Mesure de Lebesgue : peut-on choisir un point au hasard ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. C'est un véritable plaisir de vous retrouver pour une nouvelle exploration aujourd'hui. Je suis très content d'animer cette discussion qui s'annonce, disons-le, assez vertigineuse.

Intervenant 20:13

Bonjour à tous. Oui, je suis ravie d'être là aussi. On a un programme chargé, mais vraiment passionnant.

Intervenant 10:20

Absolument. Alors, pour démarrer, on va faire une petite expérience de pensée. Imaginons une situation très concrète, d'accord ? Je vous écoute. Bon, on prend une aiguille. Une aiguille parfaitement fine. On ferme les yeux et hop, on la lâche au-dessus d'une règle graduée. La règle classique en plastique qu'on a tous eue à l'école

Intervenant 20:38

quoi. D'accord, l'image est claire.

Intervenant 10:41

Quelles sont les chances pour que la pointe de cette aiguille atterrisse très exactement, mais vraiment au micron près à l'échelle des atomes, sur la graduation exacte des 5

Intervenant 20:50

cm ? Statistiquement parlant, la probabilité est de zéro. C'est mathématiquement impossible de viser ce point ultra précis par pur hasard.

Intervenant 11:01

C'est ça, zéro. Et pourtant, et c'est là que le cerveau bug un peu, notre aiguille doit bien atterrir quelque part sur cette règle.

Intervenant 21:07

Exactement, elle touche forcément un point.

Intervenant 11:10

C'est fou quand on y pense. D'habitude, quand on parle de mesurer une distance ou de lancer des dés pour illustrer le hasard, ce sont des notions très rassurantes, presque banales en fait.

Intervenant 21:20

Oui, on a l'impression de maîtriser ces concepts depuis l'enfance.

Intervenant 11:24

Mais voilà, l'article qui nous occupe aujourd'hui, qui s'intitule « La mesure et le hasard », eh bien il fait complètement exploser cette fausse simplicité. L'objectif de notre discussion, c'est de décortiquer ces concepts pour comprendre la profondeur inouïe qu'ils cachent.

Intervenant 21:39

Et c'est là que ça devient intéressant.

Intervenant 11:40

Voilà. Et la question fondatrice du texte, elle rejoint directement notre histoire d'Aiguillet. Est-ce qu'on peut vraiment, mathématiquement parlant, prendre un point au hasard sur un segment ? Et concrètement, comment on utilise cette opération ?

Intervenant 21:54

Alors, ce qui est fascinant ici, c'est que pour répondre à une question en apparence aussi triviale, les mathématiciens du début du XXe siècle, avec en première ligne l'illustré Emile Borel, ils ont dû littéralement réinventer la géométrie.

Intervenant 12:07

Rien que

Intervenant 22:07

ça ? Rien que ça, oui. Les outils classiques ne suffisaient plus du tout face à ce genre de paradoxe. Il a fallu repenser la nature même de la ligne droite, de l'espace, et finalement redéfinir ce qu'est une probabilité, au fond.

Intervenant 12:19

C'est tout un univers qui s'ouvre, c'est clair. Mais je propose qu'on ne brûle pas les étapes. On va y aller progressivement. Oui, c'est plus prudent. Parce qu'on ne peut pas mesurer l'abstrait, ni l'infiniment petit, sans avoir d'abord maîtrisé la mesure des objets physiques, tangibles, qui nous entourent. Le texte nous rappelle bien que, pour comprendre cette fameuse révolution du XXe siècle dont vous parlez, il faut remonter un peu le temps.

Intervenant 22:42

C'est ça. Regardez comment l'humanité a commencé à mesurer l'espace, en fait.

Intervenant 12:45

Et le point de départ incontournable, c'est la Grèce antique. Pas juste pour la beauté de l'histoire, mais vraiment pour comprendre la méthode.

Intervenant 22:51

Absolument. L'histoire, elle commence avec les géomètres grecs. Ils s'attaquent déjà à l'époque à des calculs de surface et de volume complexes. Et la figure de Proulx au IIIe siècle avant notre ère, c'est Archimède de Syracuse.

Intervenant 13:03

Archimède, oui.

Intervenant 23:04

Voilà, ils réalisent des prouesses grâce à une technique qu'on appelle la méthode d'exhaustion.

Intervenant 13:08

C'est le premier grand mécanisme mathématique qu'il faut qu'on décortique aujourd'hui. Comment ça fonctionnait, concrètement, cette méthode d'exhaustion ?

Intervenant 23:17

Alors, l'idée d'Archimède, elle est aussi brillante que laborieuse. Supposons qu'on veuille mesurer l'air d'un cercle.

Intervenant 13:24

Ok, on a notre cercle devant nous.

Intervenant 23:26

À l'époque, on ne sait calculer que l'aire de figure droite, comme des carrés, des triangles, des rectangles. Alors Archimède, ce qu'il fait, c'est qu'il inscrit un polygone régulier à l'intérieur du cercle.

Intervenant 13:38

Donc un polygone dont les pointes touchent les bords du cercle de l'intérieur.

Intervenant 23:41

Exactement. Puis il va multiplier le nombre de côtés de ce polygone. Donc de quatre côtés, il passe à 8, puis à 16, puis 64.

Intervenant 13:51

D'accord, je visualise. Plus le polygone a de côté, plus son contour épouse la forme ronde du cercle.

Intervenant 23:57

Voilà. On vient littéralement épuiser l'espace vide entre le polygone et le cercle. C'est de là que vient le nom. Et ça, c'est l'ancêtre direct du calcul infinitésimal.

Intervenant 14:08

C'est super astucieux, mais bon, j'imagine que c'est un travail de titan. C'est génial pour un cercle, mais dès qu'on change de forme, genre si je veux mesurer une parabole ou une espèce de spirale, il faut tout recommencer depuis le début, non ?

Intervenant 24:23

C'est tout le problème, oui. Il faut dessiner de nouveaux polygones adaptés, refaire des pages et des pages de calcul.

Intervenant 14:29

Donc c'est vraiment du sur-mesure pour chaque figure. Ça ne passe pas à l'échelle, c'est pas généralisable.

Intervenant 24:33

Et c'est exactement le mur sur lequel l'Antiquité a buté. Il fallait trouver une méthode universelle. Et c'est là que cette faille va forcer la main de l'Histoire. Mais on fait un grand bond dans le temps, jusqu'au XVIIe siècle, avec deux chercheurs

Intervenant 14:46

d'exception.

Intervenant 24:50

Ils mettent au jour un lien totalement inattendu pour l'époque entre les surfaces et les tangentes.