Knuth et Conway : cinq signes vers l’immense

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Alors aujourd'hui, on va faire une petite expérience de pensée.

Intervenant 20:05

Ah, j'aime beaucoup les expériences de pensée. Vas-y.

Intervenant 10:08

Si on place une armée de chimpanzés devant des machines à écrire, combien il en faudrait pour qu'ils tapent l'intégralité du roman Les Misérables de Victor Hugo par pur hasard ?

Intervenant 20:19

Oulah ! Alors ça, c'est le fameux paradoxe du singe savant, mais appliqué à un pavé de mille pages.

Intervenant 10:27

Exactement. Et bien la réponse qui est calculée d'après l'article fascinant qu'on explore aujourd'hui, un article qui s'intitule « Repousser les limites de l'imagination », cette réponse, elle est vertigineuse. Il faudrait un 1 suivi de 369 020. Ouais,

Intervenant 20:42

c'est juste impossible à visualiser en fait.

Intervenant 10:46

Mais carrément.

Intervenant 20:47

Et le plus troublant avec ce chiffre, c'est pas la probabilité mathématique en soi. C'est la physique de notre réalité qui pose problème. Possible.

Intervenant 10:54

Ah, tu veux dire qu'il n'y a pas assez de singes ?

Intervenant 20:56

Pas seulement les singes. Notre univers observable tout entier ne contient tout simplement pas assez de matière, pas assez d'atomes pour créer autant de chimpanzés. Ni même pour fabriquer autant de machines à écrire, d'ailleurs.

Intervenant 11:07

Ah ouais, d'accord. Le chiffre est littéralement plus grand que l'univers.

Intervenant 21:10

Voilà. On vient de formuler un nombre qui fait exploser les frontières du monde physique.

Intervenant 11:14

Eh ben c'est exactement ça la mission de notre exploration d'aujourd'hui. On va chercher à comprendre pour notre audience comment et surtout pourquoi les mathématiciens ont dû inventer de nouveaux langages. Des

Intervenant 21:24

typographies inédites même ?

Intervenant 11:26

C'est ça, des symboles pour exprimer des nombres tellement colossaux que l'univers lui-même est trop petit pour les contenir. Genre comment on fait pour manipuler un concept qui ne rentre même pas dans la réalité matérielle ?

Intervenant 21:39

Pour mesurer ce bond en avant qui est, disons-le, vertigineux, il faut d'abord regarder d'où l'on part.

Intervenant 11:44

Ouais,

Intervenant 21:45

un peu d'histoire. Avant d'utiliser des singes littéraires pour faire exploser l'espace-temps, l'humanité a d'abord dû apprendre à compter au-delà des choses qu'elle pouvait toucher avec ses mains,

Intervenant 11:54

quoi. Les moutons, les pièces de monnaie, ce genre de trucs ?

Intervenant 21:56

Exactement. Au Moyen Âge, disons dès le XIIe siècle, écrire de grand nombre, c'était un exercice super laborieux.

Intervenant 12:03

J'imagine, avec les chiffres romains et tout ?

Intervenant 22:05

Bah ouais, la compacité visuelle n'existait pas du tout. On alignait des symboles romains, ou pire, on écrivait des mots interminables.

Intervenant 12:12

L'article Manskjølme, d'ailleurs, qu'il a fallu attendre l'an 1500 environ pour qu'un mathématicien français mette un peu d'ordre dans tout ça, un certain Nicolas Chuket.

Intervenant 22:23

Oui, Chuket, c'est lui qui invente la notion d'échelle longue.

Intervenant 12:27

C'est-à-dire qu'il a introduit une terminologie claire pour nommer ses entiers gigantesques, les millions, les billions, les trillions, etc.

Intervenant 22:35

C'est une super belle avancée sur le paquet, on est d'accord, mais totalement inefficace pour l'algèbre.

Intervenant 12:40

Bah oui, faire des calculs avec des mots.

Intervenant 22:42

C'est d'une lourdeur insoutenable. Imagine, à la fin du XVIe siècle, un mathématicien pourtant brillant comme François Viette s'encombrait encore de mots latins pour décrire ses puissances.

Intervenant 12:52

Oh là là.

Intervenant 22:54

Genre pour dire x², s'il voulait parler d'une variable au carré, il écrivait en toutes lettres quadratum.

Intervenant 13:01

Ok, ça passe encore.

Intervenant 23:02

Pour un cube, il écrivait « cubum » et pour une puissance 4, alors là, la nomenplature devenait franchement comique. Il fallait écrire « quadrato quadratum »

Intervenant 13:11

Non, mais j'essaie d'imaginer un chercheur aujourd'hui, tu vois, qui essaierait de résoudre des équations différentielles en écrivant quadrato, quadratum à chaque ligne. C'est l'enfer.

Intervenant 23:20

C'est impraticable.

Intervenant 13:21

Bon, décortiquons un peu ça. Utiliser des mots comme ça, c'est comme essayer de vider un océan avec une petite cuillère. C'est épuisant et l'outil lui-même t'empêche de voir plus loin, en fait.

Intervenant 23:33

Exactement. L'outil limite la pensée. Et le vrai changement de paradigme arrive environ 50 ans plus tard, avec René Descartes.

Intervenant 13:40

Ah, Descartes, il fait quoi, lui ?

Intervenant 23:43

L'invention des exposants par Descartes, ça change absolument tout.

Intervenant 13:46

Ah, le petit chiffre en l'air.

Intervenant 23:47

Voilà. Au lieu d'aligner des mots ou de répéter bêtement des multiplications, on écrit simplement un petit nombre en haut à droite, le fameux A puissance B.

Intervenant 13:57

C'est tout bête, mais c'est vrai que c'est visuel.

Intervenant 23:59

Ce petit changement typographique, c'est une révolution conceptuelle majeure. On passe d'une vision géométrique qui était limitée à deux ou trois dimensions.

Intervenant 14:07

Le carré, le cube, quoi.

Intervenant 24:08

C'est ça. À une notation purement arithmétique qui peut, en théorie, s'étendre à l'infini.

Intervenant 14:13

Donc, pour reprendre mon analogie, la petite cuillère est remplacée par, je ne sais pas, une énorme pompe à eau.

Intervenant 24:19

Ou un vaisseau spatial, carrément.

Intervenant 14:21

Ouais, c'est une bonne image.

Intervenant 24:22

D'un seul coup, un nombre un peu effrayant comme, disons, 10 septillions, c'est-à-dire un 10 suivi de 24 zéros. Ça devient juste un inoffensif. 10 avec un petit 24 en haut.

Intervenant 14:32

10 puissance 24. C'est d'une élégance absolue. Et cette pompe à eau arithmétique, elle a permis des bonds de géants dans toutes les sciences, pour le coup. Parce qu'elle nous permet de manipuler les extrêmes de notre réalité.

Intervenant 24:43

Complètement. La chimie et la physique moderne reposent entièrement là-dessus.

Intervenant 14:46

T'as des exemples concrets pour les gens qui nous écoutent ?

Intervenant 24:49

Bien sûr. Sans la notation scientifique, qui est d'ailleurs née dans le sillage des logarithmes de John Napier, on ne pourrait pas manier le nombre d'Avogadro, par exemple.

Intervenant 14:57

Ah oui, les cours de chimie du lycée. C'est combien déjà ?

Intervenant 25:01

C'est environ 6,022 fois 10 puissance 23.

Intervenant 15:04

Voilà.

Intervenant 25:05

On s'en sert aussi pour estimer des quantités proprement inconcevables, comme le nombre total d'atomes dans tout l'univers observable.

Intervenant 15:12

Qui tourne autour de combien ?

Intervenant 25:13

Autour de 10 puissance 80.

Intervenant 15:15

Ok, 10 puissance 80. Et dans d'autres domaines ?

Intervenant 25:19

En théorie de l'information, on a le nombre de Shannon. Ça estime l'arbre des possibilités d'une partie d'échec. Et là, on est à 10 puissance 120.

Intervenant 15:29

Wow. Prenons un instant pour réaliser ce que représente ce 10 puissance 120. C'est un 1 suivi de 120 zéros. Ça pulvérise déjà largement le nombre d'atomes de l'univers dont tu viens de parler.

Intervenant 25:41

Et ouais, on a déjà dépassé la matière physique.

Intervenant 15:44

Et pourtant, si on revient à notre armée de chimpanzés du tout début de l'émission, eux, ils réclamaient un 1 suivi de 369 020 0 0. Donc là, on sent bien que même le super exposant de Descartes, il commence à sérieusement transpirer. Parce que pour écrire des nombres beaucoup, beaucoup plus grands de manière compacte, on doit commencer à empiler des exposants sur d'autres exposants, non ?

Intervenant 26:07

C'est exactement le problème. Visuellement, si tu fais ça, la notation de Descartes s'effondre.

Intervenant 16:12

Ah bon ? Pourquoi ?

Intervenant 26:14

On se retrouve avec ce qu'on appelle des tours de puissance. Imagine un 10 qui porte un petit 10 sur ses épaules, qui lui-même porte un autre petit 10, et ainsi de suite sur une vingtaine d'étages. Typographiquement, ça sort de la ligne d'écriture, ça envahit ta page vers le haut.

Intervenant 16:30

Ah oui, ça sort des marges.

Intervenant 26:32

Ça devient illisible et surtout indéchiffrable à l'œil nu. Tu ne peux plus compter les petits dix.

Intervenant 16:36

Donc, le problème d'échelle rattrape la mathématique. L'outil redevient la petite cuillère. Il fallait une nouvelle révolution.

Intervenant 26:43

Absolument. Et c'est un informaticien américain, Donald Knuth, né en 1938, qui va trouver la parade. On est en 1976. Et ce

Intervenant 16:51

qui est génial, c'est que son inspiration ne vient pas d'un tableau noir rempli d'équations, mais tout simplement de son clavier d'ordinateur.

Intervenant 26:58

Ouais, c'est l'informatique qui vient sauver les maths. Sur les claviers de l'époque, pour représenter un exposant dans un langage de programmation, on ne pouvait pas écrire en petit en haut à droite.

Intervenant 17:08

Les écrans ne faisaient que du texte en ligne,

Intervenant 27:10

quoi. Exactement. On utilisait un caractère ASCII simple, une flèche orientée vers le haut ou un accent circonflexe.

Intervenant 17:17

Le fameux petit chapeau.

Intervenant 27:18

Voilà. Et Knuth va formaliser cette contrainte purement informatique en une véritable notation mathématique.