Losange : du « carré penché » aux pavages

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente.

Intervenant 20:03

Salut Sam, je suis super ravie d'être là pour cette nouvelle exploration.

Intervenant 10:08

Et aujourd'hui, on part pour une immersion vraiment fascinante. On s'attaque à un article qui s'appelle « du rhomb au losange ».

Intervenant 20:15

Un très bel article.

Intervenant 10:16

Et en fait, notre mission du jour, c'est de déconstruire un truc que tout le monde croit connaître sur le bout des doigts, le fameux losange.

Intervenant 20:23

C'est vrai qu'on a l'impression que c'est la forme la plus basique du monde.

Intervenant 10:25

Bah oui, demander à n'importe quel gamin, n'importe quel écolier, de dessiner un losange, la réponse est immédiate. Il trace un carré, il penche un peu la tête et il dessine la figure sur une de ses pointes.

Intervenant 20:36

Et il te dit que c'est un carré penché, voilà.

Intervenant 10:38

C'est ça, c'est genre une réaction presque instinctive. Mais mathématiquement parlant, cette petite inclinaison, elle cache une véritable guerre, une guerre de définition.

Intervenant 20:48

Et une guerre qui dure depuis longtemps en plus.

Intervenant 10:50

Plus de 2000 ans, depuis Euclide en fait. Et on va vite voir que l'orientation d'une figure sur une feuille de papier, c'est juste une illusion ultra-puissante.

Intervenant 20:58

Totalement. Cette illusion visuelle, elle est tenace et elle est universelle en fait. Notre cerveau, il associe toujours la forme à la gravité.

Intervenant 11:06

Ah, la gravité terrestre carrément.

Intervenant 21:08

Mais oui, la gravité qu'on perçoit autour de nous, on imagine toujours le carré sagement posé sur sa base horizontale.

Intervenant 11:14

Ouais, ça fait solide, genre les fondations d'une maison.

Intervenant 21:17

Exactement. C'est synonyme de stabilité. Alors que le losange, à l'inverse, on le voit en équilibre précaire sur sa pointe. Comme, je sais pas, un cerf-volant prêt à décoller ou un diamant suspendu.

Intervenant 11:30

C'est super poétique, mais c'est faux mathématiquement.

Intervenant 21:33

C'est complètement faux. La définition rigoureuse d'un quadrilatère, elle se moque éperdument de la gravité. Ou de l'angle sous lequel tu tournes ton cahier.

Intervenant 11:42

L'essence de la figure ne change pas.

Intervenant 21:44

Voilà. L'essence de la forme réside dans la relation entre ses éléments internes, pas dans son rapport au monde extérieur.

Intervenant 11:52

Bon, décortiquons tout ça. Déjà, si on oublie l'inclinaison, il faut s'intéresser aux mots.

Intervenant 21:58

L'étymologie, oui.

Intervenant 11:59

Le terme originel, qu'on retrouve dans l'article, c'est le « rhomb ». D'où ça vient ce mot étrange, avant de finir dans nos manuels de géométrie abstrates ?

Intervenant 22:07

Bah, ça tire ses racines du grec ancien, le mot « rhombos ». Et le truc fou, c'est que ça ne désignait pas du tout une forme dessinée dans le sable.

Intervenant 12:16

Attends, vraiment ? C'était quoi alors ?

Intervenant 22:18

C'était un objet physique, un objet dynamique. En fait, le romb était un instrument rituel. Une petite planchette de bois, taillée en pointe, qu'on attachait à une cordelette.

Intervenant 12:28

Ok. Et on en faisait quoi de cette planchette ?

Intervenant 22:30

On la faisait tournoyer frénétiquement dans les airs, au-dessus de la tête. Et ça produisait un bourdonnement sourd, un son presque magique.

Intervenant 12:37

Ah ouais, un instrument à vent en

Intervenant 22:39

gros ? C'est ça. Et en tournoyant, cet objet dessinait visuellement cette fameuse forme profilée dans l'espace.

Intervenant 12:44

C'est fou de réaliser qu'une notion géonétrique aussi… bah… aussi statique aujourd'hui, elle prenne racine dans un mouvement rotatif. Ce

Intervenant 22:50

qui est fascinant ici, c'est que la science contemporaine a d'ailleurs conservé cet héritage.

Intervenant 12:54

Avec quel mot ?

Intervenant 22:55

Avec l'adjectif « rhombique ». C'est un terme indispensable aujourd'hui en cristallographie, tu sais, pour décrire les mailles microscopiques de certains minéraux.

Intervenant 13:03

D'accord, donc on a l'origine du mot. Mais pourtant, quand on cherche la première vraie tentative de classification stricte de cette figure…

Intervenant 23:11

On tombe inévitablement sur Euclide.

Intervenant 13:13

Voilà, le livre 1 des éléments d'Euclide. Et c'est là que les colliers qui parlent de carré penché trouvent un allié de poids assez inattendu.

Intervenant 23:21

Et pas n'importe quel allié.

Intervenant 13:22

Parce que Euclide, si on se fie à la définition 22, celle traduite par le chercheur Bernard Wittrach, il est d'une rigidité absolue.

Intervenant 23:30

Oui, la géométrie antique, ça fonctionnait par compartimentage strict. C'était très influencé par des idéaux pureté.

Intervenant 13:35

Chaque forme dans sa case.

Intervenant 23:37

Exactement. Dans cette fameuse définition, Euclide commence par le carré. Il dit que c'est la figure qui est à la fois équilatérale.

Intervenant 13:46

Donc les quatre côtés de même longueur.

Intervenant 23:48

Oui. équilatéral et rectangle, c'est-à-dire doté de quatre angles droits. Ensuite, il définit l'oblongue.

Intervenant 13:57

Ce qu'on appelle, nous, le rectangle, du

Intervenant 23:59

coup ? C'est ça. Il a les angles droits, mais ses côtés sont inégaux. Et enfin, il arrive à notre fameux losange.

Intervenant 14:05

Et alors, le verdict de Clyde ?

Intervenant 24:07

Pour lui, le losange est la figure qui est équilatérale, mais, et je le cite, « non rectangle ».

Intervenant 14:15

Non rectangle. Donc l'adverbe de négation est carrément au cœur de son identité.

Intervenant 24:21

C'est ça. S'il a des angles droits, ce n'est pas un losange pour Euclide.

Intervenant 14:25

C'est fou. C'est comme si, enfin, c'est l'analogie classique du physionomiste à l'entrée d'une boîte de nuit géométrique ultra-sélect, tu vois.

Intervenant 24:32

Ah oui, le club des losanges.

Intervenant 14:34

Voilà, le carré se présente à la porte, avec ses quatre côtés égaux, et le videur, Euclide, lui barre la route en disant « désolé mec, tes angles sont trop parfaits, tu es beaucoup trop droit pour entrer ».

Intervenant 24:47

C'est tout à fait ça.

Intervenant 14:48

Ici, on exige des angles obliques, on veut du penché. Bref, c'est une méthode de classification super exclusive.

Intervenant 24:55

Selon cette logique antique, un carré n'est donc pas un losange. Point final. Les deux espèces ne se croisent jamais.

Intervenant 15:00

Ce qui est quand même contre-intuitif pour nous aujourd'hui.

Intervenant 25:02

Oui, mais cette exclusivité illustre parfaitement la pensée philosophique de l'époque. Chaque forme devait posséder son propre domaine immuable.

Intervenant 15:10

Mais du coup, comment on en est arrivé à la définition « moderne » ? Parce qu'aujourd'hui, on ne dit plus ça.

Intervenant 25:14

Eh bien, la géométrie moderne, en particulier avec la formalisation de la théorie des ensembles au XIXe et XXe siècle, a totalement renversé cette table.

Intervenant 15:21

C'est-à-dire ?

Intervenant 25:22

Au lieu de séparer les formes par leurs différences, elle a décidé de les grouper par leurs ressemblances.

Intervenant 15:27

Donc on cherche ce qui les rassemble.

Intervenant 25:30

Exactement. La définition contemporaine du losange est devenue redoutable de simplicité. C'est un polygone plat et fermé, possédant quatre côtés de même longueur.

Intervenant 15:39

Et la règle sur les angles ?

Intervenant 25:41

La condition sur la nature des angles a tout bonnement été effacée du contrat. Ah

Intervenant 15:44

ouais ?

Intervenant 25:45

Ce qui veut dire que le carré devient un cas particulier en fait, une sous-catégorie.

Intervenant 15:49

C'est ça, un membre à part entière.

Intervenant 25:51

C'est un losange qui a eu le privilège de s'offrir quatre angles droits, en plus de ses côtés égaux. Il a obtenu un statut VIP au sein même du club des losanges.

Intervenant 16:00

Et c'est un changement majeur. Mais concrètement, pourquoi les mathématiciens ont opéré ce changement de paradigme ? Je veux dire, en quoi cette philosophie de l'inclusion est plus efficace pour la science ?

Intervenant 26:11

L'inclusion, ça permet un mécanisme fondamental en mathématiques. L'héritage des propriétés.

Intervenant 16:17

L'héritage, d'accord.

Intervenant 26:19

Si le carré est officiellement reconnu comme un membre de la famille des losanges, alors absolument tous les théorèmes et toutes les formules que nous allons découvrir sur le losange s'appliqueront automatiquement…

Intervenant 16:30

Ah, au carré aussi !

Intervenant 26:31

Oui, et sans aucun effort supplémentaire. Pas besoin de redémontrer quoi que ce soit,

Intervenant 16:36

C'est une économie de pensée magistrale, ça.

Intervenant 26:38

C'est le mot. Ça permet de bâtir des édifices conceptuels immenses sur des fondations très simples.

Intervenant 16:43

Et justement, puisqu'on parle des théorèmes qui s'appliquent, regardons ce qui fait l'ADN profond de ce quadrilatère.

Intervenant 26:49

Très bien, on rentre dans le vif du sujet.

Intervenant 16:51

Si on dessine mentalement un losange ABCD. Bon, on a bien nos quatre arêtes égales. Mais j'ai l'impression que le vrai secret de la figure,