Nombres surréels : comment bâtir la plus vaste collection ?

Intervenant 10:00

Bonjour à tous et bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Je suis ravie de vous retrouver pour une nouvelle exploration mathématique. Imaginez une seconde qu'on doive construire l'univers mathématique tout entier. Et quand je dis tout entier, c'est chaque nombre des fractions les plus microscopiques aux infinis les plus inconcevables.

Intervenant 20:19

Ouais, un chantier colossal en fait.

Intervenant 10:21

C'est ça. Mais le truc, la vraie subtilité pour réaliser cette prouesse architecturale, c'est que les seuls matériaux de construction qu'on nous autorise à utiliser, ce sont des boîtes, et pas n'importe quelle boîte, des boîtes totalement vides.

Intervenant 20:35

Des boîtes qui ne contiennent absolument

Intervenant 10:37

rien, exactement. Voilà. Ça ressemble un peu à une énigme complètement tordue ou, je ne sais pas, une plaisanterie absurde, non ? Eh bien, aujourd'hui, dans cette plongée au cœur de nos sources, c'est très exactement ce que nous allons accomplir. On va oublier la simple addition ou la soustraction de l'école primaire, pour ceux qui nous écoutent. On va voir comment générer la totalité de ce qui existe à partir du néant absolu.

Intervenant 21:02

C'est vraiment le défi ultime de l'abstraction et honnêtement, c'est une excellente manière de lancer notre discussion. Ce qu'on va décortiquer aujourd'hui, c'est la naissance d'une collection vertigineuse de nombres qu'on appelle les nombres surréels.

Intervenant 11:15

Les nombres surréels. Rien que le nom, ça en jette.

Intervenant 21:19

C'est très poétique. C'est une notion qui a été théorisée dans les années 1970 par un mathématicien britannique génial, John Conway. Mais il faut bien le préciser, Conway n'a pas sorti cette idée de nulle part, ex nihilo.

Intervenant 11:32

Il a eu des inspirations, j'imagine.

Intervenant 21:33

Absolument. Son véritable coup de génie, ça a été de synthétiser les travaux de grands pionniers historiques. On parle notamment de John von Neumann au XIXe siècle et de Richard Dedekind au XIXe. Tout ça en s'inspirant d'une intuition d'un informaticien américain très connu, Donald

Intervenant 11:49

Knuff. Construire une infinité d'infini à partir du vide total. Moi, quand j'ai commencé à examiner nos documents de préparation, j'ai cru que mon cerveau allait littéralement surchauffer.

Intervenant 22:00

C'est une réaction très saine face à ce sujet, je vous rassure.

Intervenant 12:03

Ouf, ça me rassure un peu. Parce qu'avant même de parler de cette explosion cosmique de nombres, il a fallu que je m'arrête sur la manière dont on fabrique le tout premier chiffre de notre histoire. Le zéro.

Intervenant 22:16

La base absolue.

Intervenant 12:17

C'est ça. Et en toute honnêteté, la méthode de John von Neumann m'a d'abord semblé être un excès de zèle intellectuelle. Enfin, je veux dire, pourquoi s'acharner à définir le zéro comme un ensemble vide ?

Intervenant 22:30

Ça vous a paru trop compliqué ?

Intervenant 12:32

Mais carrément ! Ça donne l'impression d'être une définition d'avocat, un truc utilement alambiqué. Le zéro c'est rien, un point c'est tout, on passe à la suite, non ?

Intervenant 22:40

Eh bien, c'est marrant que vous disiez ça, parce que c'est l'intuition de la plupart des gens. Mais cette définition que vous jugez peut-être un peu pédante, elle est en fait d'une nécessité structurelle absolue.

Intervenant 12:49

Ah oui ? Mais pourquoi ?

Intervenant 22:50

Parce que si l'on veut construire un édifice mathématique indestructible sans aucune faille, il faut un point de départ qui ne s'appuie sur aucune hypothèse extérieure. On ne peut pas juste dire zéro c'est zéro. Von Neumann, du coup, il a posé l'idée suivante. Prenons l'absence totale d'éléments, le néant. D'accord. En théorie des ensembles, on appelle ça l'ensemble vide, que l'on note généralement avec le symbole d'un rond barré. Et l'astuce fondamentale de Von Neumann, c'est de dire que si le contenu n'est rien, le contenant, lui, il existe bel et bien.

Intervenant 13:21

Ah, je vois. Donc, si je file la métaphore pour qu'on visualise bien, c'est comme admettre que je n'ai pas de chaussures du tout, mais que la boîte à chaussures, elle, elle occupe une vraie place physique dans mon placard, c'est ça ?

Intervenant 23:32

C'est une excellente métaphore. Le contenant confère l'existence mathématique. Le rien acquiert une structure juste parce qu'on l'a virtuellement mis dans une boîte.

Intervenant 13:42

Ok, donc le zéro a enfin une existence palpable.

Intervenant 23:46

Exactement. Pour Von Neumann, le nombre zéro est défini comme étant cette boîte vide. Zéro est égal à l'ensemble qui ne contient rien. C'est la toute première brique de notre univers.

Intervenant 13:57

La boîte est vide, mais on a une boîte. D'accord, tu n'allies de la brique.

Intervenant 24:01

Voilà. Et une fois ce point zéro établi, on doit se tourner vers le deuxième pilier de la méthode de notre fameux Conway, les travaux de Richard Dedekind.

Intervenant 14:10

On remonte au XIXe siècle, du coup.

Intervenant 24:12

C'est ça. À cette époque, Dedekind faisait face à une véritable crise existentielle en mathématiques. Il se demandait comment définir rigoureusement un nombre réel, c'est-à-dire un nombre situé sur une ligne parfaitement continue.

Intervenant 14:25

Alors que les seuls outils dont ils disposaient, c'étaient les fractions, non ?

Intervenant 24:29

Exactement. Et le problème des fractions, par nature, c'est qu'elles laissent des espèces de trous, des espaces vides sur cette ligne numérique.

Intervenant 14:36

Ouais, je vois tout à fait le problème. Les fractions, ce sont des entiers divisés par d'autres entiers, genre un demi, trois quarts ou sept huitièmes, mais ça ne recouvre pas tout l'espace.

Intervenant 24:47

Pas du tout, non.

Intervenant 14:48

Il y a plein de nombres, comme les nombres irrationnels, par exemple la racine carrée de 2 ou bien le nombre pi, qui glissent complètement entre les mailles de ce filet de fraction. Du coup, comment Dédepine a-t-il pu capturer un nombre qu'il ne pouvait même pas écrire sous forme de fraction ?

Intervenant 25:04

Eh bien, il l'a capturé en le prenant au piège. Littéralement. Grâce à ce qu'on appelle aujourd'hui la « coupure de dédequine ».

Intervenant 15:13

Une coupure ? Ça sonne presque chirurgical.

Intervenant 25:16

C'est très précis, en effet. L'idée est une grande élégance. Prenons votre exemple, la racine carrée de 2. Dedequine crée un premier groupe, un ensemble que l'on peut arbitrairement appeler l'ensemble gauche.

Intervenant 15:28

Ok, on a notre côté gauche.

Intervenant 25:29

Et dans cet ensemble gauche, il va placer tous les nombres rationnels, donc toutes les fractions possibles, dont le carré est strictement inférieur à 2.

Intervenant 15:37

Ah d'accord, donc il accumule tous les membres qui s'approchent de racine de 2 par en dessous, comme 1,4 puis 1,41 et ainsi de suite sans jamais pouvoir la peindre exactement ?

Intervenant 25:48

C'est tout à fait ça, c'est ce qu'on appelle une approche par défaut. Et ensuite, logiquement, de l'autre côté, il crée un ensemble droite.

Intervenant 15:55

Et il y met l'inverse, je parie ?

Intervenant 25:57

Exactement. Il y dépose toutes les fractions positives dont le carré est strictement supérieur à 2. Et la vraie fulgurance de Dedeckind, là où il est génial, c'est de déclarer que le nombre irrationnel n'est plus une espèce de valeur isolée, perdue dans le vide. Il devient quoi alors ? Le nombre devient la juxtaposition même de ces deux ensembles. Il est la frontière exacte, l'interstice infiniment fin entre l'ensemble gauche et l'ensemble droite.

Intervenant 16:20

Mais c'est fascinant, le nombre est littéralement défini par son voisinage.

Intervenant 26:24

C'est le mot juste, son voisinage.

Intervenant 16:27

Il est défini par absolument tout ce qui est plus petit que lui et tout ce qui est plus grand que lui. La racine de deux, c'est le mur entre ces deux pièces infinies.

Intervenant 26:36

C'est une très belle façon de le formuler et c'est précisément à ce croisement lue l'histoire que John Conway entre en piste pour de bon.

Intervenant 16:43

Avec son idée de fusion,

Intervenant 26:45

c'est ça ? Oui, il va fusionner la boîte vide de Von Meumann d'un côté et le sandwich gauche-droite de Dedican de l'autre.

Intervenant 16:53

Bon, décortiquons un peu tout ça parce que je sens qu'on va jouer aux architectes de l'univers.

Intervenant 26:57

C'est exactement ce qu'on fait. Cette fusion, c'est le cœur du réacteur des nombres surréels. Conway édite une loi de création universelle. Il dit que, et écoutez bien, un nombre surréel se construit toujours à partir de deux ensembles de nombres surréels déjà existants. Un à gauche et un à droite. Toujours le fameux sandwich. Toujours, et la seule et unique condition pour que ça marche, c'est qu'aucun élément de l'ensemble gauche ne peut être supérieur ou égal à un élément de l'ensemble droite. Tout ce qui est à gauche doit être strictement plus petit que tout ce qui est à droite.

Intervenant 17:31

Attendez, attendez une seconde. Vous dites qu'un nombre est construit à partir d'ensemble de nombres déjà existants ?

Intervenant 27:37

Oui, c'est la règle.

Intervenant 17:38

Mais au tout début du processus, au moment zéro de la création, il n'y a rien du tout. Comment on démarre la machine si on n'a absolument aucun matériau de base ?

Intervenant 27:47

En utilisant la seule chose qui existe justement, le rien.

Intervenant 17:50

La fameuse boîte de chaussures de Von Neumann.

Intervenant 27:53

Bingo ! Au tout premier instant de la création, que nous appellerons le jour zéro, Conway prend l'ensemble vide. Il met le néant dans l'ensemble gauche et le néant dans l'ensemble droite.

Intervenant 18:03

Donc, rien à gauche, rien à droite.

Intervenant 28:05

Voilà. On obtient une structure mathématique qui s'écrit formellement avec une barre verticale séparant deux ensembles vides. Et Conway décrète solennellement que cette paire de vides, eh bien, c'est le nombre zéro.

Intervenant 18:21

La double boîte vide. Franchement, c'est magnifique de simplicité.

Intervenant 28:25

N'est-ce pas ?

Intervenant 18:26

Mais maintenant, mettons un peu ce mécanisme à l'épreuve de la réalité, ou plutôt de la surréalité. Si on lance l'horloge, que se passe-t-il au jour 1 ?

Intervenant 28:36

Allons-y, faisons tourner la machine.

Intervenant 18:38

Si j'essaye de deviner la logique, on vient de créer le zéro. C'est notre seul et unique outil dans tout l'univers. Donc, pour fabriquer de nouveaux nombres, on doit utiliser ce zéro. Si je le mets à gauche pour faire un chiffre et à droite pour faire un autre chiffre, on devrait logiquement obtenir 1 et 2, non ?