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23 déc. 2022 · 24 min

Sangaku sur tablette : des cercles aux rationnels de 0 à 1

Dans cet épisode, suivez une énigme géométrique sur tablette : des premiers cercles tangents aux fractions de Brocot, puis aux rationnels entre 0 et 1.

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Un contenu original Tangente, adapté en podcast avec l’aide de l’IA et validé par notre rédaction. Comment ça marche ?

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  1. Intervenant 1

    Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on va faire un voyage, franchement, un voyage assez vertigineux.

  2. Intervenant 2

    Carrément vertigineux,

  3. Intervenant 1

    oui. Imaginons un instant qu'un artisan horloger parisien du 19e siècle, complètement obsédé par les rouages d'une horloge, ait découvert exactement le même secret mathématique profond de

  4. Intervenant 2

    l'univers

  5. Intervenant 1

    qu'un samouraï japonais qui s'amusait à dessiner des cercles sur un bout de bois à des milliers de kilomètres de là.

  6. Intervenant 2

    Ça paraît complètement fou dit comme ça.

  7. Intervenant 1

    Bah oui, c'est fou ! Et c'est la mission de notre discussion aujourd'hui. On a rassemblé une grosse pile de sources fascinantes pour retracer ce fil invisible. On part de simples énigmes géométriques japonaises pour plonger tout droit vers les mystères les plus fous de l'infini mathématique.

  8. Intervenant 2

    Et pour planter le décor correctement, il faut vraiment se projeter dans ce qu'on appelle les Sangakus.

  9. Intervenant 1

    Ok, on t'écoute.

  10. Intervenant 2

    Alors, on est au Japon.

  11. Intervenant 1

    En pleine période Edo.

  12. Intervenant 2

    Donc, on situe ça entre le 17ème et le 19ème siècle. C'est ça. Et à cette époque, la politique du pays, c'est le Sakoko.

  13. Intervenant 1

    La fermeture totale.

  14. Intervenant 2

    Exactement. Le Japon est quasiment coupé du reste du monde. Donc les mathématiques occidentales, celles de Newton ou de Leibniz, Elles ne rentrent pas. Elles ne pénètrent pas du tout. Ce qui fait qu'une tradition mathématique purement japonaise, le Wassen, commence à se développer en vase clos. Et c'est pas juste un truc d'érudit en fait. Non, c'est ça qui est génial. Des marchands, des fermiers et bien sûr des samouraïs se mettent à graver des énigmes géométriques sur de très belles tablettes de bois.

  15. Intervenant 1

    Les fameux Sangaku.

  16. Intervenant 2

    Voilà. Et ces tablettes, ensuite, elles sont carrément suspendues sous les toits des sanctuaires shintoïstes ou des temples bouddhistes.

  17. Intervenant 1

    C'est vraiment ce contexte qui rend la chose hyper poétique, tu vois. C'est pas des devoirs d'école ou des publications académiques hyper froides.

  18. Intervenant 2

    Non, pas du tout.

  19. Intervenant 1

    C'est vraiment présenté comme une offrande religieuse ou même un défi intellectuel esthétique qu'on lance aux passants. L'art de l'émerveillement par la géométrie pure, quoi.

  20. Intervenant 2

    L'émerveillement, c'est vraiment le moteur principal de tout ça. Et pour bien visualiser le type de défixé, prenons un exemple concret.

  21. Intervenant 1

    Vas-y.

  22. Intervenant 2

    Une tablette super célèbre qui est exposée dans la préfecture de Miyagi. Elle date de 1820.

  23. Intervenant 1

    D'accord.

  24. Intervenant 2

    Il faut imaginer une table de billard.

  25. Intervenant 1

    Ok, j'ai l'image.

  26. Intervenant 2

    Tu prends deux boules de tailles différentes, tu les poses l'une à côté de l'autre pour qu'elles se touchent parfaitement.

  27. Intervenant 1

    Et elles touchent aussi le bord de la table.

  28. Intervenant 2

    Exactement. En termes un peu plus formels, ça donne deux cercles de rayons différents. Un petit rayon et un grand rayon.

  29. Intervenant 1

    Ouais.

  30. Intervenant 2

    Ils sont tangents entre eux et tous les deux tangents et une même ligne droite horizontale en dessous.

  31. Intervenant 1

    Le fameux bord de la table.

  32. Intervenant 2

    Voilà. Et le défi d'origine de ce Sangaku, c'est de déterminer avec une précision absolue la distance qui sépare les deux points où ces cercles touchent la droite.

  33. Intervenant 1

    Ok. À première vue, ça a l'air d'un problème d'ingénierie super complexe avec des courbes et tout.

  34. Intervenant 2

    Ça, on a l'air.

  35. Intervenant 1

    Mais en regardant nos sources, la résolution ne demande pas de magie occulte ni de maths super avancées.

  36. Intervenant 2

    Non, c'est très accessible en fait.

  37. Intervenant 1

    Bah oui, parce qu'en traçant simplement les bonnes lignes entre les centres des cercles, on fait apparaître un triangle rectangle, tout ce qu'il y a de plus classique.

  38. Intervenant 2

    C'est ça l'astuce.

  39. Intervenant 1

    Et à partir de là, on applique bêtement le bon vieux théorème de Pythagore sur les rayons. Et la distance au sol, elle se révèle être une formule super élégante.

  40. Intervenant 2

    Tu l'as sous les

  41. Intervenant 1

    yeux. Ouais, c'est deux fois la racine carrée du produit des deux rayons. Donc deux racines de petit R fois grand R.

  42. Intervenant 2

    C'est toute la puissance de cette méthode en fait. On part d'une configuration spatiale qui semble demander des calculs de courbes horribles.

  43. Intervenant 1

    Et on atterrit sur une vérité algébrique hyperlampide.

  44. Intervenant 2

    Exactement. Prouvée par la géométrie classique.

  45. Intervenant 1

    Bon, décortiquons un peu ça.

  46. Intervenant 2

    Vas-y.

  47. Intervenant 1

    C'est vrai que le résultat est esthétiquement très propre. Mais, et je ne veux pas minimiser l'exploit de ces passionnés japonais de 1820, mais le théorème de Pythagore, ça reste quand même assez basique.

  48. Intervenant 2

    C'est sûr.

  49. Intervenant 1

    C'est du programme de collège, quoi. On maîtrise les triangles rectangles depuis l'Antiquité. Du coup, comment est-ce qu'on passe de ce petit calcul sur un bout de bois à l'infini et au concept révolutionnaire dont on a parlé au début ?

  50. Intervenant 2

    Eh bien, par l'obsession du

  51. Intervenant 1

    vide.

  52. Intervenant 2

    C'est là que le niveau de complexité fait un bond vraiment spectaculaire. L'auteur d'une autre tablette, qui date de 1824 et qui est dans la préfecture de Gunma, s'est posé une question assez redoutable.

  53. Intervenant 1

    Il a regardé l'espace vide ?

  54. Intervenant 2

    Voilà. Prenons nos deux cercles tangents de tout à l'heure. Il laisse un petit espace vide, un espèce d'interstice triangulaire un peu incurvé, juste au-dessus de la ligne droite, coincé entre les deux.

  55. Intervenant 1

    Ouais, le petit creux en bas.

  56. Intervenant 2

    Exactement. Et la question c'est, que se passe-t-il si on décide de glisser un troisième petit cercle pile dans cet interstice ?

  57. Intervenant 1

    Pour qu'il soit tangent aux deux grands cercles et à la droite en même temps.

  58. Intervenant 2

    C'est ça.

  59. Intervenant 1

    En gros, on cherche à remplir l'espace de la manière la plus optimale possible.

  60. Intervenant 2

    C'est tout à fait l'idée. Et le défi devient alors de trouver la relation mathématique intime qui lie les rayons de ces trois cercles.

  61. Intervenant 1

    Les rayons 1, 2 et 3.

  62. Intervenant 2

    Voilà. Alors, grâce aux résultats de Pythagore de tout à l'heure, la grande distance au sol entre le premier et le deuxième grand cercle, on la connaît.

  63. Intervenant 1

    Ouais, on l'a déjà calculée.

  64. Intervenant 2

    Or, quand tu ajoutes le petit cercle au milieu, ça crée deux nouvelles distances au sol plus petites.

  65. Intervenant 1

    Une de chaque côté du petit

  66. Intervenant 2

    cercle. Exact. Et l'harmonie opère quand tu réalises que la grande distance initiale, elle est strictement égale à l'addition de ces deux petites distances nouvellement créées.

  67. Intervenant 1

    Ce qui veut dire du coup qu'on se retrouve avec une équation qui additionne ces fameuses racines carrées qu'on a trouvées avec Pythagore.

  68. Intervenant 2

    C'est ça. Et c'est en simplifiant cette grosse équation que l'esthétique du Sangaku brille vraiment. En divisant le tout de manière astucieuse, la complexité s'évapore complètement.

  69. Intervenant 1

    Et on atterrit sur quoi ?

  70. Intervenant 2

    Sur une formule sublime de simplicité. 1 divisé par la racine carrée du petit rayon est égal à 1 sur la racine du premier grand rayon plus 1 sur la racine du second.

  71. Intervenant 1

    C'est d'une concision époustouflante, sérieusement.

  72. Intervenant 2

    Bah ouais.

  73. Intervenant 1

    Ce qui est fascinant, c'est cette pureté. On a une situation visuelle qui a l'air super chargée, avec des courbes qui s'emboîtent, des points de contact microscopiques dans tous les sens.

  74. Intervenant 2

    C'est un vrai fouillis visuel.

  75. Intervenant 1

    Et ça se résout sur le papier par une symétrie parfaite. Une simple addition d'inverses de racines carrées.

  76. Intervenant 2

    C'est vraiment la beauté de la réduction mathématique. Mais, tu vois, cette propreté, elle nous invite inévitablement à plonger beaucoup plus loin. La géométrie a horreur du vide. C'est sûr. Puisqu'on a trouvé la formule magique pour remplir un trou entre deux cercles par un troisième cercle,

  77. Intervenant 1

    La question qui vient naturellement à l'esprit, c'est pourquoi s'arrêter en si bon chemin ?

  78. Intervenant 2

    Exactement.

  79. Intervenant 1

    C'est un peu comme faire sa valise de manière obsessionnelle pour partir en voyage.

  80. Intervenant 2

    Ah, j'aime bien cette image.

  81. Intervenant 1

    Au début, tu mets les gros vêtements. Puis tu te rends compte qu'il y a des creux entre les pantalons, alors tu y glisses des chaussettes en boule.

  82. Intervenant 2

    Bien sûr.

  83. Intervenant 1

    Et entre les chaussettes, il reste encore des espaces infimes, alors tu y mets des billes. Et théoriquement, si tu avais des objets de plus en plus minuscules, tu pourrais continuer cette espèce de fractale de rangement à l'infini.

  84. Intervenant 2

    Cette analogie de la valise fractale est vraiment excellente. Transformons-la en une vraie expérience de pensée géométrique.

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