Nombres réels : deux constructions pour une droite sans trous

Intervenant 10:00

Traçons une ligne sur une feuille de papier. Notre œil nous affirme qu'elle est continue, parfaite, ininterrompue.

Intervenant 20:07

Ouais, ça paraît être l'évidence même !

Intervenant 10:09

Exactement. Pourtant, au XIXe siècle, les plus brillants esprits mathématiques ont réalisé avec effroi que cette ligne, la base même de leur science, était potentiellement remplie de trous.

Intervenant 20:21

Et c'est un sacré vertige quand on y pense !

Intervenant 10:23

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Bienvenue à toutes les personnes qui nous écoutent pour cette nouvelle exploration au cœur des mathématiques.

Intervenant 20:31

Je suis ravi d'être là pour cette plongée.

Intervenant 10:33

Aujourd'hui, notre mission, c'est de comprendre un moment de bascule absolument fascinant. On va décortiquer comment, face à ce vide vertigineux, les mathématiciens ont dû mener une bataille acharnée contre leur propre intuition visuelle.

Intervenant 20:47

Une vraie bataille, oui. Tout ça pour réussir à définir de la manière la plus rigoureuse possible la droite des nombres et le concept de continuité.

Intervenant 10:56

Et pour nous guider, on s'appuie sur un excellent article de référence de Tangente qui s'intitule « La droite des nombres, des définitions contre l'intuition ».

Intervenant 21:06

Et c'est un texte qui brise vraiment une illusion tenace.

Intervenant 11:10

Ah oui, complètement. Parce que quand on pense aux mathématiques, on imagine souvent un édifice parfait, figé depuis l'Antiquité, avec chaque concept gravé dans le marbre.

Intervenant 21:19

Alors que la réalité historique, surtout avant l'année 1872, le tableau est beaucoup plus chaotique que ça.

Intervenant 11:25

C'est ce qui m'a le plus surprise. L'élite scientifique mondiale manipule des nombres irrationnels tous les jours, mais sans véritable définition générale de ces objets. Comment on peut faire des maths complexes pendant des siècles sans savoir de quoi est faite notre matière première ?

Intervenant 21:40

Eh bien, en fait, avant 1872, les mathématiciens se remettaient presque aveuglement à l'intuition géométrique.

Intervenant 11:48

Au visuel, quoi.

Intervenant 21:49

Voilà. On parlait vaguement de grandeur. Les définitions, elles se faisaient au cas par tard. C'était presque de l'artisanat.

Intervenant 11:54

Donc pas de règles universelles.

Intervenant 21:56

Non, pas du tout. On acceptait les irrationnels algébriques, comme la racine carrée de 2, par exemple.

Intervenant 12:01

Parce qu'on peut la dessiner avec un triangle et un rectangle, c'est ça ?

Intervenant 22:03

Exactement. C'est exactement ça. Et on essayait d'approximer des nombres transcendants comme π. Mais si tu cherches une définition arithmétique universelle de ce qu'est un nombre irrationnel à la base, ça n'existait tout simplement pas.

Intervenant 12:15

On postulait juste que chaque point d'une ligne dessinée correspondait à un nombre.

Intervenant 22:19

Voilà, on supposait que la ligne était pleine.

Intervenant 12:21

C'est quand même sidérant, je veux dire, on parle de génies comme Euler, Newton, Gauss. Les mecs ont calculé des trajectoires planétaires, ils ont inventé le calcul infinitésimal.

Intervenant 22:32

L'analyse mathématique tout entière, ouais.

Intervenant 12:34

Et ils faisaient tout ça sans définition stricte des nombres mêmes. Sauf que, bon, cette confiance aveugle en l'intuition visuelle, en mathématiques, c'est un peu un piège à retardement.

Intervenant 22:43

Et ce piège menaçait de se refermer sur toute la discipline. Surtout dans le domaine hypersensible de l'analyse et de la convergence des suites.

Intervenant 12:49

D'accord, décortiquons un peu tout ça. Une suite, concrètement, c'est quoi le risque ?

Intervenant 22:55

Prenons une suite infinie de nombres rationnels, donc des fractions parfaitement définies. Imaginons que les termes de cette suite se rapprochent de plus en plus au fur et à mesure qu'on avance vers l'infini.

Intervenant 13:06

Jusqu'à converger vers une limite.

Intervenant 23:09

Voilà. Sauf que le problème logique majeur, c'est si cette fameuse limite n'est pas elle-même un nombre rationnel.

Intervenant 13:16

Ah, si elles pointent vers un truc qu'on n'a pas défini.

Intervenant 23:19

Exactement. Sans définition formelle de l'irrationnel pour l'accueillir, vers quoi tend cette suite en fait ?

Intervenant 13:26

Elles pointent vers le vide ?

Intervenant 23:27

Vers une absence totale d'existence mathématique.

Intervenant 13:30

Du coup, c'est un peu comme si l'analyse mathématique de l'époque, c'était un immense gratte-ciel qu'on construisait sur des fondations en gruyère ?

Intervenant 23:38

En gruyère, oui, j'aime bien l'image.

Intervenant 13:40

Que les poutres maîtressent, tu sais, nos suites de rationnels, tant qu'elles reposent sur les parties pleines du fromage, tout va bien.

Intervenant 23:46

C'est solide.

Intervenant 13:47

Mais si toute la logique d'une suite pointe exactement vers un des trous du gruyère, la poutre tombe dans le vide et tout s'effondre.

Intervenant 23:54

Ce qui est fascinant ici, c'est que cette métaphore illustre vraiment l'angoisse structurelle de l'époque. S'il y a des trous formels sur la droite des nombres, comment on justifie l'ordre des grandeurs ?

Intervenant 14:03

On ne peut

Intervenant 24:04

plus. Le calcul différentiel, qui repose sur l'infiniment petit, sur l'idée de parcourir une ligne sans faire de saut, il perd toute sa base logique.

Intervenant 14:12

C'était une vraie crise existentielle pour l'arithmétique, quoi.

Intervenant 24:15

Comment tu définis l'addition ou la soustraction sur des entités qui ne sont que des ombres géométriques qui n'existent pas formellement ?

Intervenant 14:21

Il fallait donc impérativement colmater ces brèches. Et face à ce vide béant, on pourrait penser que la solution allait émerger des grandes universités allemandes.

Intervenant 24:32

Celles qui dominaient complètement les maths à l'époque, oui.

Intervenant 14:34

Eh bien non. La première tentative sérieuse, elle vient de France, en 1869. Mais, parce qu'il y a un mais, son destin a été particulièrement frustrant.

Intervenant 24:45

Dans ses écrits, il ne va pas de main morte. Il qualifie l'analyse de son temps de, je cite, « pitoyable ».