Tout peut-il se comparer ? L’ordre en maths, pas à pas

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Ranger ses crayons au millimètre près sur un bureau.

Intervenant 20:06

Ah bah, classique !

Intervenant 10:08

Ou alors comparer frénétiquement les prix de dizaines de paquets de pâtes au supermarché.

Intervenant 20:13

Faire des listes de tâches interminables aussi, c'est la même chose.

Intervenant 10:16

Exactement. En fait, l'esprit humain a vraiment cette obsession viscérale de mettre de l'ordre dans le chaos environnant. C'est presque un réflexe de survie. Mais ce qui est dingue, c'est que pour une action d'une banalité aussi affligeante, il a fallu des siècles pour que les mathématiciens réussissent à en percer le code source, à transformer cette pulsion du quotidien en un véritable édifice conceptuel.

Intervenant 20:40

C'est le grand paradoxe de l'histoire des sciences, en fait. Et c'est ça qui est fascinant. C'est ce contraste hyper saisissant, presque vertigineux même, entre notre intuition humaine et la formalisation pure. L'humanité a classé, trié, ordonné des objets physiques depuis la nuit des temps, juste pour survivre. Mais il a fallu attendre la fin du 19e siècle pour que cette habitude naturelle soit véritablement conceptualisée.

Intervenant 11:04

Le XIXe siècle, c'est super tard du coup.

Intervenant 21:07

Ben oui, très tard. C'est à ce moment-là qu'on passe de l'action physique de ranger un truc à la théorie mathématique de l'ordre. Une théorie qui, aujourd'hui, gouverne une immense partie de la science moderne.

Intervenant 11:18

Et c'est précisément la mission de notre exploration d'aujourd'hui. On va décortiquer ensemble les coulisses de cette notion d'ordre en mathématiques.

Intervenant 21:25

Vaste programme.

Intervenant 11:26

Ouais, on va partir de nos intuitions les plus simples, celles de tous les jours, pour voyager jusqu'aux fondations de la théorie des ensembles. Mais on va vraiment regarder sous le capot pour comprendre comment et pourquoi ces rouages tournent, tout en gardant une rigueur absolue.

Intervenant 21:40

C'est le but.

Intervenant 11:41

Alors, commençons par le commencement. Puisque mettre de l'ordre est si inné, pourquoi ça a pris autant de temps ? Qui a fini par appuyer sur l'interrupteur ? Et surtout, pourquoi à ce moment précis ?

Intervenant 21:52

Alors, pour comprendre cette étincelle, il faut se tourner vers un mathématicien allemand, Georges Cantor. Ses travaux principaux se situent dans les années 1870. Et l'ironie suprême de cette histoire, c'est qu'il n'est pas du tout arrivé à cette découverte en essayant de ranger des objets simples ou de classer des nombres de 1 à 10.

Intervenant 12:09

C'était pas du tout son but ?

Intervenant 22:10

Ah non, pas du tout. Ses travaux partaient sur un domaine beaucoup plus aride. Il étudiait ce qu'on appelle des séries trigonométriques complexes.

Intervenant 12:17

Attends, des séries trigonométriques ? On est vraiment très loin du rangement de bureaux là. Concrètement, il cherchait à faire quoi avec ça ?

Intervenant 22:24

Alors, pour schématiser un peu, on va imaginer une onde. Genre une vague qui représente le son ou la chaleur.

Intervenant 12:31

D'accord, je visualise.

Intervenant 22:33

Parfois, cette onde n'est pas continue. Elle se brise, elle fait des sauts. C'est ce qu'on appelle des points de discontinuité. Et Cantor, en fait, il essayait de cartographier ses

Intervenant 12:43

sauts.

Intervenant 22:44

Mais il s'est rendu compte que dans certaines fonctions, il y avait une infinité de sauts. Et pire encore, entre ces sauts infinis, il y avait d'autres ensembles de sauts infinis. En gros, il s'est retrouvé face à des infinis emboîtés les uns dans les autres.

Intervenant 12:58

Oh là là, le cauchemar !

Intervenant 22:59

Voilà. Et pour ne pas sombrer dans l'absurde total, il devait trouver un moyen de classer ses infinis. Il a été littéralement contraint d'inventer un nouveau langage mathématique juste pour dire « cet infini-là vient avant cet autre infini ». C'est dingue ! Et c'est comme ça qu'il a posé les bases des ensembles totalement ordonnés.

Intervenant 13:18

Attends, c'est incroyable. Il ne cherchait même pas à trier des nombres, il cherchait à trier des infinis. Si on décortique bien ça, c'est un peu comme s'il observait une galaxie entière, avec des étoiles éparpillées partout dans l'univers, des trucs qui fuient dans toutes les directions. Et face à ce vertige pour ne pas devenir fou, il décide soudainement de tracer des lignes invisibles entre ces concepts insaisissables, juste pour tout structurer.

Intervenant 23:42

C'est une excellente métaphore. Créer des constellations rigoureuses. Cantor a dû imposer une structure au chaos de l'infini. D'ailleurs, la petite anecdote, c'est que ses contemporains l'ont un peu pris pour un fou au départ.

Intervenant 13:54

Ah bah je peux comprendre,

Intervenant 23:55

oui. Mais bon, il a posé des fondations tellement solides qu'à sa suite, dans les années 1910, un autre mathématicien allemand, Felix Hausdorff, a pu prendre le relais.

Intervenant 14:05

Et lui, il a fait quoi exactement ?

Intervenant 24:07

Hausdorff, il n'a pas seulement consolidé cette théorie. Il a aussi regardé des ensembles où tout n'était pas parfaitement ordonné, et il a cherché à y trouver les plus longues structures logiques possibles, ce qu'on appelle des chaînes maximales. Et c'est grâce à ces deux esprits que la notion d'ordre a fini par infiltrer absolument toute la mathématique, l'algèbre pur, la géométrie et même l'informatique théorique naissante.

Intervenant 14:29

Ce qui m'amène à une question assez fondamentale en fait, parce qu'il y a un vrai décalage entre le langage courant et la science. Dans la vraie vie, on ouvre un dictionnaire pour définir le mot ordre, on lit, je sais pas, disposition régulière.

Intervenant 24:41

Ouais, c'est souvent très vague.

Intervenant 14:43

Voilà. Mais les maths ne se contentent pas de mots descriptifs. Ah, alors là, on entre dans la salle des machines. Je suis prête.

Intervenant 25:04

Pour définir rigoureusement ce qu'on appelle une relation binaire d'ordre au sein d'un groupe d'objets qu'on va appeler un ensemble P, il faut établir un pont entre ces objets. Une relation binaire, qu'on note souvent avec un grand R, c'est simplement une règle qui permet de lier deux éléments entre eux. Mais attention, pour que cette relation mérite le titre prestigieux de relation d'ordre, elle doit obéir impérativement à trois propriétés strictes, trois piliers fondamentaux.

Intervenant 15:32

Trois piliers, c'est noté.

Intervenant 25:33

Et si un seul pilier manque, tout l'édifice s'effondre et ce n'est plus un ordre.

Intervenant 15:38

D'accord. Donc on a un ensemble rempli d'éléments, une règle, la relation, R pour les comparer. C'est quoi le tout premier pilier de cet édifice ?

Intervenant 25:47

Le premier pilier, c'est que la relation doit être réflexive.

Intervenant 15:51

Réflexive.

Intervenant 25:52

Ouais, le terme fait un peu technique, mais le concept c'est la base même de la logique. Ça veut dire que tout élément de notre ensemble doit être en relation avec lui-même. En langage formel, on dit qu'on a toujours X est en relation avec X dès lors que l'élément X existe.

Intervenant 16:09

D'accord, c'est le principe d'identité en somme. Pour pouvoir être classé dans un système, il faut d'abord exister par rapport à soi-même.

Intervenant 26:16

C'est exactement ça.

Intervenant 16:17

Si la règle c'est, par exemple, inférieur ou égal. Un nombre est toujours égal à lui-même, donc il valide la condition.

Intervenant 26:23

C'est une base très saine.

Intervenant 16:25

Bon, et le deuxième pilier alors ?

Intervenant 26:27

Le deuxième pilier est beaucoup plus contraignant. C'est l'antisymétrie.

Intervenant 16:30

Antisymétrie, ok.

Intervenant 26:32

C'est la propriété qui donne une véritable direction à notre classement. Elle stipule que si un élément x est en relation avec un élément y, et que de manière simultanée y est en relation avec x, alors la seule explication mathématiquement acceptable, c'est que x et y sont en réalité une seule et même chose. Ils sont identiques.

Intervenant 16:54

Ah oui, c'est le pilier qui empêche les boucles infinies. Genre, si on imagine un système hiérarchique en entreprise, on ne peut pas avoir une personne A qui est le patron de B, et en même temps B qui est le patron de A.

Intervenant 27:05

Ben non, ça n'aurait aucun sens.

Intervenant 17:07

Sauf s'il s'agit de la même personne. C'est vraiment ce qui empêche le système de tourner en rond de manière absurde.

Intervenant 27:12

Exactement. Ça force le système à aller de l'avant. Et enfin, le troisième pilier vient achever la structure. C'est la transitivité.

Intervenant 17:20

Ah, ça me dit quelque chose, ça.

Intervenant 27:22

Si X est en relation avec Y, et que Y sert de relais en étant en relation avec un troisième élément, Z, alors obligatoirement, le premier élément X est en relation avec Z.

Intervenant 17:34

Ah bah oui, ça me fait penser aux fameux adages sociales « Les amis de mes amis sont mes amis ».