Neuf points, une infinité de cubiques ? L’enquête Euler-Cramer

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. C'est un vrai plaisir d'accueillir quiconque nous écoute aujourd'hui pour cette nouvelle exploration. On a tendance à imaginer les mathématiques comme une sorte de forteresse imprenable, non ?

Intervenant 20:13

Oh oui, très souvent, comme un bloc parfait.

Intervenant 10:16

Voilà, une science hyper pure, absolue, où la contradiction n'a tout simplement pas le droit de citer. Contrairement aux sciences expérimentales, où les théories évoluent au gré des découvertes, on se dit qu'en géométrie, une vérité, c'est une vérité.

Intervenant 20:30

C'est figé dans le marbre.

Intervenant 10:32

Exactement, un carré à quatre côtés, un point, c'est tout. Mais alors, que se passe-t-il exactement quand deux des plus grands esprits de l'histoire tombent nez à nez avec un bug fondamental dans les règles mêmes de cette géométrie ?

Intervenant 20:45

Un bug qui remet tout en question, oui.

Intervenant 10:47

Un véritable mur logique, quoi, où deux théorèmes complètement absolus se percutent de plein fouet.

Intervenant 20:53

Eh bien, c'est toute la magie de l'exploration d'aujourd'hui. Les archives que nous allons analyser brossent le portrait d'un moment de crise intellectuelle, mais vraiment fascinant. Nous avons sous les yeux une correspondance historique de 1744. Et un document

Intervenant 11:05

incroyable, non ?

Intervenant 21:07

Ouais, un manuscrit perdu pendant des siècles, carrément redécouvert en 2003, et surtout, les documents fondateurs de ce qu'on appelle le paradoxe de l'ère Cramer. C'est une histoire qui nous prouve que même l'édifice mathématique le plus solide a parfois besoin de trembler sur ses bases pour pouvoir s'élever encore plus haut.

Intervenant 11:24

Bon, décortiquons tout ça, il faut vraiment qu'on plante le décor pour bien saisir l'ampleur du séisme pour notre public. Faisons un saut dans le temps.

Intervenant 21:31

Je vous suis.

Intervenant 11:32

Transportons-nous au milieu du XVIIIe siècle, plus précisément en 1744, dans la ville de Genève. L’atmosphère scientifique européenne est en pleine ébullition et, au cœur de cette effervescence, on trouve un certain Gabriel Kramer.

Intervenant 21:48

Absolument. Et à cette époque, Gabriel Kramer, c'est une figure incontournable de la vie intellectuelle genevoise. Il est au sommet de sa carrière, mais il est surtout accablé de travail.

Intervenant 11:58

Il court partout,

Intervenant 22:00

c'est ça ? C'est ça. Il passe énormément de temps à enseigner à l'Académie de Genève et en parallèle, il s'épuise sur une tâche éditoriale juste titanesque. Il essaie de rassembler et d'éditer les œuvres complètes des célèbres frères Bernoulli.

Intervenant 12:12

Ah oui, un travail de titan.

Intervenant 22:14

Exactement. C'est un travailleur acharné, un homme d'une rigueur absolue. Et pourtant, malgré cet emploi du temps complètement surchargé, il décide de déterrer un projet personnel qu'il gardait dans ses tiroirs depuis 1740. Et

Intervenant 12:26

ce projet, il s'agit de la rédaction de ce qui deviendra son grande œuvre, l'introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques, un traité monumental qui finira par paraître en 1750. Oui,

Intervenant 22:38

un texte majeur.

Intervenant 12:40

Et c'est justement en rédigeant les premiers chapitres de ce livre qu'il pose sur le papier deux règles de géométrie. Des principes qui, pour lui, comme pour toute la communauté savante de l'époque, coulent de source.

Intervenant 22:52

C'était l'évidence même ?

Intervenant 12:54

Prenons vraiment le temps de les examiner, car c'est dans ces certitudes que le piège va se refermer.

Intervenant 22:59

Alors, la première règle s'intéresse à la construction même des courbes. Pour faire simple, Cramer cherche à savoir combien de points géométriques sont nécessaires pour définir une courbe de manière parfaitement unique.

Intervenant 13:09

D'accord.

Intervenant 23:10

Il utilise une formule qui dépend de ce qu'on appelle l'ordre de la courbe. Notez N. L'ordre, pour vulgariser légèrement, c'est le degré de complexité de l'équation polynomiale qui dessine la courbe.

Intervenant 13:23

Ok, l'ordre

Intervenant 23:24

N. Voilà, et la formule de Cramer énonce qu'il faut exactement N multiplié par N plus 3, le tout divisé par 2, pour obtenir le nombre de points nécessaires.

Intervenant 13:35

D'accord, alors attendez, vérifions ça ensemble avec des exemples simples pour que ce soit bien visuel pour ceux qui nous écoutent. Si je prends la courbe la moins complexe possible, une simple ligne droite, son ordre n est égal à 1, c'est bien ça ?

Intervenant 23:47

Exactement.

Intervenant 13:48

Donc si j'applique la formule 1 multiplié par 4 divisé par 2, ça me donne 2. Il faut deux points pour définir une ligne droite.

Intervenant 23:56

C'est le fameux postulat de Klein, en fait. Par deux points distants, il ne passe qu'une seule droite. Jusqu'ici, la formule fonctionne à merveille.

Intervenant 14:03

Ok, c'est rassurant.

Intervenant 24:04

Et si on monte d'un cran en complexité avec ce qu'on appelle les coniques, comme les paraboles ou les ellipses, l'ordre n passe à 2 ? La formule nous dit 2 multiplié par 5, ça fait 10. Le tout divisé par 2, cela donne 5 points. D'accord. Il faut donc 5 points pour contraindre géométriquement une parabole ou une ellipse unique. Mathématiquement, c'est d'une solidité irréprochable.

Intervenant 14:30

Et puis, il y a la deuxième règle. Parce qu'évidemment, les courbes n'existent pas dans un vide absolu, elles se croisent sur le plan. Cramer a donc besoin d'une règle pour calculer leurs intersections.

Intervenant 24:42

Oui, tout à fait naturelle.

Intervenant 14:44

Cette règle dit que si l'on prend deux courbes d'ordre M et N, elles vont se couper en un nombre de points maximal égal à M multiplié par N.

Intervenant 24:54

Voilà la multiplication des ordres.

Intervenant 14:56

Un fois un, soit un seul point d'intersection. C'est super intuitif. Si j'ai deux ellipses d'ordre 2, elles se croiseront en deux fois deux, soit quatre points.

Intervenant 25:05

Et la mécanique est fluide. Chaque engrenage s'emboîte parfaitement dans l'autre. Cramer doit regarder son manuscrit avec une immense satisfaction à ce stade.

Intervenant 15:13

J'imagine.

Intervenant 25:14

Ce qui est fascinant ici, c'est ce sentiment d'harmonie qui rend la suite si brutale. Car Cramer, en bon théoricien, il s'arrête pas aux droites et aux coniques. Il applique sa logique aux courbes d'ordre 3, les fameuses cubiques.

Intervenant 15:26

Et là ?

Intervenant 25:27

Et là, c'est le drame. Logique.

Intervenant 15:29

Attendez, faisons le calcul. Je reprends la première règle pour définir ma cubique unique. L'ordre est N et de 3, donc la formule fait 3 multiplié par 6, ça fait 18, divisé par 2, ce qui donne 9 points. Ok, il me faut 9 points pour en créer une courbe cubique de façon stricte.

Intervenant 25:47

C'est ça, exactement. Et c'est là que le cerveau de Cramer s'arrête net.

Intervenant 15:51

Mais c'est une contradiction totale.