Trains de Conway : le point fixe qui réfute une conjecture

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente et bonjour à tout l'auditoire qui nous rejoint pour cette exploration. On va plonger aujourd'hui dans un concept mathématique vraiment fascinant, les fameux trains de puissance.

Intervenant 20:14

Ah oui, les trains de puissance. C'est une très belle invention qui date de 2007. C'est signé par le grand John Conway, un chercheur vraiment hors norme qui nous a d'ailleurs quitté en 2020.

Intervenant 10:25

Exactement. Et on va décortiquer ça ensemble. Alors, pour ceux qui nous écoutent, imaginez une sorte de machine pour ce qu'on appelle la fonction f. C'est un peu comme une centrifugeuse qui prend un nombre et qui le concasse pour l'assembler en paires.

Intervenant 20:39

Voilà. En gros, si on prend un nombre entier, disons composé des chiffres a, b, c et d, la machine le transforme en a puissance b multiplié par c puissance d. C'est une mécanique très visuelle en fait.

Intervenant 10:51

Ouais, c'est très visuel. Mais attends, il y a un truc qui me vient tout de suite à l'esprit. Si notre nombre de départ a un nombre impair de chiffres, ou pire, s'il y a un zéro là-dedans, il se passe quoi en fait ?

Intervenant 21:03

Il faut une règle stricte pour que la centrifugeuse ne s'enraille pas au premier obstacle. Si la machine avale un nombre impair de chiffres, le tout dernier reste simplement tout seul, au sol, sans exposant.

Intervenant 11:15

D'accord, donc il ne fait rien planter. Et pour le zéro du coup ?

Intervenant 21:18

Si un zéro apparaît en exposant, on applique une convention mathématique cruciale. 0 puissance 0 égale

Intervenant 11:25

1. Ah oui, c'est vital, ça. Sinon, si on multipliait par zéro, toute la chaîne s'annulerait bêtement.

Intervenant 21:30

C'est exactement ça. Ces zéros transformés en 1 empêchent la séquence de s'effondrer instantanément, ce qui permet au calcul de survivre.

Intervenant 11:38

Prenons un exemple concret pour que ce soit bien clair pour l'auditoire. Disons… 2 564.

Intervenant 21:44

Très bon exemple. La fonction sépare 25 et 64. On a donc 2 puissance 5 multiplié par 6 puissance 4, ce qui nous donne 41 472. Oui, 41 000

Intervenant 11:56

et quelques. Et le génie de Conway, c'est l'itération. On prend ce résultat et on le remet dans la machine.

Intervenant 22:04

Voilà. 41 472 devient 131 072. Et si on y terre encore ce nombre, il s'écrase directement à zéro. Fin du voyage.

Intervenant 12:15

Un peu comme un crash, quoi. Et un autre itinéraire avec 23 417, par exemple, nous fait passer par 224, puis 16 pour atterrir finalement sur 1.

Intervenant 22:25

Oui, en répétant l'opération encore et encore, la mécanique semble implacable. On finit toujours par s'arrêter sur un point fixe à un seul chiffre.

Intervenant 12:32

Ceux qui nous écoutent se disent peut-être que si l'on teste suffisamment de nombres avec de gros ordinateurs, on finit par avoir la certitude absolue de cette règle. Mais n'y a-t-il vraiment aucune exception ?

Intervenant 22:45

Eh bien, si ! Les super-ordinateurs en cherchaient extrêmement loin, jusqu'à 10 puissance 100. Et malgré ce balayage titanesque, on ne connaît que deux autres points fixes.

Intervenant 12:56

Seulement deux ?

Intervenant 22:57

Sur un nombre de possibilités aussi gigantesques, c'est fou.

Intervenant 13:00

Oui, c'est très peu. Le premier est d'une grande élégance, c'est 2592. Parce que 2 puissance 5 fois 9 puissance 2, ça redonne exactement 2592. C'est une boucle parfaite.

Intervenant 23:14

C'est super élégant,

Intervenant 13:15

ouais. Et certains nombres font même des ricochets avant de s'y figer, comme 45756, qui bondit d'abord sur un énorme nombre de 103 millions et quelques, avant de retomber sur ce fameux 2592.

Intervenant 23:26

Exactement. Et alors, le second point fixe connu, c'est le fameux monstre qu'on évoquait. Un mastodonte de 27 chiffres qui commence par 24, suivi d'une cascade écrasante de

Intervenant 13:38

millions. 27 chiffres, rien que ça ?

Intervenant 23:41

Oui, et il se termine par une longue traîne de zéros. C'est d'ailleurs grâce à cette fameuse règle du zéro puissance zéro égal un qu'il parvient à se maintenir en équilibre sur lui-même sans disparaître.

Intervenant 13:53

D'accord, donc Conway adorait un peu briser ses propres jouets quoi. Et une fois cette mécanique de destruction bien comprise avec la fonction f en 2014, il a cherché à faire le trajet inverse, c'est bien ça.

Intervenant 24:03

C'est ça, il a voulu forcer le chaos à créer de l'ordre, ce qui a donné naissance à la fonction g. Cette fonction s'appuie sur la décomposition en facteur premier. Disons le nombre 12, sa décomposition c'est 2 au taré multiplié par 3.

Intervenant 14:17

Ok, et donc on fait quoi de ces chiffres dans cette nouvelle centrifugeuse ?

Intervenant 24:22

La fonction g prend simplement ces chiffres et les accole. Donc le 2, le 2 de la puissance, et le 3, ce qui donne 223. Et les nombres premiers étant par nature indivisibles deviennent les points fixes de cette nouvelle fonction.

Intervenant 14:37

Si on lance le nombre 9 là-dedans, 9 c'est 3 au carré, ce qui accole le 3 et le 2 pour donner 32. 32 se décompose en 2 puissance 5, on passe à 25.

Intervenant 24:48

Et face à ça, Conway a formulé une conjecture audacieuse. Il pensait qu'avec cette fonction g, on aboutirait systématiquement sans la moindre exception à un nombre premier. Oui, il croyait que le voyage finirait toujours par trouver un port d'attache indivisible.

Intervenant 15:16

Une conjecture qui a tenu super solidement jusqu'en 2017. Et là, l'improbable s'est produit.

Intervenant 25:24

James Davis a littéralement pulvérisé la théorie de Conway, en trouvant un point fixe colossal qui n'a absolument rien d'un nombre premier. 13 532 3853 et 96 179. Attend, 13 billions et quelques. Et c'est un point fixe non premier. Oui oui, la décomposition de cette valeur recrée exactement ses propres blocs internes. Donc 13, 532, 3853 et 96179, la conjecture s'est effondrée d'un coup.

Intervenant 15:54

Ça soulève un vertige intellectuel terrible en fait. Sachant qu'un tel contre-exemple massif a suffi à briser la belle logique de la fonction g, Est-ce qu'on ne devrait pas douter sérieusement de la fonction f ?

Intervenant 26:05

C'est une excellente question. L'exploration jusqu'à 10 puissance 100 semble exhaustive pour l'esprit humain, mais face à l'infini mathématique, ce n'est pas grand-chose.

Intervenant 16:15

Oui, c'est vrai que 10 puissance 100, c'est une goutte d'eau face à l'infini.

Intervenant 26:19

Exactement. Il reste très probablement des points fixes inconcevables. Des monstres numériques qui dorment encore bien au-delà de la portée de nos plus puissantes machines.

Intervenant 16:29

L'infini laisse décidément toute la place aux anomalies pour se cacher hors de notre vue. C'est une belle leçon d'humilité face aux mathématiques. Un grand merci à l'auditoire pour son attention aujourd'hui. Gardons l'espoil grand ouvert devant l'immensité de l'inconnu.