Fractions continues : un voyage du nombre d’or à π

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. C'est un immense plaisir d'accueillir notre public pour cette nouvelle exploration. Il faut imaginer un instant un scénario complètement absurde.

Intervenant 20:11

D'accord, je t'écoute.

Intervenant 10:12

Prendre toutes les œuvres littéraires du monde, les passer au mixeur, tirer des lettres complètement au hasard pour former de nouveaux mots sans qu'unis tête et constater avec stupeur qu'à la fin, ce chaos absolu génère systématiquement le même mot de passe universel.

Intervenant 20:25

Ouais, c'est un scénario qui ressemble vraiment à de la mauvaise science-fiction quoi. La pure logique voudrait que du chaos naisse uniquement le chaos.

Intervenant 10:34

Exactement. Et pourtant, c'est très précisément ce qui se passe quand on fouille dans l'ADN caché de nos nombres mathématiques. L'objectif de notre plongée aujourd'hui, c'est de décortiquer un article vertigineux de Tangente intitulé « Des dénominateurs à l'infini ».

Intervenant 20:49

Un super programme.

Intervenant 10:50

Ouais, un voyage au cœur de ce qu'on appelle les fractions continues. C'est comme une lunette d'approche qui permet de voir des nombres très célèbres sous un jour complètement nouveau et de révéler l'ordre caché sous le désordre apparent.

Intervenant 21:02

Et c'est un domaine fascinant parce qu'il ne s'agit absolument pas de mathématiques statiques, tu sais, figées sur un tableau noir. Les fractions continues, c'est une véritable mécanique en mouvement perpétuel. C'est joliment dit. Mais c'est une descente dans l'infiniment petit qui a captivé des géants comme Euler, Lagrange ou Évariste Desmois. On fait la promesse à quiconque s'intéresse à ce sujet, même sans un bagage algébrique poussé, la structure de ces nombres a de quoi tenir en haleine. On va littéralement manipuler la notion d'infini.

Intervenant 11:31

Alors, l'infini, c'est toujours un concept un peu glissant. Donc, pour ne pas perdre le fil de cette mécanique, je pense qu'il faut partir d'une image mentale concrète. Pour se représenter une fraction continue, la meilleure analogie, ça reste celle des poupées russes, les fameuses poupées gigognes.

Intervenant 21:47

Ah oui, très bonne

Intervenant 11:48

image ! Sauf qu'ici, on manipule des poupées russes mathématiques. Le principe, c'est d'insérer une équation à l'intérieur d'elle-même, encore et encore, sans jamais s'arrêter. Mais concrètement, comment on amorce ce processus avec des vrais nombres ?

Intervenant 22:03

Prenons un point de départ qui semble très innocent. Considérons une équation simple. On cherche un nombre mystère, appelons-le x. Et ce nombre a une propriété bien précise. Si on le met au carré, qu'on lui ajoute sa propre valeur, et qu'on soustrait 1, on retombe exactement sur 0.

Intervenant 12:19

Ok. Donc si on traduit ça en langage mathématique classique, ça donne l'équation x² plus x moins 1 égale 0.

Intervenant 22:29

C'est ça. Et un calcul algébrique assez standard permet de montrer que cette équation admet une seule solution positive, qui s'écrit √5 moins 1, le tout divisé par 2.

Intervenant 12:39

D'accord. Jusque-là, rien de révolutionnaire.

Intervenant 22:41

Non en effet, mais la magie opère quand on triture cette équation de départ. On peut isoler notre nombre mystère, le x, pour l'exprimer d'une nouvelle façon. Si on fait passer les termes de l'autre côté, on découvre que x est égal à 1 divisé par l'expression 1 plus x.

Intervenant 12:56

Ah, je vois l'astuce. On obtient une définition de l'x qui utilise x lui-même dans son propre calcul. Donc x égale 1 divisé par entre parenthèses 1 plus x. C'est vraiment le serpent qui se mord la queue.

Intervenant 23:10

Exactement. Et c'est précisément là que ton analogie de la poupée russe entre en scène.

Intervenant 13:14

Ouais.

Intervenant 23:14

Puisque x est égal à 1 divisé par 1 plus x, on peut prendre le x qui se trouve en bas de la fraction au dénominateur et le remplacer par sa propre définition.

Intervenant 13:25

C'est fou.

Intervenant 23:26

On obtient alors un nouvel étage. x devient égal à 1 divisé par 1 plus une nouvelle fraction, qui est elle-même 1 divisé par 1 plus x.

Intervenant 13:35

Et j'imagine qu'il n'y a littéralement aucune raison de s'arrêter là, quoi. On recommence. On prend le x tout en bas, on le remplace à nouveau. Ça crée un emboîtement juste vertigineux.

Intervenant 23:45

C'est la définition même d'une fraction continue. D'ailleurs, le mathématicien Leonard Euler l'avait résumé lumineusement dès 1796. Il expliquait qu'une fraction continue, c'est une fraction dont le dénominateur est composé d'un nombre entier, joint à une fraction, qui a elle-même pour dénominateur un entier, et une nouvelle fraction formée de la même manière, et ainsi de suite à l'infini.

Intervenant 14:06

C'est presque poétique, il y a un côté très esthétique dans cette répétition. Mais pour que ce soit parlant, appliquons ce processus à une véritable célébrité des mathématiques, le nombre d'or.

Intervenant 24:18

Ah, le fameux.

Intervenant 14:19

D'après notre article source, il suffit de modifier un tout petit signe dans l'équation de départ qu'on vient d'utiliser. Au lieu d'avoir x² plus x moins 1, on prend l'équation x² moins x moins 1 égale 0.

Intervenant 24:33

Et le résultat est d'une pureté absolue. La racine positive de cette nouvelle équation, c'est le nombre d'or, qui est souvent noté avec la lettre grecque φ. Ouais. Si on procède exactement avec la même méthode d'emboîtement infini qu'on vient de décrire, on tombe sur une structure fascinante. La fraction continue du nombre d’or s'écrit uniquement avec des chiffres 1. C'est 1 plus 1 divisé par 1 plus 1 divisé par 1 à l'infini.

Intervenant 14:57

C'est magnifique, mais écrire des étages de fractions à l'infini sur une feuille de papier, ça devient très vite illisible, non ? Je suppose qu'il y a une notation plus compacte pour ça.

Intervenant 25:07

En effet, les mathématiciens utilisent une notation entre crochets pour ne garder que l'essentiel, c'est-à-dire les nombres entiers qui se trouvent à chaque étage de la fraction.

Intervenant 15:16

D'accord.

Intervenant 25:17

Donc pour le nombre d'or, la suite s'écrit tout simplement avec un crochet ouvrant suivi de la séquence 1 1 1 1 1 et on ferme le crochet.

Intervenant 15:27

D'accord, la beauté formelle est indéniable. Mais il y a un problème logique qui saute aux yeux quand même. Si cette fraction ne s'arrête jamais, comment on fait pour la calculer ? Enfin, dans le monde réel, on ne peut pas passer l'éternité à faire des divisions. À quoi sert une équation infinie si on ne peut pas trouver son résultat ?

Intervenant 25:43

L'objection est tout à fait valable. La réponse mathématique à ce problème de l'infini, c'est le concept de la réduite.

Intervenant 15:52

La réduite.

Intervenant 25:53

Oui, puisqu'on ne peut pas calculer jusqu'au bout, la méthode consiste à tronquer la fraction continue. On décide de couper l'expression de manière un peu arbitraire à un certain étage, et on ignore tout ce qui se trouve après. Ce qu'on obtient s'appelle une réduite, et c'est toujours un nombre rationnel, c'est-à-dire une fraction simple de deux nombres entiers.

Intervenant 16:13

Ah, je comprends. En gros, on fait une approximation en coupant la poire en deux. Si on prend les exemples de notre texte, pour le nombre d'or, c'est très clair.