Nombres transcendants : comment Cantor révèle leur majorité

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on va plonger dans une exploration profonde absolument fascinante.

Intervenant 20:09

Absolument, je suis ravie d'être là pour aborder

Intervenant 10:11

ça. Parce que si on prend un nombre, genre totalement au hasard, dans l'univers infini des mathématiques, il y a littéralement 100% de chances que ce nombre soit un monstre absolu.

Intervenant 20:21

C'est ça, une entité chaotique, impossible à écrire ou à capturer avec nos équations classiques.

Intervenant 10:27

C'est dingue quand on y pense. Notre mission aujourd'hui, c'est vraiment de faire ce voyage aux frontières de la raison mathématique. On va traquer ces créatures invisibles qui refusent de se plier à la moindre règle algébrique. Ce qu'on appelle les nombres transcendants.

Intervenant 20:41

Et c'est un terme qui sonne presque comme de la théologie. Mais pourtant, c'est de la logique pure. En fait, ce sont des nombres qui ont longtemps existé comme des espèces de spectres.

Intervenant 10:50

Des fantômes mathématiques, quoi.

Intervenant 20:52

Ouais, exactement. On devinait leur présence dans l'ombre, mais il a fallu des décennies, voire des siècles d'acharnement pour réussir à en attraper un seul et prouver qu'il existait vraiment.

Intervenant 11:02

Ok, décortiquons un peu tout ça. Parce que, avant de parler de transcendance, il faut déjà comprendre le premier pas hors des sentiers battus, le moment où on a réalisé que les simples fractions, ça ne suffisait pas à décrire le monde.

Intervenant 21:15

L'irrationalité. C'est vraiment le point départ incontournable. Historiquement, le premier grand choc remonte à l'Antiquité grecque, avec la fameuse diagonale du carré.

Intervenant 11:24

Ah oui, le classique.

Intervenant 21:25

Voilà. Si on a un carré dont les côtés mesurent très exactement un mètre, la longueur de sa diagonale, c'est la racine carrée de 2. L'intuition nous dicte qu'en divisant un mètre en unités suffisamment minuscules,

Intervenant 11:37

on finira bien par tomber pile dessus.

Intervenant 21:39

C'est ça. On se dit qu'on trouvera une fraction qui correspond exactement à cette longueur.

Intervenant 11:43

Mais c'est là que le piège se referme. Parce que, peu importe la finesse de la règle ou du quadrillage qu'on superpose, la diagonale passera toujours indéfiniment entre les mailles.

Intervenant 21:55

Tout à fait.

Intervenant 11:55

Elle s'alignera jamais sur un ratio parfait d'entier. C'est comme essayer de mesurer un objet avec une règle dont les graduations glissent tout le temps.

Intervenant 22:03

C'est une super analogie. Et ça, c'est l'irrationalité classique. Au XVIIIe siècle, ce concept est acquis pour les racines carrées. Mais le défi s'était déplacé vers des nombres beaucoup plus étranges.

Intervenant 12:15

Plus étrange que des racines ?

Intervenant 22:16

Oui, et c'est là qu'intervient Léonard Euler en 1737. Il publie un ouvrage fondamental sur les fractions continues, De Fractionibus Continuis.

Intervenant 12:26

D'accord.

Intervenant 22:26

Et Euler, il veut tester la nature de son nombre fétiche, le nombre E, la base du logarithme népérien.

Intervenant 12:33

Ce fameux taux de croissance continue qu'on retrouve absolument partout en physique, c'est ça ?

Intervenant 22:37

Exactement. Il veut savoir si E est une fraction super bien cachée ou un vrai nombre irrationnel.

Intervenant 12:44

Et du coup, comment ces fractions continues permettent de répondre à ça ? Parce que ça a l'air d'être un outil assez lourd à manipuler, non ?

Intervenant 22:50

En fait, c'est un algorithme de détection redoutable. Le principe, c'est d'extraire la partie entière d'un nombre, ensuite on prend le reste, on l'inverse, on extrait la partie entière de ça, et on recommence.

Intervenant 13:01

Ok, donc on fait des poupées russes de fractions.

Intervenant 23:03

C'est exactement l'idée. Et si le nombre de départ est une simple fraction, ce processus en cascade finit obligatoirement par s'arrêter.

Intervenant 13:10

On tombe sur un zéro.

Intervenant 23:11

Voilà. Mais Euler démontre que pour le nombre E, ce développement ne s'arrête jamais. Pire que ça, il forme une séquence infinie, mais parfaitement prévisible.

Intervenant 13:22

Wow.

Intervenant 23:23

L'algorithme tourne en boucle pour l'éternité, ce qui prouve de manière irréfutable que E ne peut pas s'écrire comme le ratio de deux nombres entiers. C'est bel et bien irrationnel.

Intervenant 13:33

Donc Euler repousse vraiment les limites là. Et quelques décennies plus tard, je crois que c'est en 1765, il y a Johann Marber qui s'y met aussi.

Intervenant 23:41

Ouais, Johann Lambert à l'Académie de Berlin. Il s'inspire directement des méthodes d'Euler.

Intervenant 13:45

Et lui, il s'attaque à d'autres monstres. Il prouve que si on prend un nombre rationnel, l'exponentielle ou la tangente de ce nombre sera irrationnelle. Et surtout, la consécration y règle son compte à Pi.

Intervenant 23:58

Le fameux Pi, oui.

Intervenant 13:59

Mais là, j'avoue que j'ai une petite confusion. Pourquoi est-ce que prouver l'irrationalité de Pi, ça a fait un tel bruit à l'époque ? Enfin, je veux dire, si on savait déjà que la racine carrée de 2 était irrationnelle, rajouter Pi à la liste, ça ne semble pas être un bon conceptuel si immense, si...

Intervenant 24:16

C'est une excellente remarque. En fait, la différence, elle réside vraiment dans l'origine de ces nombres.

Intervenant 14:21

Comment ça ?

Intervenant 24:22

La racine de 2, c'est la solution d'une équation super simple. x²-2 égale 0. Ouais, c'est

Intervenant 14:27

basique.

Intervenant 24:28

Voilà, c'est un nombre irrationnel, certes, mais il est, disons, docile, il obéit à l'algèbre élémentaire. Alors que pi ou e, en revanche, n'apparaissent pas naturellement comme les solutions de petites équations algébriques.

Intervenant 14:41

Ah je vois, ils surgissent d'ailleurs.

Intervenant 24:44

C'est ça, ils surgissent de la géométrie continue, des cercles, de la dynamique de croissance. Prouver qu'ils sont irrationnels, ce n'était vraiment que la toute première étape pour révéler leur véritable nature, une nature bien plus exotique.

Intervenant 14:58

Ce qui nous amène directement à l'intuition d'Euler en 1744. Une intuition qui sera formalisée plus tard par Adrien-Marie Legendre.

Intervenant 25:06

Oui, parce qu'on sait que ces nombres ne sont pas des fractions. Mais la nouvelle question devient...

Intervenant 15:11

Est-ce qu'il pourrait au moins être la solution d'une équation polynomiale ?

Intervenant 25:14

Exactement. Un polynôme classique, genre avec des puissances, des additions et des coefficients strictement entiers.

Intervenant 15:20

Et ça, c'est la ligne de fracture définitive. Le gendre, motivé notamment par le vieux problème de la quadrature du cercle, décide de séparer l'univers des nombres en deux territoires bien distincts. Les fractions, les racines carrées, les racines cubiques, tout ça va dans ce tiroir.

Intervenant 25:35

Tout à fait, et de l'autre côté de la frontière, Legendre pose l'existence de nombres transcendants, des nombres qui transcendent complètement l'algèbre.

Intervenant 15:45

Qui ne seront jamais, au grand jamais, la solution d'une équation polynomiale à coefficient entier.

Intervenant 25:50

C'est la définition même, et il postule par pure intuition géométrique que Pi doit obligatoirement se trouver dans ce territoire inexploré.

Intervenant 15:58

Attendez, c'est très drôle quand on y pense. Donc, Legendre invente cette frontière. Il crée un club VIP ultra-sélect pour des nombres soi-disant transcendants. Mais là, ça allait complètement vide au moment où il l'annonce, non ? Ah bah

Intervenant 26:09

complètement vide,

Intervenant 16:10

oui. Il dresse le portrait robot d'une créature mathématique qu'il n'a littéralement jamais croisée. Et il n'a aucun membre à présenter à l'entrée du club.