.

Intervenant 10:26

Exactement. Et pour commencer, j'ai une question qui semble n'avoir ni queue ni tête. Quel est le point commun absolu entre un antique jeu de société inventé en Inde, une quantité proprement astronomique de grains de blé et le verrou invisible qui sécurise genre la moindre transaction par carte bancaire sur Internet aujourd'hui ?

Intervenant 20:45

Ouais, ça paraît complètement décousu comme ça, mais en fait, derrière cette espèce d'énigme, il y a un mécanisme mathématique d'une puissance assez redoutable.

Intervenant 10:54

Ouais.

Intervenant 20:55

C'est pas juste une astuce théorique, quoi. C'est l'exponentiation.

Intervenant 11:00

L'exponentiation ?

Intervenant 21:01

Voilà.

Intervenant 11:01

Plus précisément, l'action d'élever des nombres à une certaine puissance. Et tu vois, à première vue, sur les bancs de l'école, on perçoit souvent les puissances comme une simple notation, juste une petite façon d'abréger des multiplications.

Intervenant 21:15

Oui, au lieu d'écrire trois fois trois, on écrit trois au carré, c'est plus rapide.

Intervenant 11:19

Exactement. Mais en réalité, la maîtrise de cette croissance vertigineuse, c'est carrément la clé de voûte de notre sécurité numérique moderne. C'est vraiment ce qui sépare un message que tout le monde peut lire sur Internet d'un secret d'État complètement indéchiffrable. C'est fou de se dire ça. Et c'est là que ça devient captivant. Parce que pour comprendre concrètement la brutalité de cette croissance exponentielle, on ne va pas regarder nos roteurs Internet tout de suite.

Intervenant 21:42

Non, il vaut mieux remonter dans le temps, c'est plus parlant.

Intervenant 11:44

Ouais, on remonte à une légende fondatrice. Alors on est en Inde, face au roi Belkib. Ce souverain veut récompenser un brahmane qui s'appelle Sissa. Et la raison est super belle. C'est parce que Sissa vient juste d'inventer le chaturanga.

Intervenant 21:57

Qui est l'ancêtre direct du jeu d'échecs, en fait.

Intervenant 11:59

Voilà. Et donc, un jeu de stratégie sur un plateau de 64 cases. Le roi est tellement subjugué par cette invention qu'il propose à Sissa de choisir lui-même sa récompense. Ce qui est risqué, oh ! Bah, carrément. Il s'attendait sans doute à une demande classique, tu vois, genre de l'or, des terres, des joyaux. Il réclame juste du blé. Un grain de blé sur la première case de l'échiquier, deux grains sur la deuxième case, quatre sur la troisième, huit sur la quatrième. En gros, l'idée, c'est de doubler la quantité à chaque case jusqu'à la 64e et dernière case.

Intervenant 22:31

Et la réaction du roi, elle est hyper prévisible. Il éclate de

Intervenant 12:34

rire. Oui, il trouve la demande d'une modestie ridicule. Il ordonne qu'on aille chercher, je ne sais pas, un petit sac de blé aux cuisines pour clore l'affaire et on n'en parle plus.

Intervenant 22:42

C'est l'erreur classique. En fait, c'est l'erreur de l'esprit humain face à l'exponentiel. Notre cerveau, il est très bien câblé pour comprendre une croissance linéaire.

Intervenant 12:51

Du genre, ajouter 10 grains à chaque fois.

Intervenant 22:53

C'est ça. Mais la multiplicatone répétée, ça défie complètement notre intuition. Au début, l'échiquier, il se remplit tout doucement. 1, 2, 4, 8, 16 grains. C'est insignifiant, quoi.

Intervenant 13:06

Sauf qu'à la 19e case, c'est le choc. Le premier sac de blé est déjà entièrement vide. On en amène un deuxième et bim, il se vide instantanément sur la 20e case.

Intervenant 23:15

L'ambiance dans la salle du trône a dû totalement basculer à ce moment-là.

Intervenant 13:18

Ah, mais j'imagine trop la panique. Rien que pour remplir les cases 21 et 22, il faut amener six sacs entiers. L'exponentiel vient de montrer les dents, quoi. C'est exactement le même principe que lorsqu'on plie une feuille de papier, non ?

Intervenant 23:31

Ah oui, la fameuse analogie de la feuille de papier.

Intervenant 13:33

Oui, au début, l'épaisseur est dévisoire, on double un petit millimètre. Mais si on arrive à plier cette feuille 42 fois sur elle-même, l'épaisseur obtenue couvre la distance de la Terre à la Lune.

Intervenant 23:44

C'est un truc de fou. Et donc, face à ce désastre logistique, le roi indien fait appel à son astronome royal.

Intervenant 13:51

Pour faire les comptes.

Intervenant 23:52

Voilà. Et c'est un mathématicien aguerri, un disciple de l'illustre Aryabhata. Pour situer, c'est un pionnier dans l'utilisation du concept de zéro et un mec habitué à manipuler des nombres allant jusqu'à 10 puissance 18. Ah

Intervenant 14:06

oui, pas le premier venu.

Intervenant 24:07

Pas du tout. L’astronome, il comprend très vite que le trésor royal est en danger de mort. Il pose le calcul et le résultat, il est sans appel. La somme totale des grains exigés par Sissa s'élève à, attention, respire un grand coup, 18 446 744 073 709 551 615 grains de blé.

Intervenant 14:31

18 trilliards à les poussières.

Intervenant 24:33

Exactement.

Intervenant 14:34

Mais c'est un nombre à 20 chiffres. Ça représente bien plus que la production mondiale actuelle de blé, et ça sur des centaines d'années. D'ailleurs, rapporté au rendement agricole de l'époque, il aurait fallu, je crois, l'équivalent de 27 000 ans de récoltes ininterrompues pour payer cette dette.

Intervenant 24:51

Et le pire, c'est que la source laisse un peu planer le mystère sur le sort de Sissa, mais je suis à peu près certaine que la démonstration d'insolvabilité du roi s'est terminée par... par une exécution pure et simple.

Intervenant 15:03

Ouais, la rançon de l'humiliation intellectuelle quoi. Le roi a pas dû apprécier la blague. Mais du coup, au-delà de l'anecdote historique, il y a une vraie énigme mathématique qui me frappe là-dedans.

Intervenant 25:13

Laquelle ?

Intervenant 15:14

L’astronome de la cour, il a dû calculer ce nombre monstrueux à la main, sans calculatrice. Or, pour trouver le nombre de grains sur la dernière case, il faut faire 2 x 2 x 2 x 2... 63 fois de suite, ouais. C'est

Intervenant 25:26

ça, ouais.

Intervenant 15:27

Et ensuite, additionner toutes les cases entre elles. Est-ce qu'on doit vraiment imaginer ce pauvre astronome passer ses nuits à noircir des parchemins avec des dizaines de multiplications interminables ?

Intervenant 25:36

Certainement pas, non. Et c'est là qu'intervient la véritable élégance des mathématiques. Le but, c'est toujours de trouver la structure cachée pour s'éviter le travail laborieux, tu vois.

Intervenant 15:44

L'art de la flemme intelligente ?

Intervenant 25:46

C'est exactement ça. D'abord, il existe une formule algébrique très ancienne qui démontre que la somme de toutes les puissances de 2, de la case 0 à la case 63, est strictement équivalente au nombre de la case suivante.

Intervenant 15:58

Ok, donc le total de L’échiquier, ça équivaut à juste calculer 2 puissance 64 et de soustraire 1 à la fin.

Intervenant 26:06

Voilà, ça évite de faire 64 additions gigantesques.

Intervenant 16:11

D'accord, mais ça ne résout pas mon problème principal. Il faut quand même calculer ce fameux 2 puissance 64. Ça reste 63 opérations de multiplication, quoi.

Intervenant 26:20

Pas si on utilise ce qu'on appelle l'exponentiation rapide, ou la méthode des carrés successifs. En fait, l'astronome n'a pas multiplié par 2 63 fois. Il a utilisé les résultats précédents pour bondir en avant.

Intervenant 16:33

Attends, comment ça ?

Intervenant 26:34

Prenons le début. 2 au carré, ça donne

Intervenant 16:37

4.

Intervenant 26:38

Si on prend ce résultat, 4, et qu'on l'élève lui-même au carré, on obtient

Intervenant 16:43

16.

Intervenant 26:45

Or 16, c'est 2 puissance 4. On vient de sauter directement à la quatrième puissance en seulement deux opérations au lieu de trois.