Polygones sur une grille : pourquoi seul le carré résiste

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Quel plaisir de se retrouver pour une nouvelle exploration mathématique passionnante.

Intervenant 20:06

Ouais, un très beau sujet aujourd'hui, vraiment.

Intervenant 10:09

Aujourd'hui, on va parler de cette bonne vieille feuille à petits carreaux, celle qu'on utilisait tous à l'école. En fait, on va prouver qu'elle est en réalité un piège mathématique redoutable qui détruit presque toutes les formes géométriques parfaites de l'univers. C'est

Intervenant 20:22

un résumé un peu dramatique, mais c'est

Intervenant 10:24

tout à fait ça. Le mystère qui va rythmer notre discussion est le suivant. Existe-t-il des polygones réguliers, donc des figures fermées où tous les côtés et tous les angles sont strictement égaux, dont chaque sommet tomberait très exactement sur les intersections d'une grille quadrillée ?

Intervenant 20:39

En posant le problème comme ça, on a vraiment l'impression d'énoncer les règles d'un simple jeu d'enfant. C'est

Intervenant 10:44

clair. On s'imagine avec un crayon en train d'essayer de relier des points sur un cahier.

Intervenant 20:49

Exactement. Mais en réalité, derrière cette contrainte qui a l'air super innocente, se cache un casse-tête colossal. C'est une question qui force l'esprit mathématique à changer complètement de dimension et, disons, à repenser la nature même de l'espace.

Intervenant 11:06

D'accord, décortiquons un peu tout ça. Pour bien saisir l'ampleur du problème, je pense qu'il faut opposer deux univers. D'un côté, il y a la géométrie euclidienne classique.

Intervenant 21:17

Notre monde mathématique habituel.

Intervenant 11:19

Voilà, c'est un espace lisse, infiniment continu. Si on y trace une ligne ou un angle, on bénéficie d'une précision microscopique totalement illimitée. Mais de l'autre côté, on a le monde de notre discussion d'aujourd'hui. Un univers défini par des pixels en quelque sorte.

Intervenant 21:36

Ouais, un espace hyper rigide, totalement contraint.

Intervenant 11:40

C'est le monde de notre feuille à petits carreaux. Le mouvement n'est permis que d'une intersection à une autre. Rien n'existe entre les lignes.

Intervenant 21:48

Et entrer dans ce monde pixelisé, c'est entrer dans le domaine de ce qu'on appelle la géométrie discrète. Et avant même d'espérer y dessiner des figures parfaites, il faut vraiment comprendre les lois fondamentales.

Intervenant 12:00

Parce qu'elles n'ont plus rien à voir avec celles de Clyde.

Intervenant 22:02

Absolument rien. C'est un domaine de recherche fascinant qui s'est véritablement structuré dans les années 1950, un peu au carrefour de la théorie des graphes, de l'arithmétique et même de la cryptographie.

Intervenant 12:12

C'est fou. Discret en mathématiques, c'est vraiment l'opposé strict de continu en fait.

Intervenant 22:18

Totalement. Au lieu d'avoir une infinité de points qui glissent doucement les uns vers les autres, on a des objets séparés qu'on peut compter. L'espace se limite à des coordonnées définies par des nombres entiers purs.

Intervenant 12:28

Donc, pas de virgule, pas de fraction, pas de nombre irrationnel infini.

Intervenant 22:34

Voilà, c'est le monde du numérique par excellence. C'est cette science qui dicte la façon dont les images s'affichent sur des écrans, comment les algorithmes parcourent des réseaux ou disons comment nos données sont chiffrées.

Intervenant 12:46

Ah ouais, je vois très bien. Sur notre grille, chaque intersection est un point de coordonnées entière, comme 1, 2 ou 5, 10.

Intervenant 22:54

C'est ça. Et la géométrie discrète va devoir réinventer des concepts super basiques, comme définir ce qu'est un chemin ou une frontière, alors qu'on ne peut avancer que par à-coups verticaux et horizontaux.

Intervenant 13:06

C'est un peu comme la différence entre verser de l'eau dans un récipient et construire une forme avec des briques Lego.

Intervenant 23:12

Oh ! Très bonne analogie !

Intervenant 13:14

L'eau représente la géométrie continue. Elle épouse la moindre petite courbe de la paroi au millimètre près avec une fluidité totale. Alors que dans notre monde discret, on construit avec des Legos indéformables.

Intervenant 23:27

Et si on essaie de reproduire un cercle parfait dans un jeu comme Minecraft, qui est fait uniquement de blocs carrés, on obtient au mieux un assemblage crénelé en forme d'escalier.

Intervenant 13:37

De près, ce n'est jamais lisse. Mais du coup, une question très bête me vient à l'esprit.

Intervenant 33:43

Je vous écoute.

Intervenant 13:44

Pourquoi s'interdire d'utiliser nos vieux outils continus ? Je veux dire, on ne pourrait pas simplement prendre nos formules de trigonométrie classiques, calculer les coordonnées des sommets d'un pentagone régulier et juste vérifier si ça tombe sur des entiers ?

Intervenant 23:58

Essayer d'appliquer la géométrie continue ici, ça reviendrait à analyser la mécanique quantique avec les lois de la gravité de Newton. Les systèmes sont tout simplement incompatibles.

Intervenant 14:10

Carrément,

Intervenant 24:12

ouais. La géométrie classique repose beaucoup sur des nombres irrationnels, comme le fameux nombre pi ou la racine carrée de 2.

Intervenant 14:18

Ah oui, c'est vrai.

Intervenant 24:19

Les angles d'un polygone régulier nécessitent des sinus et des cosinus qui vont presque toujours donner des résultats infinis après la virgule. Donc si on cherche à savoir si un polygone à 17 côtés peut avoir des sommets sur des entiers, l'approche euclidienne va nous noyer dans un cauchemar de calculs insolubles.

Intervenant 14:34

D'accord, donc le cadre continu est vraiment un piège.

Intervenant 24:37

Totalement un piège. Et c'est là que le basculement vers la géométrie discrète révèle toute sa puissance. Elle agit comme un pont entre la combinatoire, donc l'art de disposer des points sur une grille, et l'arithmétique.

Intervenant 14:49

L'arithmétique, la théorie des nombres entiers quoi.

Intervenant 24:52

Exactement. Ce changement de point de vue va nous permettre d'utiliser les propriétés super implacables des nombres entiers pour régler le sort de tous les polygones d'un seul coup, sans jamais se perdre dans la trigonométrie.

Intervenant 15:04

Quelle promesse incroyable ! Mais l'esprit humain aime bien l'expérience concrète quand même avant d'invoquer des théorèmes complexes. Si on faisait ce que n'importe qui ferait avec un papier et un crayon ?

Intervenant 25:15

C'est-à-dire ?

Intervenant 15:15

Testons les figures les plus élémentaires, celles qui pavent le plan naturellement depuis la nuit des temps. Le carré, le triangle équilatéral et l'hexagone.

Intervenant 25:24

Commençons par le polygone à quatre côtés, le carré, qu'on va appeler n égal 4. Là, l'approche empirique fonctionne à merveille.

Intervenant 15:32

Ouais, si on part d'une intersection, qu'on avance de trois carreaux vers la droite, puis trois vers le haut, trois vers la gauche et trois vers le bas, on a un carré parfait.

Intervenant 25:40

C'est immédiat.

Intervenant 15:41

Et on n'est même pas obligé de suivre les lignes bien sagement en fait, on ne peut l'incliner. Tout à fait. Si je trace un premier côté en avançant de deux carreaux à droite et d'un carreau vers le haut, Et les équations de Pythagore nous le valident très bien. La grille tolère parfaitement le carré, dans une infinité de tailles et d'orientations. C'est vraiment le souverain naturel de ce quadrillage. Bon, ça c'était pour le carré, passons à n égal 3, le triangle équilatéral, trois côtés strictement de la même longueur et trois angles de 60 degrés.

Intervenant 26:21

Et bien là, dès le premier essai, à plat, on se heurte à un mur.

Intervenant 16:25

Comment ça ?

Intervenant 26:26

Si on dessine un côté horizontal bien posé sur une ligne de la grille, le troisième sommet doit se situer parfaitement au milieu, mais décalé en hauteur. Le problème, c'est que la formule de la hauteur d'un triangle équilatéral multiplie le côté par la racine carrée de 3.

Intervenant 16:41

Ah oui, et la racine de 3, c'est environ 1,732 avec une infinité de décimales derrière.

Intervenant 26:48

Exact, ça ne tombe jamais rond. Ce troisième sommet va atterrir dans le vide, coincé entre deux lignes horizontales. La construction à plat échoue donc de manière très flagrante.

Intervenant 16:59

Se tendant, on pourrait être tenté de reproduire l'astuce du carré incliné en jouant sur les diagonales avec des grands sauts horizontaux et de petits sauts verticaux. On pourrait espérer trouver une orientation miracle où le triangle très penché par rapport aux lignes verrait enfin ses trois pointes s'ancrer sur des intersections entières.

Intervenant 27:19

C'est ce qu'on se dit spocalément,

Intervenant 17:20

oui.