Georg Cantor, le mathématicien face à plusieurs infinis

Intervenant 10:00

Bonjour tout le monde, ravie d'être là. On plonge aujourd'hui dans une analyse profondément fascinante. On se bat sur un article de Tangente intitulé « Un voyage dans l'infini ».

Intervenant 20:20

Tout un programme, ouais.

Intervenant 10:21

C'est ça. Et d'habitude, on a tendance à penser que l'infini, c'est un concept monolithique, genre c'est l'incommensurable, le truc qui ne s'arrête jamais, le point final de l'imagination, quoi.

Intervenant 20:30

Ouais, le mur au fond de l'univers en gros.

Intervenant 10:32

Exactement. Mais voilà qu'un seul homme, un génie absolu, enfin on va le voir, a osé s'aventurer là où absolument tous ses collègues refusaient de mettre les pieds. Il a carrément détruit cette conception classique.

Intervenant 20:44

Il l'a pulvérisé même.

Intervenant 10:45

C'est le mot. Il a prouvé qu'il n'existe pas un seul infini, mais bien plusieurs infinis de tailles totalement différentes.

Intervenant 20:53

Et c'est une idée qui donne un vertige incroyable.

Intervenant 10:56

Un vertige total, ouais. Ça a bouleversé les fondements même du mathématique, ça a provoqué un rejet fulgurant de la part de ses pairs, et de façon très tragique, ça a conduit cet esprit brillant à finir ses jours dans un asile.

Intervenant 21:09

Et l'ironie la plus totale dans toute cette histoire, c'est que ce que ses contemporains qualifiaient de véritable folie, ça reposait en réalité sur une rigueur mathématique implacable.

Intervenant 11:19

C'était pas juste des délires, quoi.

Intervenant 21:20

Ah non, pas du tout. Et toute notre discussion d'aujourd'hui va consister à décortiquer ces concepts. L'objectif, c'est pas de se noyer dans des formules obscures.

Intervenant 11:28

Heureusement pour nous.

Intervenant 21:29

Voilà, c'est de comprendre comment et surtout pourquoi cet homme a pu formuler une telle théorie. On va essayer de rendre accessible cette fameuse clarté éblouissante, ce vertige logique.

Intervenant 11:41

Pour que n'importe quel curieux puisse avoir des révélations, mais tout en gardant la précision chirurgicale qui exige une telle percée scientifique.

Intervenant 21:49

C'est exactement le but.

Intervenant 11:50

Bon, alors l'homme au centre de ce séisme conceptuel, il s'appelle Georg Cantor.

Intervenant 21:54

Georg Cantor, oui.

Intervenant 11:56

Et quand on observe un peu son parcours, avant qu'il ne décide de fracturer les mathématiques, on se rend compte que rien ne le prédestinait vraiment à ce rôle.

Intervenant 22:03

Non, c'est clair.

Intervenant 12:04

Ses origines même, c'est ça, un fascinant mélange en fait.

Intervenant 22:06

Ouais, il y a vraiment une mosaïque d'influence chez lui. Il naît en Russie, au milieu du 19e siècle, en 1845, très exactement.

Intervenant 12:14

D'accord.

Intervenant 22:15

Et c'est au sein d'une famille d'origine danoise qui finit par s'instarrer en Allemagne, à Francfort.

Intervenant 12:20

Donc déjà, pas mal de frontises traversées.

Intervenant 22:22

C'est ça. Mais au-delà de la géographie, c'est vraiment le climat spirituel de son enfance qui est déterminant, je pense.

Intervenant 12:29

Comment ça ?

Intervenant 22:30

Son père est un marchand protestant d'origine juive et sa mère est issue d'une famille catholique. Donc Cantor, il grandit dans une maison où l'on discute religion avec une ferveur incroyable.

Intervenant 12:39

Ah, le mélange parfait pour se poser de grandes questions.

Intervenant 22:42

Exactement. Ça lui donne très tôt un accès à la théologie médiévale, tu vois, et à tous ces débats abyssaux sur la nature de Dieu, de l'éternité, de l'absolu.

Intervenant 12:52

Attends, attends. Comment on passe des débats sur la théologie médiévale à l'invention de la topologie moderne ?

Intervenant 22:59

Le grand écart est monumental.

Intervenant 13:01

C'est le moins qu'on puisse dire, surtout quand on sait qu'il soutient sa thèse de doctorat en 1867. Oui, à Berlin. Et cette thèse, elle est entièrement rédigée en latin. C'est une des dernières du genre d'ailleurs. Et dedans, il y a cette phrase incroyable où il affirme que l'art de calculer est plus important que la résolution elle-même.

Intervenant 23:19

C'est une déclaration d'intention hyper forte.

Intervenant 13:21

Carrément, mais comment est-ce qu'on passe d'un profil presque antique, qui écrit en latin sur des concepts très classiques, à la découverte des infinis multiples ?

Intervenant 23:30

Le point de bascule scientifique, curieusement, il se trouve dans l'étude de la chaleur.

Intervenant 13:34

La chaleur ? Genre la température ?

Intervenant 23:36

Ouais, la diffusion de la chaleur. Cantor commence sa carrière universitaire à Halles, et sous l'impulsion de son collègue aîné, Edward Hine, il s'attaque à ce qu'on appelle les séries de Fourier.

Intervenant 13:46

Ok, les fameuses séries de Fourier.

Intervenant 23:48

C'est un outil mathématique formidable. Ça permet de décomposer des phénomènes physiques très complexes, comme la chaleur justement, ou la vibration d'une corde, en une somme d'ondes simples, des sinus et des cosinus.

Intervenant 14:01

D'accord, donc on prend un truc compliqué et on le coupe en ondes régulières ?

Intervenant 24:06

C'est ça. Mais la question épineuse, le truc qui va obséder Cantor, c'est de savoir ce qui se passe quand cette décomposition casse.

Intervenant 14:13

Quand elles cassent, c'est-à-dire ?

Intervenant 24:15

Si on imagine une courbe de température qui ferait un saut brusque, une discontinuité. À cet endroit précis, la formule mathématique connaît une exception, un point de rupture.

Intervenant 14:24

Ah, un bug dans la matrice en gros. Et donc, il commence à collectionner ces exceptions ?

Intervenant 24:29

Exactement. Au début, il regarde s'il y a un nombre fini de ces points de rupture. 1, 2, 100 points, ça va en gère.

Intervenant 14:36

Logique.

Intervenant 24:36

Puis il pousse le raisonnement. Que se passe-t-il s'il y a une infinité de ces points isolés ?

Intervenant 14:43

Et bim, le mot est lâché. L'infini.

Intervenant 24:47

Voilà. Et pour pouvoir manipuler cette infinité de points problématiques, Cantor se voit contraint d'inventer de nouveaux outils. Il ne regarde plus les nombres un par un. Il commence à les regrouper dans ce qu'il appelle des ensembles.

Intervenant 15:01

D'où la théorie des ensembles.

Intervenant 25:02

Tout simplement. Son attention glisse de l'analyse mathématique classique vers la structure même de ses regroupements de

Intervenant 15:09

points. Enfin, si j'essaie de visualiser le parcours de cet homme, c'est comme si quelqu'un entrait dans une gigantesque cathédrale gothique.

Intervenant 25:17

Ok, je te suis.

Intervenant 15:19

Au départ, le gars, il est là pour étudier la façon dont le son rebondit sur les murs pour améliorer l'acoustique. La physique pure, quoi.

Intervenant 25:26

La série de Fourier.

Intervenant 15:27

Voilà. Mais à force d'analyser les micro-fissures dans la pierre où le son se perd, ces fameuses exceptions, il finit par découvrir par accident l'existence d'une toute nouvelle dimension géométrique cachée sous l'édifice. L'acoustique, c'était juste une porte d'entrée.

Intervenant 25:42

C'est une excellente analogie. Il a gratté la peinture et il a trouvé un nouvel univers en dessous. C'est fou ! Et le pire, c'est que l'étincelle qui va mettre le feu à cette nouvelle dimension géométrique, elle ne se produit même pas dans un laboratoire poussiéreux.

Intervenant 15:56

Ah non !

Intervenant 25:57

Non, ça se passe dans un cadre beaucoup plus romantique. En 1872, Cantor est en lune de miel. Ah, lune de miel !

Intervenant 16:04

Sérieux !

Intervenant 26:04

À Interlaken, dans les Alpes suisses. Et c'est là, pendant ce voyage, qu'il croise la route d'un autre mathématicien brillant, Richard Dedekind.

Intervenant 16:14

Le fameux Dedekind. Mais c'est génial. Ce qui me fascine, c'est que c'est au milieu de ce voyage en amoureux, face aux montagnes suisses, qu'il commence à échanger des lettres sur l'idée de comparer des infinis.

Intervenant 26:26

Ouais, la correspondance entre eux est légendaire.

Intervenant 16:28

Et c'est là qu'on plonge vraiment dans le cœur du sujet. Cantor démontre qu'on peut établir ce qu'on appelle une bijection entre les nombres rationnels, donc toutes les fractions imaginables, et les nombres entiers simples, les 1, 2, 3, etc.

Intervenant 26:43

Et ce concept de bijection, c'est vraiment la clé de voûte de tout son raisonnement.

Intervenant 16:47

Il faut bien qu'on explique ça parce que c'est le point de départ de la folie.

Intervenant 26:50

C'est simple en fait. Le cerveau humain ne sait pas compter jusqu'à l'infini. C'est physiquement et mentalement impossible.

Intervenant 16:56

Forcément.

Intervenant 26:57

Alors comment on fait pour savoir si deux ensembles infinis ont la même taille ? Cantor utilise une méthode d'une simplicité presque enfantine.

Intervenant 17:06

Vas-y, dis-moi.

Intervenant 27:07

Si on imagine une immense salle de banquet avec une infinité de tasses et une infinité de soucoupes.

Intervenant 17:13

Ok, beaucoup de vaisselle.

Intervenant 27:15

Impossible de les compter une par une. Mais si on pose chaque tasse sur une soucoupe et qu'à la fin il ne reste aucune tasse toute seule sur la table ni aucune soucoupe vide.

Intervenant 17:25

Ah, on peut affirmer avec une certitude absolue qu'il y a exactement le même nombre de tasses que de soucoupes.

Intervenant 27:31

Exactement, sans avoir compté quoi que ce soit. On associe chaque élément de la première liste à un élément de la deuxième.

Intervenant 17:38

S'il n'y a pas de reste, ils sont de même taille. C'est ce qu'on appelle le même cardinal en maths, non ?

Intervenant 27:42

C'est ça. Le cardinal, c'est la taille de l'ensemble.