Bertrand Russell : le paradoxe qui ébranla les maths

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, au programme, on a une histoire qui semble tout droit sortie d'un thriller psychologique.

Intervenant 20:09

C'est clair, à la différence près que l'action se déroule entièrement dans les couloirs feutrés du monde académique.

Intervenant 10:14

Ouais, exactement. Et il suffit d'imaginer un instant la situation. Les mathématiques, la discipline qu'on considère universellement comme la plus rigoureuse.

Intervenant 20:23

La plus inébranlable même.

Intervenant 10:24

Voilà, le truc le plus absolu au monde, l'édifice sur lequel repose notre compréhension de l'univers.

Intervenant 20:30

Et bien cet édifice a purement et simplement failli s'effondrer sur lui-même.

Intervenant 10:34

Au tout début du 20e siècle, oui. Et le détail le plus invraisemblable dans toute cette histoire, c'est la cause de cet apocalypse intellectuelle imminente.

Intervenant 20:42

Ah oui, la fameuse cause.

Intervenant 10:44

Ça a été déclenché par une banale, mais vraiment banale, histoire de barbier.

Intervenant 20:49

C'est un point de départ extraordinaire. Et ce qui est fascinant ici, c'est que les faits historiques, ou même les grandes théories, ils prennent toutes leurs valeurs quand on en saisit le pourquoi profond.

Intervenant 10:58

Oui, l'histoire derrière l'histoire

Intervenant 20:59

quoi. Exactement. Il ne s'agit pas du tout aujourd'hui d'aligner des équations froides ou de décrire des symboles bizarres sur un tableau noir. C'est vraiment un drame humain.

Intervenant 11:08

Complètement.

Intervenant 21:09

C'est l'histoire d'un esprit, d'une communauté entière même, qui essaie désespérément de prouver sa propre cohérence logique. De trouver un sol ferme où se tenir face au vide en fait.

Intervenant 11:20

Absolument. Et pour ça, l'analyse détaillée d'aujourd'hui s'appuie sur un article captivant qui s'intitule « Un génie hors des sentiers battus ».

Intervenant 21:28

Un très bon

Intervenant 11:29

article. Notre mission, ça va être de décortiquer cette période de turbulences extrêmes, ce que l'histoire a retenu sous le nom de « crise des fondements en mathématiques ».

Intervenant 21:37

Un nom qui claque

Intervenant 11:38

d'ailleurs. Et plus particulièrement, l'objectif c'est de comprendre comment un homme, le célèbre logicien et philosophe britannique Bertrand Russell, a d'abord mis le feu aux poudres,

Intervenant 21:51

involontairement,

Intervenant 11:52

précisons-le, avant de consacrer des années de sa vie vraiment au bord de l'épuisement total pour tenter de sauver la discipline des flammes.

Intervenant 22:00

Et pour bien saisir l'ampleur de ce drame existentiel, et surtout pourquoi les découvertes de Russell ont eu l'effet d'une bombe, il est indispensable de faire un petit pas en arrière.

Intervenant 12:10

Le contexte, toujours le contexte.

Intervenant 22:12

Voilà, le contexte est crucial. Au cours du XIXe siècle, la nature même des mathématiques, leur raison d'être en fait, elle avait radicalement muté.

Intervenant 12:21

Muté dans quel sens ?

Intervenant 22:23

Avant cette période, disons jusqu'à la fin du XVIIIe siècle, les mathématiques avaient une vocation presque exclusivement utilitariste. Elle n'existait pas juste pour la beauté du geste, elle servait à résoudre des problèmes très concrets dans le monde physique.

Intervenant 12:37

C'était en quelque sorte la grande boîte à outils dans laquelle les autres sciences venaient piocher pour avancer.

Intervenant 22:43

C'est exactement ça. Si on observe les figures tutélaires de la fin du XVIIIe, des esprits immenses comme Pierre-Simon de Laplace ou Joseph-Louis

Intervenant 12:51

Lagrange,

Intervenant 22:53

ils élaboraient des théories mathématiques majestueuses, certes, mais l'inspiration était toujours extrinsèque. Ils regardaient le ciel en fait.

Intervenant 13:01

Ils essayaient de modéliser ce qu'ils voyaient.

Intervenant 23:03

C'est ça, ils voulaient prédire le mouvement des planètes, comprendre la mécanique céleste. Et un peu plus tard, au début du 19ème, il y a le français Jean-Baptiste Joseph Fourier.

Intervenant 13:12

Ah, avec ses fameuses séries Fourier.

Intervenant 23:14

Exactement. Ils bouleversent l'analyse mathématique avec ça. Mais là encore, l'objectif premier, c'était de comprendre un phénomène physique hyper tangible.

Intervenant 13:22

C'était la chaleur, je crois.

Intervenant 23:23

Oui, la propagation de la chaleur dans les solides. L'abstraction théorique était vraiment fermement arrimée au monde sensible.

Intervenant 13:29

Mais soudain, il y a une rupture, une sorte de rébellion intellectuelle spectaculaire en fait. En 1830, juste après la mort de Fourier, il y a le mathématicien allemand Carl Gustav Jacobi. Et il envoie une lettre à son confrère français, Legendre. Et le contenu de cette lettre, ça sonne vraiment comme une déclaration d'indépendance.

Intervenant 23:47

C'est un texte fondateur, clairement.

Intervenant 13:49

Jacobi y écrit que Fourier pensait que le but premier des mathématiques, c'était l'utilité publique. Mais pour Jacobi, un esprit de l'envergure de Fourier aurait dû savoir que le but unique de la science,

Intervenant 24:03

Et les mots sont forts là.

Intervenant 14:04

Très fort. Il dit que c'est l'honneur de l'esprit humain. Et il conclut carrément en affirmant qu'une simple question sur les nombres, ça vaut tout autant qu'une question sur le système de l'univers tout entier.

Intervenant 24:14

C'est un vrai moment de bascule, une charnière historique. Par cette simple opinion dans une lettre, Jacobi en fait, il revendique pour tous les mathématiciens une liberté absolue.

Intervenant 14:24

La liberté de faire des maths pour les maths, du coup.

Intervenant 24:26

Voilà, la liberté de chercher, de théoriser, d'explorer des espaces bizarres à N dimensions ou des géométriques complètement étranges, sans jamais avoir à se justifier par une application pratique.

Intervenant 14:36

Fini la boîte à outils, alors.

Intervenant 24:37

Exactement. L'idée fondatrice qu'eut germe, c'est que les mathématiques ne doivent plus chercher leur légitimité dans l'observation de la nature. Elles doivent s'ériger en un édifice purement théorique qui se suffit à lui-même.

Intervenant 14:50

Quand on essaie de visualiser la chose, c'est comme si une discipline purement axée sur l'ingénierie, elle se métamorphosait du jour au lendemain en philosophie pure. C'est

Intervenant 24:58

une super métaphore.

Intervenant 15:00

C'est comme si des ingénieurs, tu vois, habitués à construire de vrais ponts en acier pour franchir des fleuves tumultueux, Décidait soudainement de construire des ponts abstraits.

Intervenant 25:09

Des ponts invisibles ?

Intervenant 15:10

Voilà, juste pour la beauté de la structure, en s'en fichant complètement de savoir s'il y a un fleuve en dessous ou une route de l'autre côté.

Intervenant 25:16

C'est exactement l'état d'esprit.

Intervenant 15:17

Mais du coup, et c'est là que je m'interroge, y avait-il pas un danger inouï à couper ainsi les mathématiques du réel ? Sans l'ancrage réconfortant de la réalité physique, pour vérifier si les calculs sont justes, parce qu'après tout, si le pont s'écroule en vrai, c'est qu'il y a une erreur. Sans ça, l'édifice mathématique ne risquait-il pas de flotter dans un vide dangereux ?

Intervenant 25:39

Cette intuition est excellente parce que c'est précisément l'angoisse qui a fini par s'emparer des mathématiciens. Ils ont très vite ressenti ce vertige du vide.

Intervenant 15:49

Ils se sont rendus compte qu'ils n'avaient plus de filet de sécurité.

Intervenant 25:51

Exactement. Puisque la réalité physique ne servait plus de fondation, il fallait impérativement couler de nouvelles fondations en béton armé pour soutenir ce gigantesque château de cartes abstrait.

Intervenant 16:02

Et c'est quoi ce nouveau socle ?

Intervenant 26:04

C'était la logique mathématique. Vers 1850, tu as des pionniers britanniques, Augustus de Morgan et George Boole, qui s'attellent à cette tâche titanesque.

Intervenant 16:13

Ah, boule ! Comme dans l'algèbre de boule pour l'informatique.

Intervenant 26:17

C'est ça. Il crée de toutes pièces une algèbre de la logique. Il transforme littéralement les raisonnements humains en équations.

Intervenant 16:24

D'accord.

Intervenant 26:24

Et peu après, t'as l'américain Charles Peirce qui perfectionne ça en introduisant la logique propositionnelle. Le but, c'était de forger une grammaire d'une rigueur implacable pour encadrer cette fameuse nouvelle liberté.

Intervenant 16:36

Ok, mais si boules et perces avaient déjà créé cette grammaire logique, pourquoi ce n'était pas suffisant ? Qu'est-ce qui a poussé la génération d'après à aller encore plus loin, jusqu'à frôler la catastrophe ?