Contre-exemples : des erreurs aux fonctions monstres

Intervenant 10:00

Si on imagine une courbe, une ligne qui monte continuellement genre de bas en haut sans aucune coupure, mais dont la pente est parfaitement plate sur presque tout son trajet, c'est impossible à dessiner, non ?

Intervenant 20:13

Bah visuellement oui, c'est carrément impossible.

Intervenant 10:15

Ouais, et pourtant c'est exactement ce monstre logique qui a fini par sauver tout l'édifice mathématique. Bienvenue à toutes et à tous dans cette nouvelle aventure, le podcast du magazine Tangente. Je suis vraiment ravie de retrouver notre public aujourd'hui.

Intervenant 20:30

Moi aussi, on a un programme incroyable pour cette discussion.

Intervenant 10:34

Totalement. Aujourd'hui, on plonge au cœur d'un article fascinant de Toshimasa Kikuchi, publié en 2014, qui s'intitule « De l'intuition à la rigueur ». Notre mission pour cette exploration, c'est de comprendre comment, au XIXe siècle, les mathématiques sont passées d'une discipline basée sur, disons, le bon sens visuel, à une science d'une rigueur absolue.

Intervenant 20:59

Et le plus fou, c'est que pour atteindre cette perfection, les mathématiciens ont carrément dû fabriquer délibérément des créatures logiques effrayantes quoi.

Intervenant 11:07

Des vrais monstres.

Intervenant 21:08

C'est ça. Il y a un enjeu fondamental dans cette histoire. C'est de réaliser à quel point l'intuition humaine a des limites. En fait, dans le monde physique de tous les jours, nos sens fonctionnent super bien.

Intervenant 11:18

D'accord, ouais.

Intervenant 21:19

Mais dès qu'on commence à s'aventurer sur le terrain de l'infini ou des concepts abstraits poussés à la limite, le cerveau humain a vraiment tendance à nous mentir. L'intuition devient un piège redoutable.

Intervenant 11:32

Un piège, oui, et pour comprendre l'apparition de ces fameux monstres mathématiques, il faut vraiment planter le décor pour quiconque nous écoute. Si on remonte au XVIIIe siècle ou au tout début du XIXe, le monde des mathématiques ressemble un peu au Far West, en fait.

Intervenant 21:47

Le Far West, oui, c'est une bonne image.

Intervenant 11:49

On avait des géants comme Leibniz ou Euler qui ont posé des fondations incroyables. Mais leur définition de ce qu'est une fonction ou de la continuité, c'était super vague. En gros, on se fiait aux tracés visuels.

Intervenant 22:01

Ouais, si la plume ne quitte pas le papier, c'est continu.

Intervenant 12:04

Exactement. Sauf que cette approche, elle fonctionnait très bien pour les courbes simples de la physique classique, mais pas pour la suite.

Intervenant 22:11

Non, et le premier coup de tonnerre survient avec les travaux de Joseph Fourier, l'ancien préfet de Napoléon. Il travaillait sur la propagation de la chaleur et il développe la fameuse théorie des séries trigonométriques. Et là, surprise totale, on découvre un truc qui choque le bon sens de l'époque.

Intervenant 12:29

Ah oui, le gros bug.

Intervenant 22:31

Voilà, on découvre qu'en additionnant une infinité de fonctions parfaitement continues, le résultat final peut s'avérer brutalement discontinu et une vraie cassure.

Intervenant 12:40

Et c'est précisément sur ce point qu'un des plus grands esprits de l'époque va trébucher de manière spectaculaire. Augustin-Louis Cauchy. En 1821, dans son célèbre cours d'analyse, Cauchy affirme, genre avec tout le poids de son immense autorité, que la limite d'une suite de fonctions continue est toujours continue.

Intervenant 22:59

Il en était persuadé.

Intervenant 13:01

Ouais. En gros, il disait que si on ajoute des courbes douces, on obtient forcément à la fin une courbe douce.

Intervenant 23:07

Et c'est une affirmation qui va être complètement balayée par un jeune mathématicien norvégien totalement inconnu, Nils Abel.

Intervenant 13:13

Ah, la confrontation classique du maître

Intervenant 23:16

et de l'élève. C'est ça. En 1826, Abel n'a que 24 ans. Mais il s'en manque du prestige de Cauchy. Il lit le traité et il capte tout de suite que le maître s'est trompé. Et la grande différence avec l'époque du Far West dont on parlait, c'est qu'Abel n'oppose pas juste une opinion à une autre. Il dégaine une preuve irréfutable. Un contre-exemple absolu, quoi.

Intervenant 13:35

Bon, décortiquons un peu tout ça. L'erreur de Cauchy, au fond, elle est naturelle. Mais pour bien comprendre comment le jeune Abel la détruit, il faut visualiser ce qui se passe quand on manipule l'infini.

Intervenant 23:47

Tout à fait. Abel propose une somme mathématique très précise. C'est le sinus de x moins la moitié du sinus de 2x plus un tiers du sinus de 3x et ainsi de suite jusqu'à l'infini.

Intervenant 13:59

C'est exactement le type de série qu'utilisait Fourier en fait. Chaque élément de cette addition infinie est une onde parfaitement lisse.

Intervenant 24:06

Voilà. Et j'ai une petite métaphore pour ça. C'est un peu comme si en cuisine, on se disait que si on mélange uniquement des ingrédients parfaitement lisses, dans un mixeur, genre de l'eau, du lait, de la crème, bah ça donnera toujours une soupe parfaitement lisse. Je me dirais idée, ouais.

Intervenant 14:21

Intuitivement, on se dit ça.