Aire d’un quadrilatère : pourquoi quatre côtés ne suffisent pas

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente.

Intervenant 20:02

Bonjour et merci pour cet accueil super dynamique.

Intervenant 10:05

Bah écoutez, je suis ravie de plonger dans ce sujet aujourd'hui, parce qu'on va aborder une histoire qui risque de complètement renverser la vision que notre auditoire a des mathématiques. On va parler d'un simple problème de géomiquerie, calculer l'air d'un polygone à quatre côtés.

Intervenant 20:19

Ça a l'air basique dit comme ça ?

Intervenant 10:21

Ouais, on se dit, calculer la taille d'un champ, c'est facile. Mais en fait, ça a pris des millénaires. Ça a provoqué des querelles d'experts, des arnaques fiscales monumentales et des malentendus à cause de poèmes en sanscrit. Et ça a fait voyager les mâtres de l'Égypte antique jusqu'à l'Allemagne du XIXe siècle.

Intervenant 20:39

C'est exactement ça. Et toute cette exploration, on l'a fait en s'appuyant sur un article vraiment fascinant du magazine Tangente qui s'intitule « Des quadrilatères qui ne manquent pas d'air ».

Intervenant 10:49

Super titre, en passant.

Intervenant 20:51

N'est-ce pas ? Et l'objectif de notre discussion, c'est vraiment de décortiquer cette évolution historique. On veut montrer la beauté, la rigueur et même le cousinage incroyable des formules mathématiques entre elles. Et je promets que les néophytes, comme les matheux aguerris, vont avoir des révélations.

Intervenant 11:07

Absolument. Tout le monde est le bienvenu dans ce voyage. Alors, on remonte le temps. Et on ne commence pas avec de vieux sages grecs qui font des dessins dans le sable. Non, on démarre avec quelque chose de beaucoup plus terre-à-terre, les impôts.

Intervenant 21:21

Et oui, les impôts. En fait, c'est l'historien grec Hérodote qui disait que la géométrie est née en Égypte pour des raisons purement fiscales. Même si, bon, l'astronomie et l'architecture ont aussi joué un rôle, bien sûr.

Intervenant 11:34

Bien sûr.

Intervenant 21:34

Mais le moteur principal, c'était le Nil, le fleuve. Il faut s'imaginer la scène. Chaque année, le Nil entre en crue. L'eau inonde toute la vallée pour déposer un limon très fertile.

Intervenant 11:46

Super pour l'agriculture du

Intervenant 21:48

coup ? Vitale pour l'agriculture. Mais le gros problème, c'est que quand l'eau se retire, elle a purement et simplement effacé toutes les frontières entre les parcelles de terre.

Intervenant 11:57

L'enfer administratif quoi. Plus personne ne sait où s'arrête son champ et où commence celui du voisin.

Intervenant 22:02

C'est ça. Et l'administration du pharaon devait récolter les impôts, qui étaient strictement proportionnels à la surface cultivable. Donc il fallait recalculer les surfaces agricoles pour ne pas léser les propriétés, ou plutôt pour ne pas léser le pharaon sur les impôts.

Intervenant 12:17

D'accord, donc on envoie les arpenteurs. Et dans l'article, on mentionne que ces Égyptiens maîtrisaient parfaitement le triangle ou le rectangle. On a d'ailleurs une preuve archéologique de ça, non ?

Intervenant 22:27

Tout à fait. Le fameux papyrus rind. C'est un document qui prouve qu'il gérait très bien les formes simples. Mais le souci, c'est que la nature, ça pousse rarement en angle droit parfait.

Intervenant 12:36

C'est clair.

Intervenant 22:37

Du coup, les arpenteurs séchaient un peu sur les champs aux formes irrégulières à quatre côtés, les quadrilatères quelconques.

Intervenant 12:42

Et c'est là qu'ils sortent leur fameuse fausse bonne idée, la formule des arpenteurs. C'était quoi exactement ?

Intervenant 22:48

C'était une méthode qu'on a d'ailleurs aussi retrouvée chez les babyloniens. Très pragmatique. En gros, ils prenaient la longueur des côtés opposés et ils en faisaient la moyenne.

Intervenant 12:56

Ok, donc si on a les côtés A, B, C et D...

Intervenant 22:59

Voilà. L'air, selon eux, c'était la moyenne du côté A et du côté C multipliée par la moyenne du côté B et du côté D.

Intervenant 13:10

Attendez, laissez-moi visualiser ça. Si on fait la moyenne des côtés opposés, ça revient à faire semblant que le terrain est un rectangle parfait.

Intervenant 23:18

Exactement.

Intervenant 13:19

Mais c'est absurde. C'est comme si j'avais une de ces vieilles boîtes en carton de déménagement complètement écrasée et de guingois, et je sais de la forcer en tirant sur les coins pour en faire un beau rectangle.

Intervenant 23:30

C'est une super métaphore. Vous rectifiez la forme, mais la réalité mathématique, c'est que ça ne marche pas.

Intervenant 13:37

Attendez, je me pose une question cruelle. Cette formule est fausse pour la plupart des terrains, on est d'accord. Est-ce que les paysans égyptiens se faisaient arnaquer sur leurs impôts sans s'en rendre compte ?

Intervenant 23:47

Eh bien, mathématiquement parlant, oui. Un grand oui. Parce que cette formule ne donne une aire exacte que pour les vrais rectangles. Pour tous les autres terrains, ceux qui sont déformés, la formule va systématiquement surestimer la surface réelle.

Intervenant 14:00

Oh la vache.

Intervenant 24:01

Donc oui, le paysan payait plus d'impôts qu'il ne le devait. C'était génial pour le trésor royal, mais c'était une méthode géométriquement fausse. Il a fallu attendre l'ère des Grecs pour ramener un peu de rigueur dans tout ça.

Intervenant 14:12

Ah, l'ère des Grecs. Là, on arrive au IIIe siècle avant Jésus-Christ, c'est ça ?

Intervenant 24:17

C'est ça. Et la figure centrale ici, c'est Euclide. Lui, il pose les bases de la rigueur absolue avec son ouvrage Les éléments. Il ne s'intéresse pas aux impôts, lui. Il parle de quadrature.

Intervenant 14:27

La quadrature, c'est quoi concrètement ?