Pourquoi les distances mathématiques changent-elles les triangles ?

Intervenant 10:00

Salut tout le monde et bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Je suis vraiment super contente de lancer cette nouvelle exploration aujourd'hui parce qu'on a un sujet qui est juste époustouflant.

Intervenant 20:13

Ah bah c'est le mot oui, c'est vraiment vertigineux.

Intervenant 10:16

Grave. En fait, si on pose la question toute bête à ceux qui écoutent genre... Quelle est la distance exacte entre Paris et Rome ? La réponse va complètement dépendre de comment on mesure ça. Est-ce qu'on se place du point de vue d'un oiseau, d'un système GPS pour les voitures, ou bien d'un mathématicien qui cherche tranquillement à détruire notre conception de l'univers physique ?

Intervenant 20:39

C'est un peu ça en fait. Et c'est vraiment cette dernière option qu'on va regarder.

Intervenant 10:43

C'est ça. Et aujourd'hui, la mission de notre plongée dans ces concepts, c'est de comprendre pourquoi. Pourquoi est-ce que les mathématiciens ont carrément dû déconstruire une notion aussi évidente que la distance pour la recréer sur des bases complètement folles ?

Intervenant 20:59

Des bases qui nous emmènent très très loin, oui. L'objectif, c'est de voir comment l'abandon de notre intuition visuelle nous a conduit vers des mondes d'une étrangeté absolue.

Intervenant 11:08

Et restez bien avec nous parce qu'on va atterrir dans des univers où, par exemple, il est physiquement impossible de tracer un triangle quelconque.

Intervenant 21:16

C'est ça. Tous les triangles dans cet espace sont obligatoirement isocèles.

Intervenant 11:20

Ce qui défie complètement le bon sens, on est d'accord. Mais bon, avant d'arriver à ces aberrations, il faut reprendre la base. En fait, comment on mesure quoi que ce soit ?

Intervenant 21:30

Voilà. Le point de départ, c'est qu'en mathématiques, on ne se fie pas du tout à l'intuition. On utilise ce qu'on appelle une approche axiomatique.

Intervenant 11:38

D'accord.

Intervenant 21:39

On pose des règles. Et pour définir une distance, on utilise souvent une fonction qu'on note avec la lettre grecque delta. Et pour qu'on ait le droit de l'appeler distance, il y a trois règles d'or incontournables.

Intervenant 11:50

Trois règles. J'aime bien imaginer ça comme, tu sais, un jeu de société abstrait. Genre, on a une boîte avec des règles super minimalistes, et si le mécanisme respecte ces trois règles, on a le droit d'écrire le mot distance sur la boîte. Même si le plateau de jeu ne ressemble pas du tout à une vraie carte.

Intervenant 22:06

C'est exactement ça.

Intervenant 12:07

Alors c'est quoi la toute première règle de ce jeu ?

Intervenant 22:10

C'est la positivité et la coïncidence.

Intervenant 12:13

Ok, ça sonne sérieux.

Intervenant 22:14

En fait, c'est très simple. Ça dit que la distance entre deux trucs est toujours un nombre réel positif. Une distance de moins 5 km, ben ça n'existe pas.

Intervenant 12:24

Logique,

Intervenant 22:24

ouais. Et la coïncidence, c'est que cette distance voit zéro si et seulement si les deux points sont une seule et même chose.

Intervenant 12:31

Ok, donc mon cerveau suit, si l'écart entre le point A et le point B c'est 0 m, bah c'est qu'on est au même endroit en fait.

Intervenant 22:39

Voilà. La deuxième règle, c'est la symétrie. La distance pour aller de A à B, ça doit être rigoureusement la même que pour le trajet inverse, de B à A.

Intervenant 12:48

Toujours très logique, dans notre espace idéal. Le trajet allé égale le trajet retour. Et la troisième règle ?

Intervenant 22:54

Alors là, c'est la plus importante pour la suite. C'est l'inégalité triangulaire.

Intervenant 12:59

Ah, ça me rappelle des trucs ça.

Intervenant 23:01

C'est le principe qui dit que pour aller d'un point A à un point B, si tu fais un détour par un troisième point C, ça rallongera toujours le trajet.

Intervenant 13:10

Le fameux chemin le plus court, c'est la ligne droite.

Intervenant 23:13

C'est ça. Au mieux, si le point C est pile sur la ligne droite entre A et B, la distance est égale. Mais la somme des trajets de A vers C puis de C vers B sera toujours supérieure ou égale au trajet direct.

Intervenant 13:25

Ouais, ça c'est la base de notre réalité physique quoi. Et pour ceux qui s'en souviennent, ça rassure, ça fait penser à la géométrie du lycée.

Intervenant 23:32

Tout à

Intervenant 13:32

fait. Avec la bonne vieille formule euclidienne dans un plan. Tu sais, la grande racine carrée avec les X et les Y au carré. Le théorème de Pythagore quoi. C'est du solide, on construit des ponts avec ça.

Intervenant 23:43

Oui, la géométrie euclédienne fonctionne très bien au quotidien, mais… Il y a un mais ! Il y a un gros mais. Au XIXe siècle, les scientifiques ont percuté un vrai mur conceptuel. La géométrie classique ne suffisait plus pour gérer le problème vertigineux des limites.

Intervenant 13:58

Ah, et c'est là qu'on commence à détruire ma petite boîte de jeux de société, c'est ça ?

Intervenant 24:03

Précisément. Avant les années 1860, on manipulait l'infini un peu, à l'intuition, ça manquait de rigueur. Et c'est Karl Weierstrass qui a mis de l'ordre là-dedans.

Intervenant 14:13

Le mathématicien allemand.

Intervenant 24:14

Oui. Pour prouver qu'une suite de nombres se rapproche d'une limite, il fallait mesurer l'écart entre ces nombres de façon stricte. Et pour ça, il utilisait la valeur absolue.

Intervenant 14:24

Attends, pour qu'on visualise bien, je vais prendre une image concrète pour cette histoire de limite.

Intervenant 24:28

Vas-y.

Intervenant 14:29

Imaginons que je marche vers un mur. Et à chaque pas, j'avance de la moitié de la distance qui me sépare du mur. Donc premier pas, je fais la moitié du chemin.

Intervenant 24:38

Ok.

Intervenant 14:38

Donc un quart du chemin. Puis un huitième, et je m'approche du mur à l'infini, sans jamais vraiment me cogner le nez dessus.

Intervenant 24:47

C'est une excellente métaphore. En maths, c'est la suite définie par n sur n plus 1. On a 0, puis un demi, deux tiers, trois quarts, ça tend vers 1. D'accord. Et Weierstrass, lui, prouve ça en utilisant notre fameuse distance. Il calcule la valeur absolue de l'écart. Cet écart tend vers 0.

Intervenant 15:06

Bon, super ! Ça marche super bien pour les nombres en fait. Pourquoi on aurait besoin de changer de système ?