Les irrationnels sont-ils vraiment des nombres ?

Intervenant 10:00

Bienvenue à toutes et tous dans le podcast du magazine Tangente.

Intervenant 20:03

Bonjour tout le monde, très heureuse d'être là pour cette nouvelle plongée mathématique.

Intervenant 10:08

Alors aujourd'hui, on va aborder un sujet, disons un mystère du quotidien. Imaginons un instant un objet super banal, une calculatrice. Ouais, le truc qu'on a tous sur nos téléphones quoi. Exactement, on tape le chiffre 2, puis bam, on appuie sur la touche racine carré. Et là, l'écran affiche 1,4, 1,4 et ainsi de suite jusqu'au bord de l'écran.

Intervenant 20:31

Visuellement, c'est net. On a l'impression que c'est fini, que c'est totalement maîtrisé par la machine.

Intervenant 10:37

C'est ça. Sauf que la réalité, c'est que derrière ce tout dernier chiffre sur l'affichage LCD se cache un véritable monstre conceptuel.

Intervenant 20:45

Ah bah carrément ! Un concept qui a provoqué en fait l'une des plus grandes crises existentielles de toute l'histoire des mathématiques.

Intervenant 10:52

Et c'est justement notre mission aujourd'hui. On va plonger au cœur des archives historiques et des dossiers du magazine Tangente. Pour comprendre pourquoi. Pourquoi ce résultat, qui est juste impossible à écrire complètement, a rendu fous les plus grands esprits.

Intervenant 21:06

Parce qu'on a l'habitude de compter avec des nombres entiers, tu vois. Un, deux, trois, ça c'est tangible.

Intervenant 11:12

Ouais, je peux compter mes pommes, pas de souci.

Intervenant 21:15

Voilà. Mais que se passe-t-il quand la réalité physique nous impose une quantité qui refuse de rentrer dans nos cases ? Le mot crise n'est vraiment pas exagéré.

Intervenant 11:25

Ah ouais ? À ce point-là ?

Intervenant 21:26

Ah mais totalement ! Le matériel source qu'on va regarder montre que l'acceptation de ces valeurs, ces fameuses racines qui ne tombent pas justes, c'était pas juste une petite dispute académique de salon.

Intervenant 11:36

C'était quoi alors ?

Intervenant 21:37

C'était une remise en question absolue de l'essence même de ce qu'est un nombre. Il y a eu des siècles de débats, de dénis, de contorsions philosophiques incroyables.

Intervenant 11:48

Juste pour qu'on accepte de les appeler des nombres irrationnels ?

Intervenant 21:51

C'est ça. Avant, ils étaient vraiment vus comme une anomalie terrifiante. Un truc qui menaçait de faire s'effondrer toute la logique mathématique.

Intervenant 11:59

D'accord, décortiquons un peu tout ça parce que c'est fascinant. On imagine souvent les maths comme une science parfaite figée depuis le début.

Intervenant 22:06

Ouais, alors que pas du tout en fait.

Intervenant 12:07

Ben non.

Intervenant 22:08

Pour comprendre la violence du choc, faut qu'on s'immerge au XVIe siècle, en pleine Renaissance. Nos sources mettent en avant un type assez étonnant pour incarner ce doute, Jacques Pelletier-Dumont.

Intervenant 12:19

Ah, Pelletier.

Intervenant 22:20

1554. C'est ça.

Intervenant 12:21

Et ce qui est fou, c'est qu'il n'est pas seulement un mathématicien qui sort un traité d'algèbre. C'est un humaniste, un poète. Il était membre de la Pléiade avec Ronsal et Dubelet.

Intervenant 22:31

Et c'est justement cet esprit très littéraire qui va se poser une question mais d'une profondeur inouïe. Il se demande très sérieusement si ces fameux irrationnels méritent le statut de nombre. Ils

Intervenant 12:42

bloquent complètement

Intervenant 22:43

quoi. Ils bloquent parce que, regarde comment on voyait les maths à l'époque. Les fractions, genre un demi ou trois quarts, ça passait crème.

Intervenant 12:50

Oui, c'est rationnel. On découpe une tarte, on visualise très

Intervenant 22:53

bien. Exactement. Mais la racine carrée de deux. Pelletier va utiliser une expression magnifique et terrible à la fois. Il les appelle des racines sourdes.

Intervenant 13:02

Des racines sourdes ? J'adore cette expression. Mais il faut qu'on explique ça. Pourquoi sourdes ? Qu'est-ce que le son vient faire dans l'algèbre du XVIe siècle ?

Intervenant 23:10

Eh bien, l'origine de ce terme révèle vraiment le blocage cognitif de l'époque. Pelletier explique que ces valeurs n'ont aucune proportion commune avec les nombres réguliers.

Intervenant 13:20

Ok, on ne peut pas les comparer, c'est ça ?

Intervenant 23:23

Voilà. On ne peut les évoquer que par des circonlocutions. Et son argument massue, je le cite, c'est qu'en les prononçant, on n'entend point quels ils sont.

Intervenant 13:34

Ah, d'accord.

Intervenant 23:35

Tu vois, si je te dis le mot « trois », ton cerveau visualise directement trois objets. L'essence de la quantité est dans le mot.

Intervenant 13:42

Ouais, c'est immédiat.

Intervenant 23:43

Mais si je dis racine carrée de 2, le langage ne reflète aucune quantité saisissable. Ça décrit juste une opération à

Intervenant 13:50

faire. Ah

Intervenant 23:51

oui. La résonance entre le nom et la réalité physique est totalement rompue.

Intervenant 13:55

C'est exactement

Intervenant 23:56

ça. D'où le terme « sourd ».

Intervenant 13:58

C'est brillant comme distinction. Si je dis, je sais pas, la moitié d'une pomme, on voit tous la même chose. Mais si je dis la racine carrée de deux pommes, le cerveau fait un écran bleu complet.

Intervenant 24:10

C'est clair, le langage échoue.

Intervenant 14:13

Donc en gros, à l'époque, les mathématiques sont comme un club VIP super strict. Les nombres entiers, ils sont sur la liste des invités. Mais les irrationnels, c'est des intrus qu'on n'arrive même pas à nommer à l'entrée. Si je peux pas le nommer précisément, c'est pas un nombre.

Intervenant 24:28

C'est tout son dilemme. Et ce qui est fascinant ici, c'est que Pelletier, malgré tout son dégoût pour ses valeurs, il est obligé de capituler sur le plan utilitaire.