Lagrange : quand les équations conduisent vers les groupes

Intervenant 10:00

Bienvenue dans cette nouvelle exploration en profondeur, le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on plonge dans un truc, enfin, un mystère mathématique qui a plus de 250 ans.

Intervenant 20:11

Salut Sam.

Intervenant 10:13

Oui, un vrai thriller intellectuel, carrément.

Intervenant 20:16

C'est vraiment ça. Imaginez un peu le scénario. On découvre un passe-partout forgé avec une telle perfection qu'il ouvre sans aucun effort les quatre premières serrures d'un vieux coffre-fort.

Intervenant 10:27

Ouais, le rêve.

Intervenant 20:29

Sauf que, au moment d'insérer cette même clé parfaite dans la cinquième serrure, elle se bloque. Et pire encore, elle modifie instantanément toute la mécanique de la porte pour la rendre encore plus complexe.

Intervenant 10:41

C'est une excellente métaphore. Et le mot casse-tête est même un peu faible pour décrire ce qui s'est

Intervenant 20:46

passé. Cette histoire, ça rassemble une énigme de plusieurs siècles, une logique implacable et surtout un dénouement tellement inattendu qu'il a littéralement redessiné tout le paysage des mathématiques modernes.

Intervenant 10:59

Et c'est là que ça devient fascinant pour notre audience. Notre point de départ aujourd'hui, c'est un document historique monumental.

Intervenant 21:05

Le mémoire de Joseph-Louis Lagrange.

Intervenant 11:08

Exactement. Présenté en 1770, élu à l'Académie des sciences l'année suivante. Ça s'intitule « Réflexions sur la résolution algébrique des équations ».

Intervenant 21:18

Un titre très

Intervenant 11:20

sobre. Très sobre. Mais on va voir comment la volonté obstinée de résoudre une simple équation a, presque par accident, donné naissance à l'un des concepts les plus puissants de la science d'aujourd'hui.

Intervenant 21:29

C'est ça. Et pour vraiment mesurer l'onde de choc de ce mémoire, il faut faire un petit pas en arrière. Il faut bien voir le mur gigantesque devant lequel les scientifiques de l'époque se trouvaient.

Intervenant 11:39

Le contexte historique quoi.

Intervenant 21:40

Voilà. Au XVIIIe siècle, les mathématiciens vivaient un peu dans l'ombre d'un héritage énorme. Depuis le XVIe siècle, grâce à des savants italiens brillants, des gens comme Cardan ou Tartaglia, on savait résoudre les équations de degré 3 et de degré 4.

Intervenant 11:54

Attends, juste pour être clair, quand on dit résoudre, on parle bien de trouver une formule générale.

Intervenant 21:58

Exactement.

Intervenant 11:59

Une sorte de recette universelle où on prend nos coefficients de départ, on fait des additions, des multiplications, on extrait des racines carrées ou cubiques et paf, on a nos solutions.

Intervenant 22:08

C'est tout à fait ça, c'est ce qu'on appelle la résolution par radicaux. Le problème, c'est que depuis cette époque dorée de la Renaissance, c'était le silence radio total.

Intervenant 12:17

Plus rien.

Intervenant 22:18

Plus rien du tout. Pendant plus de 200 ans, tous les esprits les plus brillants d'Europe se cassaient les dents sur le degré 5. Et le malaise, ce n'était pas seulement cet échec.

Intervenant 12:26

Ah bon ? Et c'était quoi d'autre ?

Intervenant 22:28

Ça venait de la nature même des méthodes qu'on connaissait pour les degrés 3 et 4. Lagrange le dit de manière hyper transparente dans son introduction.

Intervenant 12:35

C'est-à-dire ?

Intervenant 22:36

Les méthodes de Cardan, elles avaient un problème.

Intervenant 12:39

Bah, elles tenaient presque du miracle calculatoire en fait.

Intervenant 22:42

Genre du bricolage génial.

Intervenant 12:44

Carrément. On posait des changements de variables très astucieux, on substituait des trucs, et par une succession de coïncidences heureuses, l'équation finissait par se simplifier. Ok, ça marchait, mais on savait pas du tout pourquoi cette magie opérait, c'est ça.

Intervenant 22:58

C'est exactement ça.

Intervenant 13:00

C'est un peu comme si Cardan avait trouvé comment forcer une serrure juste en la secouant dans le bon angle quoi. Et Lagrange y débarque en disant non, j'arrête de secouer des portes au hasard.

Intervenant 23:09

Voilà.

Intervenant 13:09

Il veut démonter le mécanisme, examiner tous les engrenages et comprendre l'ingénierie interne de toutes les serrures de l'univers en gros.

Intervenant 23:16

C'est une super façon de le formuler. Son ambition dépasse largement le degré 5. Il cherche vraiment à unifier les mathématiques. Il veut réduire à des principes généraux toutes ces petites astuces du passé.

Intervenant 13:26

Donc il cherche le pourquoi et non plus juste le comment. C'est d'une modernité folle quand on y pense.

Intervenant 23:31

Absolument. Et pour faire ça, il va adopter un angle d'attaque complètement inédit. Plutôt que de regarder l'équation de face, il va se concentrer sur le comportement de ses racines.

Intervenant 13:42

Les racines, donc les solutions cachées qu'on cherche à trouver.

Intervenant 23:46

Oui. Et son principe de base est vertigineux. Il se dit que se passe-t-il si je prends ces racines, même si je ne les connais pas encore, et que je commence à les manipuler ?

Intervenant 13:56

Attends, il manipule des trucs qu'il ne connaît pas ?

Intervenant 23:58

Exactement. Il les additionne, il les multiplie entre elles selon des motifs très très précis pour construire de nouvelles expressions mathématiques.

Intervenant 14:08

Et le but final de tout ça, c'est de trouver ce qu'on appelle une équation résolvante, c'est bien ça ?

Intervenant 24:12

Tout à fait.

Intervenant 14:13

Donc l'idée, c'est de créer une nouvelle équation, fabriquée avec les pièces de l'ancienne, mais d'un degré inférieur. Genre, pour résoudre le degré 4, j'essaye de fabriquer un problème équivalent, mais de degré 3.

Intervenant 24:26

C'est la stratégie parfaite, puisqu'on connaît déjà la méthode infaillible pour le degré 3, le tour est joué.

Intervenant 14:32

D'accord, mais la grande question du coup, c'est comment on force une équation de degré 4 à accoucher d'une équation de degré 3 ?

Intervenant 24:39

Et c'est là que Lagrange fait intervenir la notion clé de tout ce mémoire, le concept de permutation.

Intervenant 14:45

Ok, là il faut qu'on décortique un peu la mécanique.