Triangle rectangle : pourquoi le cercle inscrit a-t-il un rayon entier ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Alors, imaginons une minute une démonstration mathématique d'une ampleur si gigantesque, tellement énorme qu'il faudrait genre 10 milliards d'années pour la lire intégralement.

Intervenant 20:13

Ouais, c'est complètement vertigineux.

Intervenant 10:15

C'est clair. Et aujourd'hui, on explore un peu ce grand écart. On part d'une propriété géométrique antique, hyper épurée, qui tient sur un coin de table pour arriver au plus grand monstre informatique jamais généré par les maths. Le fil conducteur de tout ça, c'est les fameux triplés pythagoriciens comme le très connu 3, 4 et 5.

Intervenant 20:35

Et pour commencer par le côté élégance classique de la chose, intéressons-nous d'abord au cercle pythagoricien. En fait, si on prend un triangle rectangle, dont les côtés forment un de ses triplés entiers, et qu'on trace son cercle inscrit, c'est-à-dire le cercle à l'intérieur,

Intervenant 10:48

celui qui touche exactement les trois côtés du coup,

Intervenant 20:50

c'est ça, et bien le rayon de ce cercle sera systématiquement un nombre entier. Par exemple, pour le triangle 3, 4 et 5, le rayon tombe sur très exactement 1.

Intervenant 11:00

C'est vraiment troublant, de perfection, on dirait presque un système d'engrenage où tout s'emboîte parfaitement sans la moindre décimale. Mais comment on peut être certain que ce n'est pas juste un accident heureux pour ce triangle-là ? Qu'est-ce qui prouve que ça marche pour des nombres immenses sans jamais tomber sur une virgule ?

Intervenant 21:16

C'est là qu'on plonge sous le capot géométrique. L'aryplotique nous donne une formule assez simple pour ce rayon.