Théorie des ensembles : les paradoxes qui ont imposé des axiomes

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Imaginons un instant une partie de chaise musicale.

Intervenant 20:07

Ah, la fameuse angoisse de la chaise manquante ?

Intervenant 10:09

Ouais, mais là c'est pas n'importe laquelle. C'est une partie avec une rangée infinie de chaises, et elles sont occupées par une infinité de personnes. La musique s'arrête et bam, on retire la toute première chaise.

Intervenant 20:20

Le bon sens voudrait que la personne au début se retrouve debout, c'est la loi de notre monde physique, fini quoi.

Intervenant 10:26

C'est ça. Sauf que là, on est dans le monde vertigineux des mathématiques. La personne qui a perdu sa place, elle se décale simplement sur la chaise numéro 2.

Intervenant 20:34

Et le locateur de la 2 passe sur la 3, et ainsi de suite.

Intervenant 10:37

Exactement. Tout le monde se décale d'un cran et à la fin, miracle, tout le monde est assis. Il manque une chaise, mais personne n'est debout. Et c'est de ça qu'on va parler aujourd'hui dans notre grande plongée.

Intervenant 20:48

Une plongée qui ne consistera pas à dessiner des patates et des flèches au tableau, je précise.

Intervenant 10:53

Ah non, carrément pas. On part pour l'exploration la plus folle de l'esprit humain, la conquête mathématique de l'infini.

Intervenant 21:01

C'est vraiment la mission cette exploration, comprendre comment les mathématiciens ont essayé de dompter ce truc insaisissable. Ce qui est fascinant ici, c'est que ça a failli détruire les mathématiques. Rien que ça. Oui, littéralement. L'infini est passé d'un concept philosophique très flou à un objet mathématique concret, mais avec des mystères qui restent, encore aujourd'hui, totalement irrésolus.

Intervenant 11:24

Mais pour bien comprendre ça, il faut réaliser que pendant super longtemps, l'infini, ça faisait peur, non ?

Intervenant 21:29

Oh, une terreur absolue. Dans l'Antiquité, les Grecs s'y refusaient catégoriquement. Pour eux, l'infini, c'était juste un potentiel inatteignable.

Intervenant 11:37

Genre l'horizon qui recule quand on avance. On sait qu'on peut toujours faire plus un, mais on ne peut pas tout prendre d'un coup.

Intervenant 21:44

Exactement. C'était jamais une chose en soi. Il a fallu attendre des pionniers de dingue comme Gallier, Leibniz ou Bolzano. Puis Riemann pour qu'on commence à accepter l'idée d'un infini actuel.

Intervenant 11:55

Actuel. C'est-à-dire qu'il est là, posé sur la table comme un vrai objet.

Intervenant 21:59

Voilà. Pas juste un potentiel. Et le grand tournant, c'est au XIXe siècle, avec Richard Dedeckind. C'est lui qui va donner la première définition rigoureuse.

Intervenant 12:07

Et c'est là qu'on revient à mes chaises musicales.

Intervenant 22:09

Tout à fait. Dedeckind dit qu'un ensemble est infini si, et seulement si, on peut trouver une bijection, une correspondance parfaite, entre cet ensemble total et une partie strictement plus petite de lui-même.

Intervenant 12:20

C'est complètement contre-intuitif. Le tout est censé être plus grand que la partie.

Intervenant 22:24

Pas dans l'infini. Prends les nombres entiers. 0, 1, 2, 3, etc. Si tu retires le 0, il te reste 1, 2, 3, 4.

Intervenant 12:33

Donc une partie plus petite.

Intervenant 22:35

Dans un monde fini, oui. Mais là, Dédé Kant relie le 0 au 1, le 1 au 2, le 2 au 3. Chaque nombre a un partenaire unique. La partie est donc aussi grande que le tout.

Intervenant 12:48

C'est vertigineux. Mais du coup, une fois qu'on a défini ça, la question qui vient tout de suite, c'est de savoir si on peut le mesurer ce truc.

Intervenant 22:54

Ah mais, c'est la suite logique. Et c'est là que les choses deviennent complètement folles avec George Cantor, dans les années 1870. Lui, il

Intervenant 13:02

s'attaque à la taille des infinues.

Intervenant 23:03

Ouais, la cardinalité. Cantor prouve un premier truc dingue. Il dit que les entiers ont la même taille que les fractions. Il appelle ça Aleph-Zéro.

Intervenant 13:12

Attends, d'accord, décortiquons ça un instant, parce que mon cerveau bug. Entre le zéro et un entier, il n'y a rien, c'est vide. Mais entre zéro et un, il y a une infinité de fractions. Un demi, un quart, un dixième. Comment les fractions peuvent avoir la même taille que les entiers ?

Intervenant 23:30

C'est le paradoxe apparent. Mais Cantor a une astuce géniale. Une méthode de comptage. La fameuse numération en zigzag.

Intervenant 13:38

Le lacet.

Intervenant 23:39

Voilà. Si tu essaies de compter les fractions en ligne droite, tu finiras jamais la première ligne. Alors il imagine un tableau infini avec toutes les fractions, et au lieu de lire en ligne, il trace une diagonale.

Intervenant 13:50

Genre un essuie-glace géant qui balaie le tableau infini.

Intervenant 23:54

C'est exactement l'image. Le 1 est associé à 1 sur 1. Puis l'essuie-glace glisse, le 2 va avec 2 sur 1, le 3 avec un demi, le 4 avec un tiers.

Intervenant 14:04

Et en zigzagant comme ça, il est sûr de n'en oublier aucune.