Comment les vecteurs font-ils de la géométrie sans figure ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Je suis ravie de vous retrouver pour cette nouvelle exploration en profondeur. Alors aujourd'hui, on va aborder un sujet assez fascinant tiré de nos dossiers. Habituellement, quand on pense à la géométrie, on a tout de suite des images très concrètes en tête.

Intervenant 20:16

Oui, très tangibles.

Intervenant 10:17

On a tous ce souvenir de l'école, la feuille de papier millimétrée, l'odeur du crayon à papier, la pointe métallique du compas qu'on ancre bien fort pour tracer un cercle parfait ou la règle pour tirer une ligne impeccable.

Intervenant 20:29

C'est le kit de survie de base, clairement.

Intervenant 10:31

Voilà, c'est ça, oui. Et c'est normal, en fait, parce que l'être humain est fondamentalement visuel. Notre cerveau a évolué pour comprendre l'espace, les distances, les formes. Donc, intuitivement, on se dit que pour comprendre un problème géométrique, il faut absolument le dessiner, il faut le voir.

Intervenant 20:46

C'est une évidence pour tout le monde, en fait.

Intervenant 10:48

Exactement. Mais, et c'est là que ça devient intéressant, si on plonque dans les sources historiques, on découvre un mouvement de rébellion totalement contre-intuitif. Une ambition portée par des esprits vraiment brillants au fil des siècles. Leur but ? Créer une géométrie sans la moindre figure.

Intervenant 21:08

Oui, c'est un point de départ extraordinaire parce que ça va complètement à l'encontre de notre nature même. Et le but de notre décryptage d'aujourd'hui, c'est précisément de décortiquer cette transition intellectuelle majeure. Comment

Intervenant 11:19

on en est arrivé ?

Intervenant 21:20

C'est ça. Comment et surtout pourquoi les mathématiciens ont décidé de s'amputer volontairement de la vue d'une certaine manière. Comment ils ont progressivement, et on verra que ça s'est fait avec beaucoup de difficultés, remplacé le compas par des lettres, des symboles et des équations pures.

Intervenant 11:37

Une vraie révolution.

Intervenant 21:39

Absolument. C'est une très longue marche vers l'abstraction qui trouve son apothéose avec un outil qu'on connaît bien aujourd'hui, le calcul vectoriel. Un concept qui a mis un temps fou à s'imposer, mais qui offre aujourd'hui le luxe ultime en fait.

Intervenant 11:54

Le luxe de choisir, c'est ça ?

Intervenant 21:56

Exactement. De choisir entre l'intuition visuelle, héritée des grecs anciens, ou la puissance mécanique et logique de l'algèbre.

Intervenant 12:03

Bon, avant d'en arriver à la solution, penchons-nous un peu sur le problème. Pourquoi cette haine du dessin ? En parcourant les sources, il y a une citation assez frappante qui ressort, celle du grand mathématicien français Michel Charles au XIXe siècle.

Intervenant 22:18

Ah oui, très célèbre !

Intervenant 12:19

Ouais, il regardait la géométrie de son époque et il la qualifiait, avec un certain dédain d'ailleurs, de géométrie, je cite, « hérissée de figure ». Pour Charles, le dessin, c'était pas une aide, c'était carrément une prison.

Intervenant 22:31

Le terme de prison est parfaitement choisi. Il faut vraiment essayer de comprendre la frustration de ces mathématiciens. Quand on dessine un triangle sur une feuille pour démontrer un théorème, par exemple, on est obligé de faire un choix.

Intervenant 12:43

Ben oui, on le dessine d'une certaine façon.

Intervenant 22:45

Voilà, on dessine un triangle avec des angles précis, des longueurs précises. Il sera forcément obtu ou aigu ou isocèle. Et notre cerveau, malgré nous, il va s'attacher aux particularités de ce dessin-là, de ce croquis spécifique.

Intervenant 12:59

Il va faire de la courcie ?

Intervenant 23:00

Exactement. La figure fige la pensée dans un cas particulier. Michel Chazelet, et pas mal d'autres avant lui d'ailleurs, il cherchait l'universalité. Il voulait une méthode de réflexion qui s'applique à absolument tous les triangles de l'univers, simultanément.

Intervenant 13:15

Sans se faire avoir par ses propres yeux.

Intervenant 23:17

C'est tout à fait ça. Sans que l'œil ne vienne parasiter le jugement avec de fausses intuitions du genre « Ah tiens, ces deux droites ont l'air parallèles sur mon croquis, donc elles doivent forcément l'être ».

Intervenant 13:28

Donc se bander les yeux visuellement, c'était en quelque sorte une condition requise pour ouvrir un autre type de vision, une vision purement intellectuelle. Mais si Charles formule cette frustration au XIXe siècle, la tentative de s'évader de la feuille de papier, elle commence bien plus tôt, non ? Ah

Intervenant 23:44

oui, bien plus tôt. Le premier grand coup de marteau dans le mur de cette prison visuelle, on peut dire qu'il est donné au XVIIe siècle par René Descartes.

Intervenant 13:51

Avec son fameux repère, j'imagine.

Intervenant 23:53

Absolument. Le fameux repère cartésien, avec ses axes horizontaux et verticaux qu'on apprend tous à l'école. Mais l'impact philosophique de cette invention est en fait souvent sous-estimé.

Intervenant 14:03

Comment ça ?

Intervenant 24:04

Ce que Descartes invente, c'est ni plus ni moins qu'un dictionnaire de traduction. Il crée un pont conceptuel qui permet de prendre une forme géométrique, disons un cercle, et de la traduire dans une toute autre langue.

Intervenant 14:14

La langue des équations ?

Intervenant 24:16

Exactement, la langue de l'algèbre. À partir du moment où le cercle devient une simple formule mathématique qui relie des inconnus, on n'a techniquement plus besoin de le dessiner pour étudier ses propriétés.

Intervenant 14:26

Et au même moment, d'ailleurs, Pierre de Fermat travaille sur les lieux géométriques dans le même esprit. Mais ce qui me frappe vraiment en lisant tout ça, c'est que ce n'est pas juste pour simplifier les calculs. Il y a une volonté d'accéder à une dimension supérieure de la pensée.

Intervenant 24:39

Tout à fait. C'est une vraie démarche philosophique.

Intervenant 14:41

Je pense notamment à cette lettre incroyable de Gottfried Wilhelm Leibniz à Huygens en 1679. Leibniz y évoque le besoin d'une géométrie de situation.