Des ruches aux polyèdres en losanges : quatre siècles

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente, un accueil vraiment chaleureux et hyper enthousiaste à toutes les personnes qui nous écoutent aujourd'hui pour cette nouvelle plongée au cœur des mathématiques.

Intervenant 20:11

Bonjour tout le monde. Très content d'être là pour décortiquer ce sujet avec

Intervenant 10:15

toi. Surtout qu'aujourd'hui, on va commencer par une petite expérience de pensée, une sorte d'énigme visuelle. Imaginons une seconde qu'on donne une contrainte absolue, mais vraiment stricte, à un

Intervenant 20:27

architecte. Quel genre de contrainte ?

Intervenant 10:29

Il doit concevoir un espace fermé parfait, un volume en trois dimensions, mais attention, sans avoir le droit d'utiliser le moindre carré ni le moindre triangle.

Intervenant 20:39

Ah ouais, ça enlève pas mal de possibilités de base.

Intervenant 10:41

C'est clair. En fait, la règle lui impose une seule et unique brique de construction, le losange.

Intervenant 20:46

Juste des losanges. Voilà, ce polygone qu'on connaît tous, quatre côtés de la même longueur, mais sans angle droit. Et la vraie question de notre exploration aujourd'hui, c'est est-ce que c'est seulement possible, mathématiquement parlant, de bâtir un monde en 3D entier, juste avec cette forme-là ?

Intervenant 11:04

Ça pourrait ressembler à un simple défi pour créateur de casse-tête en bois. Mais en réalité, ça cache l'une des trajectoires les plus fascinantes de l'histoire des sciences.

Intervenant 21:13

Vraiment ? À ce point-là ?

Intervenant 11:15

Oh que oui ! Chercher à fermer un volume dans l'espace en n'utilisant que des losanges réguliers, ça a mobilisé des esprits extrêmement brillants pendant plus de quatre siècles. C'est une quête géométrique pleine de rebondissements.

Intervenant 21:27

Et de ce que j'ai vu dans nos sources, il y a eu des intuitions géniales, mais aussi pas mal d'oublis et de gros préjugés.

Intervenant 11:34

Exactement, des préjugés esthétiques profonds même. Et c'est génial parce que l'étude de ces solides, ce que les mathématiciens appellent les polyèdres rhombiques, ça illustre parfaitement comment la pensée scientifique avance, trébuche et finit par s'élargir.

Intervenant 21:49

Et le truc fou, c'est que le point de départ de tout ça, ce n'est pas du tout sur le tableau noir d'un théoricien isolé dans son bureau. Ça vient d'une observation super minutieuse de la nature.

Intervenant 11:59

Ouais, il faut remonter au XVIIe siècle avec Johannes Klepler, l'astronaute.

Intervenant 22:04

C'est ça. En 1611, le gars se promène en hiver et décide de regarder de près un flocon de neige qui vient de tomber sur son manteau.

Intervenant 12:10

Et

Intervenant 22:11

là,

Intervenant 12:11

il bloque sur un

Intervenant 22:11

détail. Exactement. Il bloque sur la symétrie hexagonale systématique. Il se demande pourquoi l'eau cristallisée fait toujours invariablement six branches. Et ça le pousse à chercher d'autres symétries dans la nature.

Intervenant 12:23

Et c'est là que son approche naturaliste devient hyper importante pour notre histoire de losanges. En cherchant des principes d'organisation, il observe les ruches d'abeilles.

Intervenant 22:33

Ah, les fameuses alvéoles hexagonales.

Intervenant 12:36

Voilà. C'est la forme parfaite pour stocker un maximum de moelle avec un minimum de cire. Mais Kepler, lui, il s'arrête pas à l'ouverture de l'alvéole. Il regarde tout au fond de la cellule.

Intervenant 22:48

Ouais, la cloison qui sépare les deux rangées d'alvéoles dos à dos. Et là, surprise !

Intervenant 12:54

Exact. Le fond n'est pas plat du tout. Il est formé de trois losanges strictement identiques, soudées ensemble, qui font une petite cuvette.

Intervenant 23:03

C'est brillant quand on y pense. J'aime bien comparer la nature à une sorte d'architecte d'intérieur qui optimise le moindre millimètre carré.

Intervenant 13:11

C'est tout à fait ça.

Intervenant 23:12

Si on colle deux couches d'alvéoles, ces fonds en losanges s'emboîtent sans laisser d'espace vide. Mais du coup, comment cette observation pousse Kepler à créer de nouvelles formes en 3D ?

Intervenant 13:23

Il se dit que si on peut assembler trois losanges pour faire un fond, on devrait pouvoir continuer à en rajouter pour fermer un volume complet. Il cherchait des solides analogues aux solides de Platon ou d'Archimède, mais fait uniquement de losanges.

Intervenant 23:37

Ce qu'on appelle les polyèdres rhombiques.

Intervenant 13:39

C'est ça. Et pour que ça ressemble aux solides de Platon, il fallait que toutes les faces soient identiques, des monoèdres en langage géométrique.

Intervenant 23:47

D'accord.

Intervenant 13:48

Donc Kepler se met au travail et il trouve deux figures majeures. D'abord le dodecaèdre rhombique.

Intervenant 23:54

Douze faces, donc ?

Intervenant 13:55

Douze losanges, oui.