Aire d’un triangle : le calcul sans hauteur de Héron

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on se lance dans une exploration géométrique assez fascinante et je suis ravi de partager ce moment avec toi.

Intervenant 20:11

Salut Sam ! Écoute, je suis ravie aussi. On a un sacré programme pour cette plongée dans l'histoire des maths.

Intervenant 10:16

Carrément. On s'appuie sur un article super intéressant qui s'appelle « Une formule de haut vol ». Et pour bien poser le décor, prenons une situation hyper concrète. Faisons un saut dans le temps.

Intervenant 20:28

D'accord, je te suis. On va où ?

Intervenant 10:30

On va dans l'Antiquité. Prenons l'exemple d'un arpenteur qui se retrouve face à un grand terrain agricole en forme de triangle. Le Nil vient de déborder, il y a une crue, et le sol est recouvert d'une boue épaisse. Le genre de marécage complètement

Intervenant 20:42

impraticable.

Intervenant 10:44

C'est ça. Sauf que cet arpenteur, il a une mission. Il doit calculer la surface exacte de ce champ pour des questions d'impôts. Et il a des cordes pour mesurer les bords secs du terrain. Mais c'est physiquement impossible pour lui de traverser la boue pour aller au centre.

Intervenant 21:00

Et en fait, c'est là que réside un paradoxe géométrique majeur. Parce que la géométrie élémentaire démontre très clairement que le triangle, c'est une figure parfaitement rigide.

Intervenant 11:10

Contrairement à un carré, par exemple.

Intervenant 21:11

Exactement. Si on assemble quatre morceaux de bois pour faire un quadrilatère, la figure peut se déformer, elle peut s'aplatir et devenir un losange. Mais si on cloue trois morceaux de bois ensemble, le triangle qu'on obtient est indéformable.

Intervenant 11:24

Ah ouais, donc les longueurs dictent absolument tout.

Intervenant 21:26

Voilà. Ces trois longueurs suffisent à définir l'intégralité de la forme, de la base jusqu'à la pointe. La surface occupée, l'air, elle est totalement verrouillée par ces trois simples nombres.

Intervenant 11:40

Donc la logique voudrait qu'avec juste ces trois longueurs de cordes sur les bords, on puisse en déduire l'air sans problème.

Intervenant 21:46

En théorie, oui. Sauf que la méthode classique,

Intervenant 11:50

celle qu'on apprend tous à l'école,

Intervenant 21:51

celle-là même, elle exige de multiplier la base par la hauteur, puis de diviser par deux.

Intervenant 11:57

Et notre arpenteur coincé au bord de son champ de boue, il ne peut pas tracer de lignes perpendiculaires parfaites vers le sommet opposé. Il ne peut pas mesurer cette fameuse hauteur.

Intervenant 22:05

C'est toute la difficulté de l'exercice.

Intervenant 12:07

C'est vraiment la mission de notre décryptage d'aujourd'hui. On va essayer de comprendre comment l'esprit humain a réussi à contourner cette contrainte matérielle. Comment on peut calculer l'aire d'un triangle sans jamais, au grand jamais, connaître sa hauteur ?

Intervenant 22:22

Et pour résoudre un problème aussi profondément ancré dans la boue et les contraintes matérielles, il ne fallait pas confier la tâche à un philosophe habitué à tracer des cercles parfaits dans le sable.

Intervenant 12:32

Il fallait quelqu'un de plus manuel, non ?

Intervenant 22:34

Il fallait un ingénieur, clairement. Quelqu'un qui comprend la théorie pure, oui, mais qui refuse de s'y laisser enfermer. Et c'est ce qui nous amène à la figure centrale de cette histoire.

Intervenant 12:43

Héron d'Alexandrie. Un savant qui est souvent décrit par les historiens comme une sorte de Léonard de Vinci de l'Antiquité. Son profil est absolument captivant.

Intervenant 22:52

Complètement. D'ailleurs, la petite anecdote, c'est la manière dont les historiens modernes ont réussi à le situer sur la frise chronologique. C'est un exploit en soi.

Intervenant 13:01

Ah oui, parce que pendant très longtemps, il flottait dans un flou temporel total. On savait juste qu'il vivait en Égypte aromène et c'est tout.

Intervenant 23:08

Exact. Les historiens des sciences ont carrément dû jouer aux détectives astronomiques. En éplouchant un de ses textes, ils sont tombés sur un exemple pratique où Héron mentionne une éclipse de Lune.

Intervenant 13:19

Une éclipse bien spécifique qu'il utilise pour un de ses calculs, c'est ça ?

Intervenant 23:22

C'est ça. Et aujourd'hui, avec nos ordinateurs, on peut faire tourner les modèles planétaires à l'envers. Ils ont cherché une éclipse lunaire qui correspondait très précisément aux observations faites depuis Alexandrie.

Intervenant 13:32

Et le verdict est tombé.

Intervenant 23:34

De manière irréfutable. L'éclipse a eu lieu en l'an 62 de notre ère.

Intervenant 13:38

Je trouve ça d'une poésie folle de dater la vie d'un mec grâce au mouvement des astres qui l'observaient. Donc il vivait au 1er siècle à Alexandrie et qui était un vrai carrefour intellectuel.

Intervenant 23:50

Une vraie marmite où bouillonnait plein de cultures différentes.

Intervenant 13:53

Et ce qui frappe quand on lit les sources, c'est son pragmatisme à ce Héron. Il écrit sur les mathématiques pures dans son traité métriqué, d'accord, mais il écrit aussi sur l'arpentage, sur la mécanique.

Intervenant 24:04

Il a publié le traité Pnumatica, qui est rempli de machines incroyables, des distributeurs automatiques, des ancêtres du thermomètre.

Intervenant 14:11

C'est dingue, des gadgets antiques.

Intervenant 24:13

Ouais, et son invention la plus spectaculaire, ça reste sans conteste le système d'ouverture automatique des portes de temples. Le but, c'était vraiment de créer de l'émerveillement, une forme de magie pour les fidèles.

Intervenant 14:25

Alors que le mécanisme en dessous, c'était de la pure thermodynamique et de la mécanique des flûdes.

Intervenant 24:29

Une maîtrise implacable même.

Intervenant 14:31

Essayons de visualiser ça. Le fidèle arrive devant le temple. On est dans l'Antiquité, je rappelle. Le prêtre allume un feu sur un autel à l'extérieur. Et soudainement, dans un grincement super théâtral, les immenses portes de bronze s'ouvrent toutes seules.

Intervenant 24:45

Comme si elles étaient poussées par les dieux eux-mêmes.

Intervenant 14:48

C'est un truc de fou !